С. Такетоми, С. Тикадзуми - Магнитные жидкости (1163253), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(11.65), (11.66) В дальнейшем для обозначения физических величин в магнитной жидкости будет использоваться нижний индекс а, а для физических величин в немагнитной жидкости — нижний индекс Ь. Нормальная компонента г силы Г„действуюшей на поверхность раздела со стороны магнитной жидкости, с использованием (11.38) записывается в виде о где Н,„= (Н, и), В,„= (В, п). (11.68), (11.69) Тангенциальная компонента Р„'определяется формулой аг Хг ааа ль ГгНагВагп~ НагВаа Гнлромеханнаа беа учета внутренних степеней евобоам где Н„, В,„— компоненты напряженности и индукции магнитного по- ля О =(Н, Ф), В =(В и), (11.71) . и использовано соотношение (1 и) = гпу = О.
Перейдем к рассмотрению силы Гь, действующей на границу раздела со стороны немагнитной жидкости. Поскольку в зтом случае намагниченность 88» = О, выполняется соотношение В,=„,Н,. (1 1.74) (11.73) Нормальная компонента силы 'Гь„записывается как Еь„= п.оь,п. = п~ — ( Рь + Нь ) б- + йо Ьз 2 ) + О.(р Оь:) п = — р + ~ Оь -ь д (О„)з, 2 (11.75) где Оь„= (Нь и). (11.76) Тангенциальная компонента гьч выражается в виде ~ы = (соей = яооыоьв (11.77) где го(Н = О, д(уВ = О (11.79), (11.80) выводятся условия непрерывности тангенциальных компонент напря- женности и нормальных компонент индукции поля при переходе через границу раздела ~а~ = Оы~ Вов = Вьв Рассмотрим условия баланса удельных сил (11.83) Для тангенциальных компонент условие баланса (11.84) Оьс (Нь (11.78) Рассмотрим теперь граничные условия для Н, В.
Из уравнений Макс- велла 2Э2 Глава 11 вь1ражается соотношением (!1.85) которое получается непосредственно из (11.81) и (11.82). Из равенства нормальных компонент ~аи ~ Ьи (11.86) р р /~ и <иМи р рр и ) р и 'о 2 1РЬ 1 Рь + 2 Нь + Роиьзи. (11.87) После преобразований получим — (р, — р,) — 7" м,(н) (н+ а+ аи ли+' Ь ЯО М (1 1.88) Если использовать следующее из (11.74) и (11.82) соотношение ~ Н = „,Ил+ М, (11.89) то выражение в скобках в формуле (11.88) можно упростить: )'ра + Наи19аи + НЬ РЕИЗЬи М~ 2 фа Здесь М,и — нормальная компонента намагниченности М, магнитной жалкости на границе раздела: М = (М,-п).
(! 1.91) Из приведенного выше уравнения баланса нормальных компонент магнитных напряжений следует Рь Ра + 1 Ма(Н)~~и + аи' 'о 2кь (11.92) 11.5.2. ФОРМА КАПЛИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим каплю магнитной жидкости в форме зллипсоида вращения, расположенную в однородном магнитном поле. Обозначим приложенное внешнее магнитное поле Н = (О, О, Нь) (рис. 11.5). Из- Гилромеканнка бсу учета внутренннт степеней своболь~ Рис.
Ыть Иаменеиие формы капли ыагннтной жилкости в приложенном магнитном поле Но. г' — магнитная жалкость. вестно, что при помещении в однородное магнитное поле эллипсоида из магнитного материала магнитное поле Н, = (О, О, Н, ) внутри его сохраняет однородность и совпадает по направлению с Н, причем намагниченность М, также однородна по его объему (2). Следовательно, поскольку намагниченность магнитной жидкости совпадает по направлению с Н, нормальная компонента М,„(А ) намагниченности в точке А, расположенной на экваторе эллипсоида вращения, равна (11.93) Мая(.4) = О.
Поэтому уравнение баланса давлений в точке А имеет вид ре(А) = р,(А) + ~ 'М,(Н)ИН. (11.94) Здесь р,(А ), ра(А ) — значения давлений р„р„в точке А. Нормальная компонента М (В) в точке В верхнего полюса эллипсоида вращения равна М,„(В) = М, Ф О. (11.95) Уравнение баланса давлений в точке В имеет внд р (В) = р,(В) + ~ М (Н)г)Н + 'о 2 до Если давление ре в немагнитной жнпкости, окружающей магнитную 'ггг, жидкость, постоянно, то, посколькучлены ) ' М,(Н)г(Нввыражени- о 1 ях (11.94) и (11.96) одинаковы, давление р, (А ) в точке А больше дав' ления р„(В) в точке В на(122р )Мт.
Глава 11 Рис. !Кб. Капля лжтиитной жидикти в форме эллнпсонла вождения в немагнит- ной жидкости.! — каппямагиитнойжил- кости. г же (0днв) Если на каплю магнитной жидкости действуют только капиллярные силы, т. е. Н„= О, очевидно, что она примет сферическую форму. Теперь предположим, что капля находится в однородном магнитном поле малой напряженности Н . Поскольку из формул (11.94) и (11 96) следует„что давление магнитной жидкости в точке В меньше на величину (1/2р )Лк," давления в точке А, капля магнитной жилкости будет вытягиваться вдоль оси е, чтобы компенсировать зту неоднородность давления за счет нарастания кривизны поверхности и увеличения капиллярного скачка давления.
В этом состоит качественное объяснение вытягивания капли магнитной жидкости вдоль магнитного поля, которая приобретает форму удлиненного эллипсоида вращения. Количественный анализ формы капли легче провести не с помощью описанного выше метода, основанного на тензоре напряжений, а путем сопоставления энергий единичного объема жидкости с помощью уравнения Бернулли. Как отмечалось выше, при наложении однородного магнитного поля на эллипсоид из магнитного материала внутри его магнитное поле тоже однородно и совпадает по направлению с внешним. Рассмотрим случай, когда капля магнитной жидкости имеет сигарообразную форму, которая может быть представлена эллипсоидом вращения, имеющим большую псь 2а и малую ось 2Ь (рис.
11.6), и находится в олнородном магнитном поле Н„= (О, О, Но). Внешнее магнитное поле О» направлено вдоль большой оси (направление х). Напряженность магнитного поля Н, = (О, О, тт',) внутри магнитной жидкости 235 Гидромекаиика бее учета внутренних степеиеа свободы удовлетворяет условию Н„= Н вЂ” (ЛЧр )М,(Н,), (11.97) где Ф вЂ” коэффициент размагничивания в направлении ж и = — ~ — ~ ! а ь Ге-э) — 1 ~ п1.9а /сР— 1 ( 7Р: 1 Здесь (11.99) /с = а/Ь. При /г = 1 (сфера) Х = 1/3; по мере увеличения /с (увеличение большой оси) И стремится к нулю. Зависимость М,(Н) для магнитной жидкости определяется однозначно: М = М(Н).
(11.100) Поэтому Н, может быть найдено из формул (11.97) и (11.100). При этом магнитная энергия и капли магнитной жидкости опрелеляется как и = — 1' ~ ' М,(Н)г(Н. (11.101) Здесь к" — объем капли: 1' = 4ааЬ'/3. (11.102) Поверхностная энергия капли обусловлена действием сил поверхностного натяжения. Если обозначить коэффициент поверхностного натяжения как 7, площадь поверхности — как 3„, то поверхностная энергия Е, запишется в виде (11.
103) Поскольку площадь поверхности З„зллнпсоида вращения на рис. 11.6 выражается формулой 5„= 2каЬ[1/й + (1/е)агса(пе), (11.104) поверхностная энергия Е, определяется как Е, = 2ктаЬ(1//с + (1/е)агсз(пе). (11.105) Здесь е — эксцентриситет эллнпсоида: .= да, -=ив,. (11. 106) 236 Глава 1! 1 0 Ю й В й Лаэя/у Рнс. 11/Ь Зависимость еормы капель магннтноя мнлкостн от параметра л/ел Я /7.
Лн- ннв — теоретическая эавнснмосэь, точки — экспериментальные данные. Функция агсв1пе соответствует главной ветви арксинуса, значения которой заключены в промежутке [ — я/2, я/21. Форма капли магнитной жидкости заданного объема (г определяется из условия минимума суммы магнитной энергии по формуле (11 10!) и поверхностной энергии по формуле (11.105): Е=и +Е,. (11.107) На рис. 11.7 показаны теоретическая кривая, полученная из условия минимизации функции (11,107), и экспериментальные данные [5[. По горизонтальной оси отложен безразмерный параметр М~ )с /7, содержагций намагниченность М, магнитной жидкости, радиус капли )г в отсутствие магнитного поля, а также коэффициент поверхностного натяжения 7. Исследования капель магнитной жидкости были начаты Тараловым [б[ и продолжены Архипенко и др.
[7[, Готой и др. [В). 11.5.3. неУсТОйчиВОСТЬ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСти Если налить магнитную жидкость в сосуд, то при отсутствии магнитного поля свободная поверхность магнитной жидкости занимает горизонтальное положение, однако при наложении магнитного поля, направленного перпендикулярно свободной поверхности, на ней появляется множество острых пиков (рис. 11.В). Ниже изложены причины этого явления. Гидрсмехаинка бег учета внутренних степеней свободы 237 Рис. 11.8.
Поверхностная неустойчивость магнитной пылкости, вызванная нормальным к свободной поверхности магнитным полем. В предыдущем разделе рассматривалась суммарная энергия капли магнитной жидкости, состоящая Из магнитной (и ) и поверхностной (Е,) составляющих. В данном разделе будет также учитываться потенциальная энергия Е магнитной жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
