С. Такетоми, С. Тикадзуми - Магнитные жидкости (1163253), страница 34
Текст из файла (страница 34)
(11.30) д)е др (Р— р=)дд+ Н,.В, = од. дР р (11.31) где Ьб — символ Кронекера. Таким образом, формула (11З1) представляет собой запись тензора напряжений оа в магнитной жидкости. 11.1УЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ДАВЛЕНИЯ Единичнь1й обьем о вешества носит название удельного и связан с плотностью р соотношением и = 1/р. Поскольку с использованием и можно написать (11.32) дР' д !е — р — = — (чае), др ди формула (11.31) принимает вид (1!.33) на = ~ — (и)с) Ьв + Н,.В.. Г д (11.34) С другой стороны, если подставить в (11.34) выражения (11.11) и В= и и+М, (!1.35) получится , = ~1 — <к,> — 1 — си~ах — — и' ~ ь ~.
ага. (п.зц Гд "д ро 'о до Поскольку с и и могут принимать произвольные значении, для того чтобы равенство (11.30) было тождеством, долмсно выполняться со- отношение Глава 11 а (ого). бв (11.37) С использованием этого выражения тензор напряжений оа преобразу- ется следующим образом: ," = — ~р+,1~ . ( М)с(Н Ь уВ 8 + Н,.В.. 1н 8 )о а. (11.38) Выражение (11.38) справедливо не только для магнитных жидкостей, но н для любых жидких тел в магнитном поле.
11.1.6, сООтнОшение для ВАкуумА Поскольку в случае вакуума р = О, М = О и справедлива зависи- мость Ву = роНЗ, формула (11.38) записывается как (11.39) пк — — — роЕФЬо.l2 + роННЗ. (П.4О) Это соотношение определяет максвелловский тензор напряжений электромагнитного поля в вакууме. 1 1.1,7. сООтнОшения для пАРАмАгнетикА Намагниченность М парамагнитного вещества может быть записана следующим образом'>: М= ХН. (!1,41) Здесь х — магнитная восприимчивость, которую можно считать по- стоянной. Следовательно, формула (11.38) приводится к виду о- = — р + + доН1 Ь" + НВ.
(11.42) хН р и Зависимость (11.41) справелллва прп комнатным температурах н не очень сильвых маснвтпых полях, — Прим. ред. Здесь М вЂ” намагниченность магнитной жидкости, по — магнитная проницаемость вакуума. Согласно термодинамике, давление р в отсутствие магнитного поля предсз'валяется в виде Гидромехаинка без учета внутренних степеней свободы Подставляя выражение в= р,н+ хн, (11.43) получаем ог = — р+- )др+НгВ, Ива 2 ) (11.44) В соответствии с изложенным выше формула (П.38) для тензора на- пряжений применима во всех случаях: для нелинейной зависимости между Н и В в намагничиваюшемся веществе, деформируемых ве- шеств (жидкости), сжимаемьгх веществ. 11.2.
МАГНИТНАЯ СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА МАГНИТНУЮ жидкость Объемная сила 1, действующая на магнитную жидкость, с использованием тензора напряжений записывается в виде до,. ах' Подставляя выражение (11.38) в (11.45), получаем — +М 1. др ЭН. ахг ахг ' (11.46) Поскольку почти все используемые на практике магнитные жидкости, за исключением жидкостей на основе ртути, не проводят электриче- ский ток, из уравнений Максвелла следует (11.47) гогН = О, (11.48) и другимн словами, число магнитных частиц остается постоянным при изменении обкома ягипкости. — Прим. ред. Здесь использовано постоянство намагниченности для единичной массы магнитной яашкости, выражаемое равенством дМ/ д и = Оп. Первый член в правой части (11.46) является силой, обусловленной градиентом давления жидкости, второй член — зто сила, определяемая взаимодействием намагниченности жидкости с неоднородным магнитным полем.
Обозначив магнитную силу, действующую на единичный объем, как 1, „, напишем Глава !1 226 нлн дН,./дх! = дН,./дх. (11.49) С использованием (11.49) формулу (11.47) можно написать в виде (11. 50) У„„! = и/дН,./дх/. В рассматриваемом приближении намагниченность М магнитной жидкости полагается параллельной напряженности Н магнитного поля.
Математически это записывается как М = х(Н)Н. (11.51) Здесь х (Н) — магнитная восприимчивость, которая является функцией Напряженности магнитного поля Н. Согласно определяюшему соотношению, /' — потенциальная сила, и «магнитная» потенциальная энергию 6',„записывается как э! Су, = — 1 М(Н')ДН'. (11.52) о (В данном случае энергия магнитного поля не учитывается.
Ср. с (11.11).! Кроме того, можно написать (11.53) = — д(/ /дг — = — ягаг((/ 11.3. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ При решении зацач гидромеханики в отличие от составления и интегрирования основных дифференциальных уравнений движения известен более простой энергетический подход, который во многих случаях имеет четкий физический смысл. В последуюших двух разделах поясняетдя этот подход к решению задач гидромехаиикн. Как известно, теорема Бернулли позволяет в упрощенной форме рассматривать задачи гилромеханики (3].
Она отражает взаимосвязь между скоростью установившегося течения и давлением в невязкой жидкости. Например, при течении идеальной несжимаемой жидкости через показанную на рис. 11.2 трубку эта связь описывается следуюшнм образом: (1/2)рва + рас + р = сопя!. (11.54) Здесь в — скорость жидкости„а — ускорение силы тяжести, с — высота по вертикали над поверхностью Земли (рис. -11.2). Физический смысл уравнения (11.54), в котором первый член представляет кинетическую энергию, второй — потенциальную энергию, третий — энер- 227 Гидромеханика без учета внутренних степеней своболы лга гид тлаа Рис. ! 1.2.
Течение магнитной жидкости через трубку. гию, обусловленную давлением, состоит в постоянстве полной механической энергии потока, что соответствует закону сохранения энергии". При течении магнитной жидкости необходимо также учитывать магнитную энергию, определяемую формулой (11.52). Тогда уравнение Бернулли для магнитной жидкости принимает вид м (1!2)рпз + рдх + р — ~ М(Н')Г)Н' = СОП51. (11.55) о В этом выражении не учтена вязкая дисснпация энергии. Однако обычная жидкость обладает вязкостью, и при движении в ней выделяется теплота, обусловленная диссипацией кинетической энергии, вследствие чего закон сохранения механической энергии (11.55) не соблюдается. Однако, как будет показано ниже, при покое или при медленном движении формула (11,55) дает достаточно хорошее приближение. 11.4.
ГИДРОСТАТИЧЕСКАЯ СЕПАРАЦИЯ МАТЕРИАЛОВ Гидростатическая подъемная сила обусловлена градиентом давления, вызванным силой тяжести. Расположим систему координат хуа, как показано на рис. 11.3, и направим ось 2 вертикально вверх. Предположим, что все пространство заполнено магнитной жидкостью и в нем находится немагнитное тело объемом Р (рис. 11.3). На поверх- '1 Равенство (11.54) выражает теорему Бернулли в следуюгдей форме: при стаиионарном движении тяжелой идеальной несжимаемой жидкости сумма динамического лавлеиил р сз /2, статического давления р и ланлеини, обусловленного весом столба жилкости высотой -, сохраняет постоянное значенле вдоль любой линии тока (траектории).
— Прим. реа Глава 11 228 Рис. 11.3. Принцип сепарации материалов по плотности. 1 — немагннтное тело. матиимнаю $ „,айа] ность зтого тела со стороны магнитной жидкости действует давление р, которое определяется формулой (1 1.55). Поскольку в рассматрива- емом случае магнитная жидкость неподвижна, о = 0 н получаем (11.57) Здесь (КЯ„, с(Ю, ИЯ, — проекции вектора злементарной площадки с(о поверхности тела, а интеграл берется по всей поверхности. При подстановке (11.56) в (11,57) получаем Р— ~((мн + 1~ ~ н(н'~нн' 1 шн,. ((1.5$( л а~о С использованием теоремы Гаусса [4) (11.58) преобразуется к виду '1 В отечественной литературе — теорема Острогралсиото — Гаусса. — Прим.
ред. ,р = соплг — ряс + ~ М(Н')ЙН'. о В качестве начала координаты х на рис. 11.2 выбрана поверхность Земли, однако при другом выборе начала координат изменяется только константа в правой части формулы (11.55). Действуюшая на тело в направлении х гипростатическая подъемная сила Р записывается как Гнщюмеканнка бек учета внутренннк степеней свабодм )е = — ра ~ „сй' + ~,, М вЂ” е( 1~, дх (11.59) где е( Р— элементарный объем. Если считать, что в пределах объема тела М и аН/ах в первом приближении являются постоянными, то (11.59) записывается как Р = -ав'( — «/8)ман/аб). (11.60) Обозначив эффективную плотность магнитной жидкости как р ' и учи- тывая, что гидростатическая подъемная сила г, действующая на те- ло, выражается формулой Г= -акр, (11.61) определим р' следующим образом: р = р — (1/я)МаН/аг. (11.62) Следовательно, приложив магнитное поле с таким градиентом, чтобы член (М/8) аН/де был отрицательным, можно сделать р' больше чем р.
Например, если плотность меди равна р,„= 8,93 г см з, а плотность магнитной жидкости составляет около р„= 1 г.см з, то, задав значение (М/8) д Н/ах в (11.62) равным — 8, можно обеспечить всплывание меди на поверхность магнитной жидкости. 11.5. ФОРМА КАПЛИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ И ПОВЕРХНОСТНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ 11.5.1. НАПРЯЖЕНИЯ НА ГРАНИНЕ РАЗДЕЛА МАГНИТНОЙ И НЕМАГНИТНОЙ ЖИДКОСТЕЙ Рассмотрим поверхность раздела магнитной и немагнитной (типа воды) жидкостей (рис. 11.4) и выделим элементарный участок с(о (правая часть рисунка), содержащий охваченную штриховой линией на рис. 11.4 слева границу раздела.
Найдем силы, которые прикладываются к двум плоскостям, между которыми расположена гранина Здесь рассматриваются силы, возникающие на поверхности раздела магнитной и обычной жидкостей, чтобы объяснить такие явления, как изменение сферической формы капли магнитной жидкости и образование удлиненного зллипсоида вращения при воздействии однородного магнитного поля, а также поверхностная неустойчивость, когда в магнитном поле, перпендикулярном плоской поверхности магнитной жидкости, на этой поверхности возникает множество иглоподобных выступов (см.
рис. 11.8). гла а г~ 230 л ььаз 1 Нгьгагаимнаа згаьгааагаь (кг ьанаиагнаа кайо згаааагагь Рнс. М.а. Силы, действующие на границу развела мокну магнитной н немагнитной асквксстамн. г' — граница развела", 2 — элементарнак нлнцавка ~ГЗ. раздела. Тензор напряжений и, которые прикладываются к этим двум плоскостям, задается формулой (11.38), а компонента удельной силы Г определяется формулой Е, = о„.л., (11.63) где и = (л„л, л ) — вектор нормали к поверхности раздела. Если разложить вектор Г на нормальную и тангенциальную компоненты, то получится (11.64) Г= Р„п+ Е1. Здесь 1 — единичный вектор в тангенциальном направлении; Е„, а';— нормальная и тангенциальная компоненты Р, которые определяются формулами Г„= (Г и), Е, = (Г 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
