Овчинкин часть 3 (1181127), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В тонких металлических пленках поперечное движение электрона ограничено, т. е. его волновая функция на граничных поверхностях должна обращаться в ноль, и появляется квантование поперечного импульса. Оценить, какова должна быть длина свободною пробега электрона ! вдоль пленки висмута, чтобы в ней можно было наблюдать два первых уровня размерного квантования.
Толщина пленки Н = 1,3 !О з см, энергия Ферми продольного движения сг — — 10 ~ эВ. Эффективную массу электрона считать изотропной и равной т' = 0,01т,. Температура пленки много меньше комнатной. 4.49. Из-за большой величины амплитуды нулевых колебаний атомов в кристалле Не-4 вакансии (пустые места в узлах решетки) могут туннелировать и превращаться в делокализованные квазичастицы — вакансионы. В результате образуется вакансионная зона с шириной А — 1О х эВ. Оценить эффективную массу вакансиона вблизи дна зоны в модели сильной связи для одномерной решетки.
Постоянную решетки оценить из молярного объегяа кристалла 1~, = 21 смзУ моль. 4.50. У кристалла !пВЬ статическая диэлектрическая проницаемость с =!7, усредненное значение эффективной массы электронов т* = 0,015гп,. Оценить, при какой минимальной концентрации донорных атомов начнется образование примесной зоны. Температура Т=ОК. 4.51. При изменении внешнего магнитного поля В у металлов наблюдаются осцилляции физических свойств (эффекты де Гааза— ван Альфвена, Шубникова — де Гааза). Это обусловлено периодическим прохождением уровней Ландау через уровень Ферми. Найти период А(!/В) этих осцилляций для одновалентного металла с постоянной ОЦК-решетки а = 3 А. Закон дисперсии электронов считать квадратичным, Т = 0 К.
Спиновое расщепление энергии электрона не учитывать. 4.52". В молекуле бензола СьНь три валентных электрона атома углерода образуют ковалентные связи с соседннмн атомами углерода и водорода, а четвертый делокализуется н имеет возможность переходить от одного атома углерода к другому. В результате энергия этого электрона принимает вид Е(А) = вв — 2А соз йи, где ьв — энергия электрона, локализованного на атоме; Л = 2,8 эВ; й — волновое число; и = 1,4 А — расстояние между атомами углерода (сторона шестиугольника).
Молекула бензола помещена в магнитное поле гУв = 10 кЭ, нормальное к плоскости молекулы. Оценить наведенный диамагнитный ток. Электроны считать невзаимодействующими. 148 4.53'. Оценить относительный сдвиг частоты магнитного резонанса на ядрах водорода в молекуле бензола (см. задачу 4.52) по сравнению со «свободным» протоном. Расстояние между ядрами углерода и водорода равно И = 1,1 А. 4.54.' Графеном называется плоская двумер- 4хЬ ная сетка из атомов углерода, которые расположе- з,ьззь ны в вершинах правильных шестиугольников со стороной Ь = 1,42 А (рис.
87). Три валентных электрона атома углерода образуют ковалентные 2 Ь связи с соседними атомами углерода, а четвертый зь делокализуется и имеет возможность переходить от одного атома углерода к друюму. В результате Рис.87 энергия этого электрона (отсчитываемая от уровня энергии локализованною электрона) принимает вид ~(р) =~, А г'в — энергия электрона, локализованного на атоме; верхний знак соответствует зоне проводимости, а нижний — валентной зоне; зь А = 2,8 эВ; р = (р, р,) — вектор квазиимпульса; и = —. Первая зо- в г 2ь' на Бриллюэна решетки графена имеет вид правильного шестиуголь- 4ял ника со стороной (рис.
87). Как зчзь у выглядит поверхность Ферми графена и чему равна ее площадь? Электроны считать невзаимодействующими. ! ! ! У к а за н и е. Примитивная ячейка графена содержит два атома. — 'А— х 4.55'. Используя вид спектра и значения параметров для графена из предыдущей задачи, определить вид закона дисперсии элементарных возбуждений в электронной подсистеме вблизи Рис. 88 вершин шестиугольников и найти величину плотности состояний в этих точках. 4.56'. Из бесконечного листа графена вырезают полосу для гладкого сворачивания в трубку: один раз параллельно оси х (вдоль прямой ЛЛ' на рис. 88), а второй раз — параллельно оси у (вдоль прямой АА" на рис.
88). При этом закон дисперсии электронов в полосе приОбретает вид ч(р) =по-л Дать качественное Объяснение различия законов дисперсии листа и полосы и определить тип проводимости (металлический или полупроводниковый) полученных трубок.
! 49 й 5. Сверхпроводимость 5.1. Из сверхпроводяшей проволоки радиусом г = 1 мм было свернуто кольцо диаметром !З = 5 см, а концы проволоки соединены с помощью точечной сварки. Измерения показали, что контакт оказался не очень хорошим, ибо за один час ток в ко,тьце уменьшался на 1 /. Каково сопротивление кольца? 5.2. Из широкой сверхпроводящей ленты был свернут длинный цилиндр радиусом а = 1 см и края ленты сварены вдоль образующей. Измерения показали, что электрический контакт в месте сварки оказался не очень хорошим, ибо за один час ток в цилиндре уменьшался на 1 /.
Каково сопротивление Я единицы длины сварного шва? 5.3. Используя метод зеркальных изображений, найти распределение поверхностных токов на плоской поверхности сверхпроводника, если иа расстоянии 6 = 1 см от нее расположен прямолинейный достаточно длинный тонкий провод, параллельный плоскости сверх- проводника. По проводу течет ток силой 7 = 1О А. Найти также силу /, действующую на единицу длины провода. 5.4. Над сверхпроводягцей плоскостью на изолирующем слое высотой 6 = 3 мм лежит проволочное кольцо из тонкой проволоки радиусом « = 10 ем, Масса кольца т = 1 г. По кольцу течет постоянный ток /.
Оценить, при каком значении ч? кольцо начнет парить в воздухе (левитировать). 5.5. На расстоянии и = 9 см над поверхностью сверхпроводника парит в поле тяжести тонкий постоянный магнит, длина которого мала по сравнению с расстоянием и. Если магнит слегка вывести из равновесия, то он совершает малые колебания в вертикальной плоскости. Найти период этих колебаний. 5.б. Шар массой М = 10 г и радиусом /? = 1 см, изготовленный из сверхпроводника 1 рода, покоится в магнитном поле /5 =! кГс, меньшем критического, при температуре ниже точки перехода.
Температура шара постепенно повышается так, что сверхпроводимость исчезает, а шар начинает вращаться. Найти угловую скорость щ вращения шара. 5.7. В классическом опыте, поставленном И. К. Кикоиным, цилиндр из сверхпроводиика ! рода массой М = 80 г, высотой 6 = 20 см, радиусом Я = 0,5 см при температуре ниже точки перехода подвешен вертикально на упругой нити в магнитном поле, меньшем критического и направленном вдоль оси цилиндра. Нить подвеса в исходном состоянии не закручена, При постоянной температуре величину магнитного поля постепенно повышают, и при поле Н = 1 кЭ сверхпроводимость исчезает. В результате этого цилиндр поворачивается, а нить закручивается. Определить максимальный уюл закручивания, если модуль кручения нити а = 1 эрг/рад. 5.8.
Для исключения потерь электроэнергии на джоулево тепло в линиях передачи постоянного тока предложено использовать коаксиальный кабель, внутренняя жила и наружная оболочка которою выполнены из сверхпроводника. Кабель подключен к нагрузке, как этс 150 показано на рис.
89. Максимально допустимые величины магнитной индукции на поверхности сверхпроводника 0= 500 Гс и напряженности электрического поля изолирующей прослойки кабеля Е = 30 кВ/см. При каком соотношении диаметров т//Р жилы н обо,дочки можно передать наибольшую мощность И'? Найти величину 1р, приняв диаметр наружной оболочки Р = 20 см. Рис. 89 5.9.
На рис. 90 изображена схема магнитного насоса для ннакачки» потока в соленоид. Насос представляет собой два сверхпроводящих контура с ключами К, и Кг. Контур 2 включает в себя соленоид с бо,тымой самоиндукцией То в то время как контур / обладает малой самоиндукцией /(~ Р. Работа насоса заключается в том, что при закрытом ключе Кг и открытом ключе К, в контуре / с помощью электромагнита создается магнитное поле.
Ключ К~ замы- Элоктроннгннт Контур 1 кается, магнит удаляется и после К1 этого размыкается ключ Кг. Эта операция повторяется много раз. Контур 2 Какого увеличения потока можно Р кг достичь в такой системе? 5.10'. Найти лондоновскую глубину проникновения Л для Рис.
90 типичного сверхпроводника с концентрацией сверхпроводящих электронов и„ = 10гг ем з. 5.11. Найти распределение поля и тока в бесконечной пластине сверхпроводника толщиной т/, помещенной в однородное параллельное пластине магнитное поле //о. 5.12. Исходя из соотношения неопределенностей. оценить характерный линейный размер (длину когерентностн) электронной пары в сверхпроводнике с энергетической щелью Л = 3 мэВ в электронном спектре. Учесть, что в образовании пар участвуют электроны вблизи поверхности Ферми, скорость которых принять равной н„10' см/с. 5.!3.
В сверхпроводнике электроны образуют пары с противоположно направленными спинами. В каком магнитном поле произойдет разрушение таких пар, сопровождаемое изменением направления спина одного из электронов пары, ести в нулевом магнитном поле критическая температура сверхпроводника равна То = 92 К? Считать, что разрушение пары происходит прн Т = 0 К. 5.14*.
В 1962 г. Литтлом и Парксом была обнаружена осцилляционная зависимость продольного сопротивления пленки сверхпровод- 151 ника толщиной 11, нанесенной на диэлектрическую нить диаметром Р~~г2, от внешнего магнитного поля В, направленного вдоль нити. Измерения проводились в области сверхпроводящего перехода при постоянной температуре пленки Тб.
Зависимость сопротивления пленки от температуры в нулевом и конечном внешнем магнитном поле показана на рис. 91в. По результатам измерений была построена зависимость критической температуры пленки от магнитного поля 1фазовая диаграмма), изображенная на рис. 91б. Используя обобщенную формулу квантования Бора — Зоммерфельда ф (р,Л) = 2ллй 2е (р, = 2тт, + — А — обобщенный импульс пары), объяснить полученную зависимость Т,,(В) и вычислить диаметр нити.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
