И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Далее, гл. т. колевания давления в шлюзовых гллевеях 195 так как ( — ~ можно пренебречь. Замечая, что Но — аз= /д~' Оо „, из (5.8), получаем: (го 2д'(ЬЛ)о —" =(Но — «о) — ' 2л Ро' откуда ()о 2 (Но — ло) Подставляя это значение д в (5.7), будем иметь: Оо ~~ + 2(Но — ) Или, обозначая а' = — ", где 7 — удельный вес жидкости, а р — повышение давления в шахте сверх стационарного, и опуская штрихи, т. е. подразумевая под те избыток скорости в галерее в данный момент над стационарной, получим: (уто)о о 1 д + 2 Н вЂ” р~ . (5.9) 2(Но — оо) т Второе граничное условие запишем в виде р =о=э(() (5.10) При этом мы будем считать, что 7 (г) = О для Ф ( 0 и по модулю меньше некоторой экспоненциальной функции времени. Скорости и давления условимся отсчитывать, как уже указывалось, от своих стационарных значений, существовавших в момент времени 1= О. Таким образом, начальные условия будут: 1=0, те=О, р=О при 0 (х(7. (5.11) Под длиной 1 будем подразумевать расстояние от щита до сечения, в котором известна пульсация давления 9(1).
Интегрирование уравнений (2.1) при граничных условиях (5.9), (5.10) и начальных условиях (5.11) даст нам решение задачи о связи пульсаций давления на щит с пульсациями давления в галерее. 13о 196 гл. т. колввьния длвлвния в шлюзовых голярвях $4. Определение давления при заданном напоре и неподвижном щите. Общие решения уравнений (2.1) можно, согласно (2.23) и (2.24), искать в виде а — в ш= ~ [А,(в)соз — +Аз(а) з!п — 1с' 'с(а с с ] — со — в в — в р = (рс ~ ~Аз(в) соз — — А! (а) з!и — 1 ссвс с(а.
с с — со — в (5.12) Гидравлическими сопротивлениями для простоты пренебре- гаем и в уравнениях (2.1) полагаем 2а = О. Граничное условие (5.10) представим следующим образом: х = Д, р = <р (Г) = ) Ф (а) с!вес(а, (5.13) — (реОо рсРв ) А,(а) =~2(Но — *о) Ту+ у ~Аз(в), в! (рс ~Аз (а) соз — — А, (в) з!л — ] = Ф (в). в! ) с с) (5.14) Решения системы (5.14) имеют вид ( — — — )Ф (в) г~' в! реОоГР ! 1 . в! соо — — — ( — — — ) 31П— е У ~тОо 2ро) е Ф( ) ! в! рсооl рв ! Х .
в(1 ' (рс соо — — — ~~ — — ~зш е У (,ТДо 2ро1 с ) (5.15) где обозначено (5.16) ((~о — ло) = ро. где Ф (в) — частотный спектр р (!), определяемый формулой (2.9). Подставляя (5.12) в граничные условия (5.9) и (5.10), получим для определения А,(а) и Аз(а) следующую систему уравнений: Гл. у.
колеБАния дАВления В шлюзОВых ГАПВРВях 197 Нас интересует величина пульсаций давления в шахте, т. е. Нри х =О, которую мы найдем из (5.12) и (5.15): Ивв рс о Ф (м) ссмв ввГ РСОО Г Ь'в 1 т , А>1 С05 — — — ~ — — ) 51П— с У 'Ат(75 2ро) с или йв, (5.17) р-=.=,",„„„+,ь,.„, где <о5 Р с Г с й= — —, У л(' С о ССЯ Р~0~ Р~~~ 2роу 2ро ' тс ()о о — у. (5.18) (р,„„) 5=2я('„~~~ йш (Ф(м)(со — А)) Х в-В~в с вас Х (б.19) с05 т — (ать — (Ь) 5!и ть Вычеты подинтегрального выра>кения, соответствующие осталь.
ным полюсам (5.17), будут ""вс (р„„),=2 Х л И '), (бло) 5(П тв — „(Сок т — Ггт + 5Ь)„,,„ Легко видеть, что й, Р и д безразмерны. Можно показать, что интеграл (5,17) удовлетворяет лемме Жордана, обращается в нуль для т(0 и определяется при помощи вычетов. Ограничимся случаем, когда ф(а) имеет только простые полюсы ова на действительной оси. Тогда вычеты, соответствующие ма (вынужденные колебания), будут 198 ГЛ.
У. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ где а, — корень уравнения с(д е, — Й рб + И = О. (5.21) После дифференцирования с учетом (5.21) и (5.18) получим: — [с(8 ~Р— йр+ И)„= — ( .„, + й) — = я' г 1 — (с(пя Р, + 1+ й) — = — (й'- '-; — Ь вЂ” (2Ьйр„~,— 1+ й) —, ( ! откуда б~ббб ° с Ф(м,) Е (рбббб "-' (:-Г(абеб-аб-12аат .(-Л4-1) 21Я т ' Можно представить (р„„), еще таким образом: бш„б = — 2 ' б ~2 Ф(ч.)ббятб (рбббб)м б 1 б й 1+а21вбтб (5.28) Некоторые затруднения встречаются при определении е„ которое, очевидно, должно быть комплексным. Для нахождения у, полагаем р, = яб+ ф„где яб и рб действительны.
Из (5.21) получим: с(Я (сс, + фб) — (2 (а, + ф,) + И = О или 1 21 я 222 — б 212 252 2 21Я2Я +бй25 ( б+ гб)+ откуда для аб и ~, получим после отделения действительной и мнимой частей следующие выражения: — ЯЯ =О, 2 2!Яб аб+ айб(бб — +Ц,— Ь вЂ” О. (5.24) Так как Й и д положительны, то из (5.24) следует, что ~, ) О. Таким образом, подинтегральное выражение (5.17) не имеет полюсов в нижней полуплоскости. Очевидно, все р, гл. ж колввания давлвния в шлюзовых гллвявях 199 весьма малы, так как из (5.24) ь гв(»~ — »а,=О, 222+ Ьа 2+82 +»~,— Ь =О. (5.25) Из первого уравнения (5.25) получим: ! а,+р, откуда Г! 2 а = -22Г 2 — г' » Далее, из второго уравнения (5.25) 2٠— Р = О, откуда Ь 2» и Г! Ь2 а =:~" )/ 2 — — У» 4»2.
(5.26) 15.27) Что касается корней а, и ~„при в) 1, то из (5.24) следует, что Р2 ( — весьма малы. Исследование же корней яа Ь а —, согласно 15.18), обычно очень мало. Ь Заметим, что при Рфб, » и Ь, согласно 15.18), очень велики, особенно», содержащее множителем ся. Величина же Ь = — есть отношение давления, которое получилось бы 22222 2Р2 при гидравлическом ударе в галерее, к двойному напору на щит. Эта величина также весьма велика, но гораздо меньше », Ь так что — ничтожно мало. Эти соображения показывают, что » для определения а, и Р, в (5.24) можно синусы заменить углами и искать я, и Р, как решении системы 200 гл.
ю колввания давлвния в шлюзовых гллвввях можно для наглядности произвести графически следующим образом. Представим уравнения (5.24) в следующем виде: =2(з1пяа +зйя~,) (5.28) и построим графики функций з1п 2а зй 28 Гга ' ~я ь — аз (5.29) а,л Фиг. 46. кривой, заключйнная между осью ординат и асимптотой Ь а' Проведем теперь какую-либо прямую М)ч', параллельную оси абсцисс. Пусть точки пересечения С, Аь Аг„Вм Вг, ..., этой прямой с кривыми у, и уя удовлетворяют первому из уравнений (5.28). Так как л весьма велико, л:,Э 1, то для удовлетворения второму уравнению (5.28) следует искать корни и, в окрестностях точек „„Вз, Вм ...„лежащих около точек ='(з — 1)л, я=2, 3, Из графиков фиг.
46 видно, что во всяком случае )а,~)(г — 1)я, я=2, 3, Во втором графике (фиг. 46) нас будет интересовать ветвь гл. ч. колавання давлвния в шлюзовых галвввях 201 Ниже будет показано, что в сумме (5.22) или (5.23) основную роль играет корень е, уравнения (5.21) и члены, соответствующие з >1, могут бйть опущены с очень малой погрешностью. При отсутствии шахты Р= 0 и Ь = О.
Из (5.24) для Ь = 0 получим: иг —— О, ~2а ~=(г — 1)н, откуда возможные значения будут з — 1 !и,! — я, з>1. Из второго уравнения (5.24) при (а — 1) нечетном — а — Ь=О или й~,— Ь. (5.30) ~р,=(з — 1) — +ю'агсй Ь з> 1. (5.31) Рассмотрим частные случаи. 1. Найти пульсацию давления на щит при внезапном изменении давления в галерее (5.32) Для этого случая Ф (а) = —.—. 1 В ив' (5.33) Из (5.18), (5.!9) и (5.33) получим: аь —— м1 — — О, р,ч,= В. (5.34) Так как Ь )~ 1, то последнее уравнение невозможно. При (з — 1) чйтном второе уравнение (5.24) обращается в сй р = Ь и при Ь>1 имеем единственный корень ~,=агс15Ь.
Таким образом, окончательно при 3=0 корни (5.21) имеют следующие значения: ~р, =ратей Ь, 202 гл. ч. колввлния давлвния в шлюзовых галвввях Из (5.33) и (5.23) б в 'кт в!и Чве Ровоб= — 8 ~~ !1 ! 'а (5.35) Оценим величину суммы (5.36). Учитывая (5.21), получим: бове е в (ар, — ь)в+ 1+ а .),+, в=в ф' (ай — !Ь)в+ 1 со о в "в Замечая, что !ио! > (е — 1) я, е > 1, будем иметь: 1 ! 2 1 2 вв 1 о в=в " в=в Так как !е содержит квадрат скорости звука, то — очень 1 мало, так как — „тоже очень мало. Таким образом, в (5.36) Ь сумма ~~,', может быть опущена при практических подсчетах, для которых достаточно ограничиться только первым членом. Из (5.26) и (5.27) следует, что а! и р, весьма малы и ОТНОШЕНИЕ МОЖНО ЗаМЕНИтЬ ЕДИНИЦЕИ.
ТОГДа ДЛЯ Ровоб в!и о, чб Учитывая (5.22), представим (5.35) следующим образом: овоб = В в!п,гбеьо ! оэ бо,б + Х !!ач,— !ь> +!+а) о,.! т,! (5.36) Гл. у. ЕолееАния дАВления В шлюзОВых ГАЯБРеях 203 из (5.36) получим, замечая, что СЬ 1 Ьа С~ 2Ф Ь 4ЬС' (5.38) зсс мс= 1 (5.39) ,са/С з зят4 1+ЬВСяятс /сЬ „Г1 Ья ~ ~+а~ — '=у — — ) ~2~ Р 4ЬСС -7 Г'1-4 асс =е "" = е '"' ~соз (~/ 1 — — =) + + З1П(~/ 1 и' СС )~ (5.40) 4Ф Вводя обозначения сСО= ф' г~ ~ =Г' ГС Ос 4 (Ио — лс) Р (5.41) где У Ьс — п (5АЗ) 133= 4 Ьо из (5.40), (5.18) и (5.24), получим после всех упрощений р „о —— -р,„„+р, сс = В(1 — (с " соз(С' Ссо — и С вЂ” 5)), (5.42) 204 гл.
т. колввлния дввлвния в шлюзовых гвлвввях формула (5.42) не содержит скорости звука с и отвечает гипотезе о несжимаемости жидкости. В следующем параграфе мы ей выведем непосредственно, считая жидкость несжимаемой. 2. То же, что и в первом примере, но Р =0 (шахта отсутствует). Решение получается из формул (5.19) и (5.22), в которых, согласно (5.18), следует положить й = О.
(5.44) (рсвоб)е о = — Ве и Так как, согласно (5.18), сС се 2ро 2у(Но — ео)г Ы Е срвео бес( то вв (и,— в,) ре о =рвыв + ровоб В (1 — е вн ), (5.45) что, так же как и (5.42), соответствует случаю несжимаемой жидкости. $6. Решение для несжимаемой жидкости. Покажем, что формулы (5.42) и (5.45) можно получить непосредственно, считая жидкость несжимаемой. Для несжимаемой жидкости повышение давления р=р о в шахте сверх стационарного вследствие всякого рода возмущений связано Очевидно, как и в первом примере, р,„в = В. Далее, а, = =(р,— и из (5.30) и (5.31) получим для (5.22) 1( сб — в— .с В в' е (Робов)и=о = — 2я( — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
