А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При некоторых положительных значениях Ь„давление в каверне может стать меньше р и тогда иа части глиссируюШего профиля, находящегося в каверне, возникнет топяшая сила. в 43. Обтекание клиновидной стойки, пересекающей свободную поверхность жидкости При обтекании стойки, пересекающей свободную поверхность, в ее кормовой части образуется впадина, заполненная воздухом. Эту впадину можно рассматривать как кавитациониую каверну, давление в которой постоянно и равно давлению иа свободной поверхности жидкости. В отличие от течений, рассмотренных в 5 37 — 41, здесь плоскость симметрии стойки и каверны вертикальна, а силы гравитации направлены не перпендикулярно к ней, а параллельно (рис. 136).
Кроме того картина течения здесь трехмерна. При рассмотрении течения использована обобщенная схема Рябушинского. В качестве замыкаюшего тела взят прямошекий клин, сечения которого плоскостями, перпендикулярными оси г, представляют собою равнобедренные треугольники (см. рис. 136). Стойка считается также клиновидной, но с произвольной формой шек, которая может меняться по высоте стойки. Основной и фиктивный клин, а также каверна считается тонкими. В этом случае задачу можно линеаризовать. В линеаризованной постановке потенциал скоростей, вызванный основным и фиктивным клином, а также каверной, можно отыскивать как потенциал особенностей (источников — стоков), размещенных на плоскости у = О, в области, соответствующей основному и 1В4 фиктивному клиньям и каверне.
При этом потенциал скоростей должен удовлетворять следующим граничным условиям — =О (вне з=з,+з„+зф); дт ду дт ду1 — =о — на з; ду " дх (7.19а) о — + — - йг= —" на з„, дт р» Р, дх р р где з„зю зе — области плоскости у = О, соответствующие стойке, каверне и фиктивному клину; уг(х, г) — уравнение по- Рис, !Зб. Схема обтекания клиновидной стойки, пересекающей свободную поверхность жидкости (7.20а) где д — интенсивность особенностей; г' = (х — $)'+ (г — ь)г; дг (х хг) + (г+г)г 18В верхности стойки, каверны и фиктивного клина; ри — постоянное давление в каверне, величина которого пока считается произвольной. Потенциал вызванных скоростей тр должен удовлетворять.
также условию постоянства скоростей на свободной поверхности. Для больших значений чисел Фруда, построенных по длине каверны в характерном сечении, его можно выразить в виде [4) При этом из условия непротекания границ течения можно определить связь между интенсивностью особенностей и формой границ течения х х у (х, а)= ) ю — = ),ч г(~. (7.21) Удовлетворяя условию постоянства давления [последнее уравнение системы (7.19,а)1, а также принимая во внимание соотношение (7.20, а), можно составить уравнение для определения интенсивности особенностей, распределенных в области, соответствующей каверне ) 7(1. ~)~ „' —,„') 1з+ .С» + ) д $, ~) ( — — 3 ) ~й+яч+2я7а —..-О, (7,22) '~с+ '~ф где все линейные размеры отнесены к длине каверны 1 в характерном сечении, интенсивность особенностей отнесена к 2о, а 1= й1/оз .
Как и для случая плоского течения, к условию (7.22) следует присовокупить условие замкнутости границ течения, которое можно записать в виде ) ~7($, ".)~й= — О. (7.23) Интегральное уравнение (7.22) совместно с равенством (7.23) можно решить численным методом, путем сведения его к системе линейных алгебраических уравнений. Для этого область з разбивается на ряд элементарных площадок, на каждой из которых функция д($, ь) полагается линейной по $ и постоянной по ширине полосы ь"„— ь ~ (см. рис.
136). В этом случае двойной интеграл по элементарной площадке в уравнении (7.22) вычисляется в замкнутом виде. При такой аппроксимации функции д($, ь) ординаты поверхности каверны аппроксимируются участками парабол, гладко сопряженных друг с другом в пределах каждой полосы, и удовлетворяют условию плавного сопряжения со стойкой и фиктивным клином.
Интенсивность особенностей, соответствующих фиктивному клину, полагается постоянной и равной значению д(х,), а интенсивность особенностей, соответствующих стойке, считается известной. В соответствии с этим функция д(3, ьх) на элементарной площадке задается в виде ч (1, "«) = 7~ ь а + 1ь 1 ' (1 — « -~) (7 24) 186 =-«Х — 'Ра»+2«1в; а (7.25) « — 1 (Егь! — Е,) 171+(2Е +! — Š— Е,) 17 =- — «(2а+Е1), 1=1 где а — половина угла при вершине клина в характерном сече- нии стойки; а — ширина стойки в этом сечении; х — Е1-1, » ! Ф,»=, ' М1,»вЂ” 4,» — Е -1,» " Еь» — 4-ь» х — 81+1» М 1.' 4+1, » — Е1.
» 1+1' »+ при !=1, 2,..., т — 1; х — Е« 0»ь»=Ми+1, »+ Е м Е1»1,» — Е.» 1+~' ! — м.,»; х — Е1 ! Е)»,»= — М»,»+ Е, Е М1,» Е Е»11,»' М1, »=- ) (х — Е) 2(Е 61=1 21 М,. „= 1 (х — Е)2ДЕ 1. 1-1 Решая систему (7.25), находят число кавитации и интенсивность особенностей. Через корни системы уравнений определяют форму каверны в каждом сечении У,=а„«,+0,5Е1,(«,+1)1,)+0,5 ~ (171,.+д. 1 .) (Е»,— Е1 1,.)+- 1» 2 +17,,(Е +1,,— Е,,). (7.26) !87 Интегральное уравнение (7.22) удовлетворяется в тп точках,. выбранных в центрах элементарных площадок х= — 0,5(Е,,+ +Е„,); в=0,5(Е, 1+Ег); Р=1, 2 ...
И; à —.. 1, 2 ... П. Кроме того, удовлетворяется условие замкнутости в среднем по высоте стойки сечения. В других сечениях это условие удовлетворяется путем последовательных приближений. Таким образом, можно получить систему из гоп+1 уравнений Коэффициент сопротивления стойки можно также определить через корни системы уравнений » л , '~,' а»а» (с» — с» !) ~а у (с» + с»-!) 0,8»»» ах»» !»»2„ а 0 и» вЂ” — 1;~:У ~7...Мь,+ (х -8,, /) М!,— -а» !=!1=! $!.
! »!-!, ! ч!. ! - ч! -!,, (7.27) тде х — С!+ г; х — 1! !+г!,!. м ]- ! 1и х — С!+г! х — С! !+г! +!и »+С!-! + Й!. ! ! +!и + х+с !+я -!, ! х — -5!,!+г! ! М!, ! — -(г — !". ) 1п х — 8! !, +г; !7 х — 8!, !+г!, ! х — 8! -!- !г! ! — (в — Г! !) 1п ' ' ' +(в+1!) 1п х — 6Г,,+%,! ! — (в+Г, !)1и Таким образом, приведенные зависимости позволяют для заданной клиновидной стойки определить размеры каверны и коэффициент сопротивления в зависимости от скорости ее движения.
Для полностью вентилируемой стойки (а = О) давление в каверне р„= р . Для полностью вентилируемой стойки в уравнении (7.22) можно сразу принять число кавитации равным нулю, а определять параметр /Е„. Хорошие результаты для стоек большого удлинения и коротких каверн при решении рассматриваемой задачи можно получить на основе гипотезы о плоских сечениях.
Для этого можно использовать известное решение (13] плоской задачи о кавитационном обтекании клина невесомой жидкостью. Чтобы давление в каверне по высоте стойки было постоянным, число кавитации для каждого сечения следует определять как о, = /г/а. Для выполнения расчетов в принятых безразмерных величинах задаются параметры //а, Я„и ряд значений г/Л„и определяются 188 по данным решения плоской задачи соответствующие значения 1/а. При этом удлинение стойни определяется из выражения — при — =0,5. г„ ~п Естественно, расчет можно выполнять непосредственно в размерных величинах для стойки заданных размеров и скорости ее движения.
$44. Результаты расчетов Первоначально определим область изменения параметров, в которой возможен режим с полной вентиляцией клиновидной стойки, пересекающей свободную поверхность воды. В силу того, что правые части уравнения (7.25) — линейные однородные функции параметров а и 1, корни системы — линейные однородные функции а и 7. Таким образом, величины 1= = о, уе — функции вида г = Асс+В!, где коэффициенты А и В зависят от параметров Е„и а. Учитывая сказанное, достаточно решить систему (7.25) для двух значений а и ! при Е„= сопя! и а = сопя!. Из решения получается два значения 1, после чего составляют и решают систему двух уравнений относительно неизвестных А и В.
Расчеты были выполнены на ЦВМ для значений 2„= 0,25 —: †: 10, Х = 2 /а = !†: 10, ! = 0 и 0,0465, а = 0,01 и 0,10. Результаты численного расчета, полученные в первом приближении (форма каверны в плане в прямоугольник), позволили для числа кавитации определить коэффициенты А, и В,. Коэффициент А = ое, т. е.
числу кавитации в невесомой жидкости. Таблица 3 Значении козафнцнентов Ве лли различных значений Я и Х Значения коэффициента Ве приведены в табл. 3, из которой следует, что для 2 ) 1 можно приближенно принять В, = Е . Откуда а=кое(2„, Х) — ~Е„. (7.28) 1з9 Полученная зависимость для числа кавитации позволяет выделить те режимы движения, при которых давление в каверне равно атмосферному. Это условие запишется в виде а=О или =со(2„, Х). У~л Соотношение (7.29) устанавливает связь между размерами стойки, скоростью потока и длиной каверны, при которой удов- хт=у 2„=д 5 2Д 2 я и Рис.
!оо. Зависимость )ь от иР в первом (пунк- 2 тир) н третьем (сплошнан линия) приближенинх Рис. 137. Зависимость Х от аул в первом при- 2 ближении летворяется условие р = р„где р„— величина атмосферного давления. Естественно, что при достаточно больших скоростях каверна будет образовываться на всей длине стойки. Чтобы определить минимальную скорость потока, при которой каверна образуется на всей длине стойки, необходимо ввести дополнительное условие. Оставаясь в рамках линейной теории, можно ввести лишь допущение о существовании минимальной длины каверны, при меньших значениях которой каверна разрушается.
Было принято, что наименьшая длина каверны в нижнем расчетном сечении не может быть меньше ширины стойки, т. е, 1„/а = 1. Последнее условие можно записать в следующем виде у„=иАт+)'Вт=О при х=-а (7.307 или Д„Анан л Вт 190 Таблица 4 Результаты расчетов обтекания вертикальной стойки При- блн- жение Хлз зла У,а С хл2 Ул2 хлз Улз хл4 Ул4 хл4 Ул4 191 Значения коэффициентов Аи и Ву определены на основании тех же расчетов, по которым вычислены аналогичные коэффициенты для числа кавитации. Зависимости, полученные на основании условий (7.29) и (7.30), приведены на рис. 137.
Пересечение кривых при одинаковых значениях У„определяет границу области изменениЯ паРаметРов Х = Ел/а и ссгз = а!)х,л, пРи Зл которых каверна существует на всей длине насадка. Эти же зависимости определяют и наименьшую длину каверны в среднем сечении, которая оказывается близкой к единице (рис. 138). Значит граница каверны в ее нижней части приближается квертикальной линии. Естественно ожидать, что такое течение неустойчиво и каверна будет разрушаться. Это лишь качественный результат. Но уже из полученных данных ясно, что граница начала полной вентиляции клиновидной стойки во многом определяется формой каверны.
В связи с этим, оставаясь в рамках принятых допущений, выполним расчет формы каверны так, чтобы охватить и область изменения параметров, соответствуюц1их предполагаемой границе начала полной вентиляции стойки. При выполнении этих расчетов удобнее в уравнении (7.22) принять число кавитации равным нулю, а из решения определять параметр )/а.
Одновременно с определением формы каверны можно вычислить и коэффициент сопротивления. Расчет, который заключался в подборе местной длины каверны в расчетных сечениях, выполнен последовательными приближениями. Изменение величин, получаемых из решения от приближения к приближению, можно проследить на примере расчета вертикальной стойки с постоянным углом сс по высоте.
Для такой стойки коэффициент сопротивления можно представить в виде С =..-и С (Х, у У.„'1а) +ау 7.„. (7.31) В табл. 4 приведены результаты трех приближений для случая Я =4, а=0,5 (Х= 8). Число расчетных сечений равно пяти. Опыт расчетов показал, что точное удовлетворение условия замыкания в верхних сечениях не обязательно, поскольку оно слабо влияет на форму каверны в целом, а также на величину параметров 1/а и С'. Результаты расчета графически изображены на рис. 139.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
