С. Такетоми, С. Тикадзуми - Магнитные жидкости (1163253), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Предположим, что в цилиндрический сосуд с плошадью дна $ налита магнитная жидкость малого объема )г. При отсутствии внешнего магнитного поля магнитная жидкость образует горизонтальный слой высотой Ь (рис. 11.9га). Однако ввццу малости обьема Ь очень мало по сравнению с 5, и слой имеет форму пленки. Ниже рассмотрены три предельных случая.
Первый из них представлен на рис. 11.9,а, два других — на рис. 11.9, б и в. В случае рис. 11.9, а потенциальная энергия Е слоя очень мала и составляет Ее = Рф~)г12. (11.108) Злесь р — плотность магнитной жидкости, я — ускорение силы тяже'сти. Однако в магнитном поле необходимо учитывать магнитную энергию и . Поясним это обстоятельство. При наложении магнитного поля перпендикулярно поверхности пленки коэффициент размагничивания М для пленки становится равным 1. Для случая, представленного на рис. 11.9,а, формула (11.97) преобразуется к внцу. и, = Н вЂ” (ид )м (и ), (11.109) где Н, — напряженность магнитного поля внутри магнитной жидкости. Обозначим Ни, напряженность магнитного поля Н„которая содержится в формулах (11.100) и (11.109).
Для показанной на рис. 11.9, б конфигурации, когда на дне цилиндрического сосуда возникают л эллипсоидов вращения из магнитной жидкости с малой осью 2Ь и большой осью 2а, при условии Ьча коэффициент размагничи- Глава ! ! 238 Рис. 11ЯЬ Равновесные формы поверхности магнитной жидкости, расположенной внутри пилинлрияеского сосуда с плошадью основания Б. 1 — магнитная живность.
вания Ф для удлиненного эллипсоида стремится к нулю и напряженность магнитного поля Н, в магнитной жидкости становится равной а 0' (11.110) Поэтому магнитная энергия ивж равна и = — 1" ~ о М,(Н)с(Н. (11.111) Поскольку для показанной на рис. 11.9,а конфигурации магнитная энергия и , равна ™о — !пко>ма!на! М (Н)г !Н (1 1 1 12) 'о можно считать, что в случае, представленном н» рис. 11.9, б, магнитная энергия минимальна. При этом потенциальная энергия Е равна Е = рай)г.
(11.113) Поэтому с увеличением л при условии сохранення малости отношения Ыа, т. е. когда коэффициент размагничивания Х равен нулю, значение а может бььть уменьшено до )'/(2$). Зато при этом увеличивается суммарная площадь поверхности и возрастает поверхностная энергия Е,. На рис. 11.9, в показана капля магнитной жидкости в виде сферы. Поскольку в этом случае площадь поверхности минимальна, поверхностная энергия Е, также минимальна.
Таким образом, на рис. 11.9,а показана конфигурация, для которой потенциальная энергия Е минимальна, на рис. 11.9, б — конфигурация, для которой без увеличения потенциальной энергии Е может Гипромехаиика без учета внутренних степеней свобохы Рис. 11.1Ц Равновесная 4орма поверхности. полученная с поьххпью качественного анализа поверхностной неустойчивости. 1 — магнитная в; г — ма быть минимизирована магнитная энергия и,, а на рис. П.9, в — 'конфигурация; для которой минимальна поверхйостная энергия Е,. Поскольку в практически реализуемой конфигурации к минимуму сводится полная энергия Е=Е +и +Е„ с учетом равновесных форм, показанных на рис. 11.9, можно ожидать, что результирующая форма магнитной жидкости будет иметь вид, подобный представленному на рис. П.10.
Поскольку эксперимент дает конфигурацию, показанную на рис. 11.8, можно считать, что проведенный анализ дает качественно правильный результат. Проведенный выше анализ является качественным„количественный же анализ впервые был выполнен Каули и Розенцвейгом [Ц. Гайлитис выполнил исследования расположения пиков.
Он исходил из периодичности в расположении пиков на поверхности и представлял полную энерпно в виде степенного ряда, экстремум которого соответствовал равновесной форме поверхности, состоящей из суперпозицни lс-волновых мод [9[. Затем был подтвержден интересный факт гистерезиса расположения пиков иа поверхности при увеличении напряженности магнитного поля и ее последующем уменьшении [1О[. В Японии исследования поверхностной неустойчивости провели Судо и др. [1Ц. Глава 12 Гидромеханика магнитной жидкости как системы с внутренними степенями свободы В данной главе рассматривается гилромеханика магнитных жидкостей, обладающих в соответствии с определением Шлиомиса внутренним вращением, т.
е. гидромеханика магнитных жидкостей с учетом вращательных степеней свободы частиц 1Ц. 12.1. ПОНЯТИЕ ВНУТРЕННЕГО ВРАЩЕНИЯ Для упрощения рассуждений предположим, что все магнитные частицы магнитной жидкости являются сферами радиусом а и что в единичном объеме магнитной жидкости диспергированы л таких частиц. Мысленно выд лим одну из магнитных частиц (рис. 12.1). Будем считать, что зта частица вращается с угловой скоростью 0'. Если обозначить момент инерции частицы через Г, то момент импульса, которым обладает частица, будет равен 1' 0'. Поскольку другие магнитные частицы также обладают моментом импульса, Шлиомис ввел понятие объемной плотности внутреннего момента импульса 3 как обшей суммы моментов импульса всех магнитных коллоидных частиц внутри единичного объема магнитной жидкости.
Таким образом„вектор средней угловой скорости 0 собственного вращения частиц, $ и суммарный момент инерции частиц 1 связаны следующим соотношением: г 10 (12.1) Если все л магнитных частиц имеют одинаковую угловую скорость 0', то 0 = 0', 1 = л1'. (12.2), (12.3) Угловая скорость ы вращения элементарного объема жидкости в сдвиговом потоке записывается как ы = (1/2)гогч. (12.4) Здесь ч — вектор линейной скорости магнитной жидкости. В общем случае вектор угловой скорости м жидкости и вектор угловой скоро- Гнлромеканнка с уче~ ем внттрснннк стеленсй своболы 241 Рис. 12.1.
Угловая скорость П' врашения магнитной яастины и угловая скорость и = 11/2)гог а врашеиия злементарного объема жилкой основы. 0™О аг*! га1 и о гтйкяиявгйй нигвиаа сти магнитных частиц й не равны друг другу, поэтому возникает дополнительное внутреннее трение, обусловленное разностью скоростей вращения жидкости и поверхности частиц. Другими словами, член 8 — 1ы важен при составлении уравнений движения. Шлиомис получил систему уравнений движения магнитной жидкости с учетом внугреннего момента импульса 8: р — = — 17 ~р+ — 8(8 — 1и) +Чягор+ ~~+ — /5?(гг в)+ с(р Г 1 1 (г ~ 7 1 3/ + (М 57)Н + — т7х (8 — 7ы), 1 (12.5) 2г, д8 — =Мхн — — (8 — 7 ), 1 с(1 дМ 1 гй — = — (8 х М) — — — (М вЂ” М ).
1 т (12.7) ~7 ° (рк) .1. р = О, т7х Н = О, т7 ° В = 0„(12.8), (12.9), (12.10) д! (12.6) Здесь ч, (. — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости; т, т,— времена релаксации; 17 — набла-оператор. Формула (12.5) — аналог уравнения Навье — Стокса лля магнитной жидкости; (12.б) и (12.7)— уравнения для внутреннего момента импульса 8 и намагниченности М магнит.ной жидкости; уравнение неразрывности (12.8) имеет такой же вид, как ллй обычной жидкости; уравнения (12.9) и (12.10) — уравнения Максвелла для неэлектропроволяших вешеств.
Если в соответствии с соотношениями, приведенными в послелуюшпх разделах, преобразовать (12.5) в тензорную форму, то получим гла а ~г 242 уравнение рс(пз/е(г = да, /дх-, где полный тензор напряжений ад имеет вид (12А 1) 1 /2 х дп, [ а.. = — р + — 8(8 — 1ы) + 1 — и — «) — ' 1 д.. + а 13 )дх,[ +у~ ~ + с)+ ($, -(ыг)+ /д. д 1)дх, дх) 2; + НВ/ — --(НВ)дд (12.12) Здесь величины $. и се.
определяются следующим образом: $к = л.. $, юк = е„.-ьсс„= (1/2)(дп./дх — дпе/дх.). (12.13), (12.!4) В уравнениях (12.13) и (12.14) ва — трехиндексный символ Эллингтона'>. Отметим, что Твкахасй и др. [2] использовали теорию поляриьзх жидкостей в форме, отличной от подхода Шлиомиса, и получили такую же систему уравнений, как и Шлиомис. 12.2.
АНТИСИММЕТРИЧНЫЙ ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ Р Ь= [(2Ь) а )'Ь. (12.15) Здесь Р, — сила, приложенная к стороне А1у в направлении оси х, Поскольку рассматривается двумерный случай, а„является напряжением, действующим на единичной длине. Приложенный к стороне АВ вращающий против часовой стрелки момент равен Ь; Ь = [(2Ь).аж) Ь, (12.1б) ~ ~ В озечестаеииов литературе обычно используют з.ермип есимвол Леви-С1ивизтап. — Прим. Ред. Если говорить о видоизменениях уравнений гидромеханики магнитной жидкости по сравнению с обычной жидкостью, которые обусловлены собственным вращением частиц, то, очевицно, в тензоре напряжений а.
магнитной жидкости возникает антисимметричная часть. Член (1 /2г,)($д — 1оь ) в правой части формулы (12.12) становится антисимметричным по ~', /. Поясним причины этого явления на упрощенной модели. На рис. 12.2 показан квадрат, к стороне А,О которого приложена сила, создающая вращающий по часовой стрелке момент Гилромеханиаа с учетом внутренниа степеней своболы Рис. 12.2. Илликтрапня„поясняюшзя Форму прелставления тентора напряжений в обычном материале. где г" — сила, приложенная к стороне АВ в направлении оси у.
Чтобы квадрат не вращался, необходимо выполнение условия (12.17) что означает (12.18) о и у Поэтому тензор напряжений о„— симметричный тензор. Предположим, что внутри квадрата помещен волчок, который способен вращаться, и что вокруг волчка намотана нить, вытягиваемая в направлении х (рис. 12. 3). сила г1 будет равна сумме силы е,', приложенной к стороне АР в направлении оси х, и силы г";; раскручивающей волчок, т. е. (12.19) г1 = Е; + г,1. Чтобы квадрат не вращался, необходимо выполнение условия п1'(у = кгб.
(12.20) Поскольку Г1 определяется формулой (12,15), соотношение (12.18) - уже невыполняется. Другими словами, тензор о, не является симметля»уя» Рис. 12ль иллюстрапня, поясняюшая Форму прелстаплеиия тентора напряжений в вешестве. облалаюшем внутренним врашением. Глава 12 ричным, и возникает антисимметричная часть тензора напряжений ос с хк ояк = (1/2)(о — и ). (12.21) В магнитной жидкости подобные вращательные движения совершают магнитные частицы. 12.3. ЗАВИСИМОСТЬ ВЯЗКОСТИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ ОТ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ Общее свойство коллоидных растворов — увеличение их вя кости по сравнению с вязкостью жидкой основы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
