С. Такетоми, С. Тикадзуми - Магнитные жидкости (1163253), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Чтобы найти второй член показателя экспоненты в (10.84), в (10.90) подставим выражение (10.87) для х,"„. Получим /~11 о/сея 410.92) 1Л')„, е о [1+(ез/е — 1)Н)~ Выше были получены выражения в общей форме, а теперь рассмотрим конкретные значения. В формуле (10.91) сомножитель ио/Л'з при определении потерь становится пренебрежимо малым. В проведенных экспериментах использовался свет с Л = 633 нм. Поскольку размеры коллоидных частиц не превышают 10 нм, сомножитель си/Л'з имеег порядок 10-5, и этим членом можно пренебречь по сравнению с членом, обусловленным поглощением света в процессе электрической поляризации частиц.
Однако такая оценка относится к малым папочкам, а для больших цепочек, состоящих из нескольких тысяч илн нескольких десятков тысяч коллоидных частиц, упомянутый сомножитель следует учитывать. 10.9. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИХРОИЗМА На рис. 10.8 представлены зависимости относительных коэффициентов пропускания обыкновенной и необыкновенной световых волн от напряженности магнитного поля Н в магнитной жидкости на основе алкилнафталина для четырех значений объемного содержания коллоидных частиц.
Относительные коэффициенты пропускания получены путем деления значений коэффициентов при Н ~ 0 на значение коэффициента при Н = О. Для четырех образцов магнитной жндкости относительные коэффициенты пропускання обыкновенной волны по мере увеличения Н возрастали, а для необыкновенной волны— уменьшалнсь. Это объясняется тем, что коэффициент деполяризующего электрического поля ( Х ) для обыкновенной волны увеличива)ется по мере увеличения Н, а для необыкновенной волны соответству- Глава 1О 216 1,5 гг йб О,5 а 0,5 Н,Мй1м 1,б ющий коэффициент в направлении вектора электрического поля (1 — ( Ф >)/2 уменьшается. Судя по тому, что даже прн воздействии на магнитную жидкость на основе алкнлнафталина сильного магнитного поля явление днфракцнн не возникает, рэлеевским рассеянием на частицах можно пренебречь.
Следовательно, коэффициенты пропускания обыкновенной н необыкновенной волн Тг и Тгп для такой магнитной жидкости могут быть выражены следуюшим образом: Тг = ехр — 2зг †, рщ — э 2 '(10'93) сэ 4о~( 'э) <г1 1ч~ч+ е — <л'~~ч~ч — ь'3' гм= з ~ — з 1 — 1~ ',). цозю с1 а/(ые ) (1+ (7~1) ( ~е, — 1))2 )десь < М ) — усредненное значение гз1„[формула (10.59)).
Выражения ;10.93) и (10.94) были выведены из (10.84) и (10.92) по аналогии с вывозом формул (10.5б) и (10.57). на рис. 10.17 представлены результаты зычислений относительных коэффициентов пропускання обыкновен- Рис. 10.17. Результаты вычислений (линии) и экспериментальиьзе данные (кружки) по относительному коэФФициенту пропусканив Тг магнитной исндкости на основе алкилнаФталина. Светлые кружки — завчеиив относительного коэФФициента пропусканил обыкновенной волны, зачерненные кружки — то же длк необыкновенной волны.
данные по образцам 1, 2, 3 и 4 приведены на рис. 1О 8. 1 — образец 1; 2-. образец 2; 3 — образец 3; 4 — обрамц 4. Оптические сеойстаа магнитных вилкостей 2!7 Таблица Раз. Толшина пленки мжиитной мелкости лла четырех образное 2, 3 4 Обратен Топшина пленки, мкм 11,5 1З,О ю,з 11,9 ной н необыкновенной световых волн, полученных при подстановке в формулы (10.93) и (10.94) толщины пленки 11 из табл. 10.2 для четырех образцов магнитной жидкости. Одновременно приведены экспериментальные данные, которые очень хорошо совпадают с результатами вычислений. Отклонения толщины Н от значения 12 мкм вызваны неточностью изготовления пленочного образца магнитной жидкости, показанного на рнс.
10.6. Установлено, что в настояшее время зависимости козффнцнента пропускання от напряженности магнитного поля для магнитной жидкости на основе парафинового масла не могут быть объяснены с помошью изложенной выше теории [28). Причиной может быть интерференция света, возннкаюшая при увеличении размера цепочек, н зто явление также должно быть учтено в теории.
Глава 11 Гидромеханика магнитной жидкости без учета внутренних степеней свободы Магнитная жидкость отличается от обычных магнитных материалов в следующих двух отношениях. Во-первых, поскольку речь идет о жидкости, при воздействии внешней силы необходимо соответствующим образом учитывать ее деформации и изменения плотности. В общем случае при действии на жидкость магнитного поля помимо изменения внутренней энергии (включая и энергию магнитного поля) в жидкости возникают также изменения внутренней энергии, обусловленные изменениями плотности и деформацией.
В связи с указанными причинами силы, действующие на жидкость, не могут быть получены только на основе замкнутой системы уравнений, описывающих электромагнитное поле в среде 1Ц. Поэтому в данной главе прежде всего будут получены выражения для тензора напряжений электромагнитного поля в сжимаемой жидкости с высокими значениями магнитных характеристик. Во-вторых, необходимо учитывать внутренние степени свободы. Поскольку магнитные жидкости содержат магнитные коллоицнме частицы, которые обладают импульсом и моментом импульса, надо принимать во внимание поступательные и вращательные движения этих частиц. Однако хорошее приближение часто обеспечивает подход без учета внутренних степеней свободы магнитных коплоидных частиц.
При таком подходе, используемом в данной главе, магнитная жидкость рассматривается как однофазный жидкий магнетик, обладающий высокой намагниченностью. Внутренние степени свободы учитываются в следующей главе. 11.1. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ В МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ Ниже рассматривается тензор напряжений в магнитной жидкости с помощью методики, изложенной в работе 12). 219 1 ндромехачнка без учета ннутренннх степенен сноболы 11.1.1. ДЕФОРМАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА Выделим мысленно внутри магнитной жидкости бесконечно малый прямоугольный параллелепипед ОАВСОЕЕО объемом 1' (рис. 11А).
Зададим систему координат к, у, е, как показано на рисунке, и обозначим длины сторон через а, Ь и л. Тогда обьем У определится как (11.1) Здесь 5 — плошадь верхней грани ОЕ)сО и нижней грани ОАВС. Теперь рассмотрим деформацию, которая приводит к параллельному смешению 00' плоскости .РЕЕО в положение О'Е'Е'О'1 (11. 2) При этом образуется параллелепипед ОАВСВ'Е'Е'О' объемом У'.
Высота й изменяется как (11.3) и объем Р' составляет (11с4) Поскольку деформация обусловлена параллельным перемещением, плоскости ОЕЕС и О'Е'Е'О' имеют общий вектор нормали и: (11.5) и = (0.0,1). а'кл+йа Рнс. 11.1. Деформадня элементарного прямоугольного паРаллелепипеда ОА ВСОЕРО. Глава 11 220 Если обозначить радиус-вектор некоторой точки Р внутри прямо- угольного параллелепипеда как г, то после деформации ее радиус- вектор г' запишется в виде г'=г+и, (11.6) где и — вектор смещения, который можно выразить формулой и = (пг)$1а. (11.7) Изменение высоты ай определяется соотношением ал = ($п). 11.1.2.
ИЭМЕНЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЭНЕРГИИ (11.8) Если обозначить свободную энергию Гельмгольца единичного объема жидкости как Р(Т, р, В)„то Р может быть записано как Р(Т, р, В) = Р (Т, р) + ( Н(В')1!В'. (11.9) е Р= Р— НВ. (11.10) С учетом (11.9) формула (11 10) принимает внд Я Т, р, Н) = Ра(Т, р) — ! В(Н')г(Н' (1!.11) (формулы (11.9) и (11 11) содержат также энергию магнитного поля, см. (11. 52)).
Рассмотрим теперь изменения свободной энергии Р внутри прямоугольного параллелепипеда в связи с его деформацией. Свободная энергия РРпрямоугольного параллелепипеда объемом 1'рав- на ) (11.12) при деформации параллелепипеда Р)'изменяется на величину а(РГ) = Б(аЬ Р+ Ь аР) = Я ~Р($П) + Ь вЂ” аН + Ь вЂ” 4а 1. (1!.13) аР аР ан ар Здесь Ре (Т, р) — свободная энергия магнитной жидкости прн В = 0„ т. е. при отсутствии магнитного поля, р — плотность магнитной жидкости, Т вЂ” абсолютная температура,  — вектор индукции магнитного поля, Н вЂ” вектор напряженности магнитного поля.
С другой стороны, свободная энергия г с учетом магнитооптической энергии эапись|ваегся как Гиддомехеиике без тиета внутРенних ееепеией евКюдк1 221 р 1' = 8(ра) = сопзг (11.14) следует ар = — (р/л)66 = — (р/ЙН$п). (11.15) Поскольку нз формулы (11Л 1) следует аР/ан = — в, (П.(б) с помощью (11.15) н (11.1б) формула (11.13) может быть записана как 6(И ) = 5 [ ()е — — )((п) — аван ~. (и.17) аР ад Если электрический ток в жидкости отсутствует, можно ввести поня- тие магнитного потенциала у, который связан с напряженностью магнитного поля Н следующим образом: Н = — аи (г)lаг ее — аггее (г).
(11.18) Разложив ех (г) в ряд Тейлора, получим у (г) = ее„(0) + ( — ), е г+ а, (11Л 9) После деформации элементарного объема жидкости магнитный потенциал е преобразуется в и' и аналогичным образом разлагается в р д Тейлора: а ° к'(г) = к'(О) + ( — "),„е г+ .... (П.20) Если учесп, что при г = 0 смещение отсутствует, (11.21) у' (0) = у (0) -а,./аг Н = Н+6Н„ то формула (11.20) примет вид ее'(г) = 1е (0) — (Н+ 6Н)г+ ... (П.гг) (11.23) Здесь аг /д Н вЂ” вектор (аР/аН,, аР/аНм аР/а Нз), где Н„Н„Нз— компоненты вектора напряженности маизитного поля Н по осям х,, х, х (далее компонента векторной физической величины А по оси хе обозначается как А,, а модуль — как А ); 6Н н ар — изменения соответственно Н и д.
С другой стороны, из закона сохранения массы 1 лава 11 222 Изменение магнитного потенциала 1а в точке Р после деформаци равно р'(г) — 1а,„(г) = -8Н г + .... (11.24 Изменение у,„(г) может быть получено также следующим обре зом. Поскольку в результате деформации точка г — ц перемещается в точку г, магнитный потенциал 1а (г) в точке г после деформации ста- НОВнтСЯ РаВНЫМ 1в (à — Ц). СЛЕДОВатЕЛЬНО, ИЗМЕНЕНИЕ МаГНИтНОГО ПОтЕНЦИаЛа 1в В ТОЧКЕ Г В РЕЗУЛЬтатЕ ДЕфОРМаЦИИ СОСтаВИт 1а (г — и) — 1а (г) = — ц — = (цН) = (Н.$)(пг)/Ь. (11.25) а~ Здесь использована зависимость (11.7). Из (11.24) и (11.25) получается 6Н = — (Н.$)пlй. (11.26) После подстановки (11.2б) в (11.17) получим 8(Р)') = 3 Р— р — ) (и $) + ($.Н)(Вп) .
(11.27) аР~ а,) 11.1.3. РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ПРИ ДЕФОРМА11ИИ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА Найдем работу, затраченную на деформацию прямоугольного параллелепипеда, выделенного в жидкости. Пусть к верхней плоскости параллелепипеда РЕРО приложена сила, создающая нормальные напряжения: (яп) = ейл.. (11.28) Здесь компоненты а,. вектора е являются физическими величинами, смысл которых поясняется ниже. Если сила приложена по направлению х1 к плоскости, нормалью к которой является ось х, действующее напряжение равно и, Например, а является напряжением, которое приложено в направлении х к плоскости, нормалью к которой является ось у (плоскость хх ).
Запись а..пй означает суммирование по одинаковому индексу: а. л = 2~ в..л.. Если в результате деформации верхй1 . йй няя плоскость ВЕРО на рис. 11.1 смещается на величину $, то с помощью напряжений (11.28) совершенная работа запишется в виде 58(еп) = 5$рйл,. (!!.29) Гидромехаиика без учета аиутреииих степеней снобоаы 223 11.1.4. УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ Поскольку изменение свободной энергии прямоугольного параллелепипеда объемом Р', определяемое формулой (11.27), равно работе, совершенной внешней силой !(формула (11.28)), получаем 5 1()а' — р — )(сп) + (сН)(ВВ) ) = Всрп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
