И.А. Чарный - Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах (1163243), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ПустьЯ-Я>+й,ш= е+~' «=»о+»' 5=де+у где Яе, а~ш «е, Ьр — стационарные значения, а, тв', «', у — их малые приращения. Тогда 212 ГЛ Ч. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ сила трения, принимаемая пропорциональной первой степени скорости, е — площадь поперечного сечения щита (е= Ы, с1— толщина щита), р' — повышение давления в шахте сверх ста- ционарного У= иго. лу У=— сг ' Из уравнений (5.65), (5.67), (5.68) и (5.70) получим после простых вычислений граничное условие при х = 0 в следующем виде: + аоло1 — + — Р+ — ) = —, (5.71) о /уа р ° р х лес 0~1ео 7Оа 2ро) й ' где о а ао=М1 РО=Т(ОБ — Яо) 2»= —; — ч.
те = [А1 (а) соз — "+Ая (а) шп — 1 ео"" с Я с 1 р = фаАз(а) сов — "" — А, (а) З1Š— "1е»ас, с 1 С 1 (5.72) где с = у — — скорость звука в жидкости, А, (а), Ая(а)— Г с» функции комплексной частоты а. р<Н11 = —, Π— вес щита, И= 9,81 м7сек. Точки сверху сГор я означают, как обычно, дифференцирование по времени, а под р н те подразумеваются здесь н везде ниже только переменные составляющие давления и скорости. Определение устойчивости движения будем производить, как обычно, следующим образом: найдйм спектр собственных частот системы поток — щит, предполагая эти частоты комплексными. Если все частоты будут иметь положительную мнимую часть — движение будет устойчивым, если же окажутся частоты с отрицательной мнимой частью, то движение будет неустойчивым.
Для етого обратимся к уравнениям (5.64). Частные решения для те и р можно искать в виде ГЛ. М. КОЛЕБАНИЯ ДАВЛЕНИЯ В ШЛЮЗОВЫХ ГАЛЕРЕЯХ 213 Из граничных условий (5.66) и (5.71) получаем: аЮ аЮ Аз(а) соз — — А,(а) з1п — = О, с с Р' 1 22Р ~ Р р ~ — в — ю( — + — )а — ( — + ') .(ао АВ)1 2 У 2 + ю'/ — — — 11 А (а) — — (аз — ю22а — ве) Аю (а) =О. (2Ро ОвоЧ ' Ю;Юо Ф(р) = (азвз — юазрз — лю р+ + юао) з!п 7 — (<рз — Юююю р — Ьо) соз юр = О, (5.73) где аг Р сю сраз Ю 2РЯЕ р= —; аз —— — —, а,= —,+ — —; с ' 7дЮ ' 2Ро+ У А'' 1ю 0 ~юа а,= — — + — — 2; Рю К У з' сраз 2 тзг Ю ае.
'е= 2 'Р' — юд (5.74) 52=2 —; азг юрз =— с 2. во=во' причйм тео = — — средняя скорость течения в галерее. ююо У В тех случаях, когда все корни (5.73) лежат в верхней полуплоскости, движение устойчиво. Если же некоторые корни попадают в нижнюю полуплоскость, то движение, вообще говоря, неустойчиво. Общим, но довольно трудоемким методом является отделение в формуле (5.73) вещественной и мнимой частей с по- Приравнивая нулю определитель из коэффициентов при Аз (а) и Аю (а), получим после приведения к безразмерному виду следующее уравнение для собственных частот системы: 214 Гл. ч. кОлеБАния ЛАВНВния В шлюзОВых ГАлегеях следующим аналитическим или графическим решением получаемой пары уравнений аз (Ев ЗЕЛЯ) + 2авЕИ вЂ” а1Š— — (Ев т)в+ Ь1'9 Ьо) „в Е ьв 1 ЯЬ2Ч 2 (2Ет) — Ь,Е) в!пвЕ+ Ьв — — ~0, аз (3Евт) — '9в) — ав (Ев — 'лв) — а 11! + ае+ + 2 (Е т1 + Ь1т1 Ьо) !Яв Е+ вйв ч в в БЬ 2ч РЬ ЬЛ =о, 1 в1п 21 2 в!Яв!+АЬ 1! ар= !+ 1ЛЬ Аналитическое исследование расположения корней уравнений, подобных (5.73), является весьма сложной задачей* ).
Г!оэтому, повидимому, практически пригодными будут чисто вычислительные методы, позволяющие для заданных значений параметров а, а„ ав, ав, Ь, Ь, констатировать устойчивость или неустойчивость. В качестве одного из таких методов, близкого к методу Найквиста, можно предложить следующий: вводим новую функцию ~, связанную с вв соотношением 11= ! —. Нижней полуплоскости м соответствует на плоЕ+1 Š— 1' скости Е окружность единичного радиуса с центром в начале координат. При этом вместо уравнения (5.73) получится урав- нение ф(1 — ) = Е!У= и+1яь (5.75) *) Чеботарев Н.Г.
и Мейман Н.Н., Проблема Рауса Гурзица для полиномов и целых функций, труды Матем. ин-та им. Стеклова, т. ХХЧ1, Изд-во АН СССР, 19в9 г. По уравнению (5.75) на плоскости !Р можно построить контур, соответствующий окружности единичного радиуса на плоскости Е. По расположению точки !Р= 0 относительно построенного контура можно судить об отсутствии или нали- Гл. ч. кОлеБАниЯ дАВлениЯ В шлюзОВых ГАлеРеЯх 215 чин корней внутри круга плоскости ь или, что то же, в нижней полуплоскости юр.
Этот способ пригоден для любых знаЧЕНИй ПараМЕтрОВ ае, а„ав, а, де, дю. Практическая необходимость в таком расчете возникает, однако, только тогда, когда эти параметры являются величинами одного порядка. В действительности для существующих напоров и размеров в шлюзовых галереях параметры аз и ав гораздо больше всех остальных. Отсюда можно заключить, что корни уравнения (5.73) будут располагаться вблизи точек юр = пл, п О, 1, 2,... В этом случае можно положить (5.76) где и =О, 1, 2, ..., а 3 — очень малое число, вещественное или комплексное. Тогда из (5.74), (5.72) и (5.71) приближенно получим: ю (ее+В) ею е)= ю, те о Ае А — — Аю 1д юр Аю 188 ж Аю 3, (5.77) Учитывая (5.77), уравнение (5.78) можно представить в виде Ре о Р1( Ою ) — юплрс(те)е о (5.79) Для наинизшей частоты (и= О) мы получили известную фор мулу для несжимаемой жидкости.
Подставляя теперь (5.79) в граничное условие (5.71), получим, после отделения вещественной и мнимой частей, два обыкновенных дифференциальных уравнения четвертого и третьего порядков с постоянными коэффициентами, устойчивость решений которых можно легко найти из определителей Гур ница. откуда ею ю(ее+а)— р „о юрсА)5е ею ЮЮое+Ю) — . Ю< +Ю) —, ы = ]юрс(пл+ 8) е ю — юрспле ю ] Аю.
(578) 216 гл. т. колввания давлвния в шлюзовых гллзгзях Для наинизшей частоты (п=О) из (5.71) получим после упрощений: +до ~, Н +, у + чв+ "о )'аоот )зг ) ° Л~мо гзо 2д (Но — зо) 0 1 ооо где (1Н), (111) — знаки порядка производной, например пт) оою Ж~ ' Раскрывая детерминанты Гурвица *), получим следующие критерии устойчивости движения, определяемого (5.80): ч Л йо о)о1 то! 2 — о+ — — ) О, по 2з'(Но — зо) —:Ф вЂ” "„.',,-Ф1 2(НО хо)+ З вЂ” Н, а + У И + ' "омо ( Р 2'4 + Но зоей +У К+1 во+ И 2(но хо) б (5.82) Нетрудно видеть, что при Р=О и «=О движение шита всегда неустойчиво, так как условие (5.82) не может быть выполнено. При малой величине о, как следует из неравенства (5.81), неустойчивость увеличивается с увеличением напора и уменьшением открытия шита л .
Лля ббльшего удобства выразим тзо и зо через напоры верхнего и нижнего бьефа Но, Н, и открытие ))о. Пусть *) См., например, К р ы л о в А. Н., 0 некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах, Изд. Академии наук СССР. гл.
ш колввония довлвния в шлюзовых голзввях 217 высота галереи есть «, (фиг. 45). Тогда расход 90 найдйтся из соотношения д, =,Ь«„= р««, ~l 28 (Н, — Н,), (5.83) где р — коэффициент расхода, являющийсЯ известной функ"о цией высоты открытия или отношения —, Но — Н, — раз«о ' ность уровней верхнего и нижнего бьефов (фиг. 45). Зависимость э=10~ — ') известна по опытам Вейсбаха и др., при'«оь «г ведйнным во многих курсах гидравлики.
Обозначим теперь через то, скорость струи, вытекающей из-под щита в сжатом сечении; тогда можно написать: .„=о гд/и,— о~, где Ф вЂ” коэффициент скорости. Далее, уравнение Бернулли для участка между сжатым сечением струи и сечением, где выходящая струя достигла галереи, имеет вид Геож ~0 (Шож Гоо) — +л = — +Н+ 2ж -о 20 г 2л (го — ш )о Здесь — 'ж ' потеря напора„которую мы оцениваем 2я по теореме Борца-Карно. Величины гэо и тэож связаны соотношением неразрывности тэожя«0 тэо« (5.85) где а — коэффициент сжатия струи, вытекающей из-под щита.
Из уравнений (5.83) — (5.85) получаем: 'оож 'жО (Гэож Гое) Но — во= Но+ — — — — Н— 2л 2л г 2л 2шо /ш =Н,— Н+ — ~ — * — 1 = 28 1 гоо ( «10 «о =Но. Н +2 Р 0) (Но Н) ~ — — 11= «,) ~.« 00 — 00(1.$-2(о — „) ( —" — 1)) 218 гл. т. колввлния довлвния в шлюзовых гллвввях или Нд го = Е(Нд — Н ), (5.86) где Е=Е/"о 1 1+2)ьд "о 2)гв("д) (5.87) Лалее, тдд = )о л У28' (Но — Нг) "о г откуда, учитывая (5.86): ь г2гг~гн~ Ого гдо Н )/28 (Но — Нг) ' Но — гд лг Е (Но Нг) к ( о — ~г) чд 2Ь 2гаг Е У28(Но — Нд .) ьОг У2у(Но — Нг) где Ч "гоо А = —— таГ Е у 2(Но Н1) 0 '6 = — ' — относительное открытие щита. Из (5.89) можно ло Аг найти значение о, при котором движение будет устойчиво. Обозначая тм — = В' Ф ЧН 2( 2аг = К„' г и 1ячц:но г2г~н — г) 2 ( Кг Кг)' (5.90) С помощью этих формул могут быть найдены и исключены из условий устойчивости (5.81) и (5.82) величины тео и Н вЂ” го.
Рассмотрим случай Р= 0 (шахта отсутствует), оф О. Подставляя (5.88) и (5.87) в (5.82) и полагая Р= О, получим после упрощений: Ч "гоо Гл. У. кОлеБАниЯ дАВлениЯ В шлюзОВых ГАлевеях 219 получим: ч ) ~lйз+  — з (5.91) или, если ,ч (( 1' В в ч) —. 2д ' Таким образом, может быть исследован вопрос об устойчивости движения для любого открытия щита, если только известно р. Для ориентировочных расчетов можно положить 1А ж 0,7, а 0,7.
й 8. Влияние сжимаемости жидкости на устойчивость колебаний щита. а + — ~ — — тз = О. (5.92) 1 2Ро ~Жо г Критерии Гурвица для (5.92) будут: "е ка 1. — — — )О 2РВ Оде или мО ла — — )О, 2т 1Гто — «о) Вдо (5.93) Для учйта сжимаемости жидкости †бол высоких собственных частот †обратим теперь к уравнениям (5.79) н (5.71). Подставляя (5.79) в (5.71) и отделяя действительную и мнимые части, получим следующие результаты: действительная часть даст нам исследованное выше уравнение (5.80). Мнимая часть (5.71) после подстановки в него (5.79) будет иметь следУющий внд, если обозначить щ е=тз: 220 гл. т.
колввания длвлвния в шлюзовых гллвввях т. е. то же, что и (5.81) для ч=О. При очень малых й, движение щита, таким образом, всегда неустойчиво. 2. 2 + Д + Д ~ Р 2 л . (5.94) Очевидно„ (5.94) удовлетворяется всегда (как при Р = О, так и' при РфО). Таким образом, учит сжимаемости при обычных размерах галерей н напоров, т. е. когда справедливо уравнение (5.76), не даат новых критериев устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
