А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Уравнение (7.6) содержит неизвйстный параметр й Кроме того для получения плавного сопряжения границы каверны с замыкающим контуром последний нельзя фиксировать заранее. Задавая его, необходимо предусмотреть возможность изменения одного какого-либо параметра, величину которого следует определять в ходе решения задачи. В качестве такого параметра может быть, например, взят угол наклона касательной к замыкающему контуру в точке сопряжения его с границей каверны. Вообще же говоря, допустим весьма свободный выбор указанного параметра, о чем свидетельствует значительное число схем кавитационных течений (см. гл. 1Ч), Таким образом, для решения задачи необходимо составить еще два соотношения для определения указанных выше параметров. Одно из них можно получить, используя условие замкнутости контура, составленного из границ каверны, основного и замыкающего контуров ю+м ницей каверны.
После расчета формы границы каверны легко вычислить по формуле (7.4) скорости возмущения в точках контура препятствия, а также давления по линеаризованной формуле Бернулли (7.9) Р Р = — Ро и Рйуо где уо — значения ординат точек основного контура. Проекция равнодействующей давлений (7.9) на ось х, а также давлений, действующих со стороны каверны на насадок, будет равна силе гидродинамического сопротивления, приложенной к препятствию и обусловленной кавитацией.
Таким образом, задача построения каверны, расположенной на нижней стороне бесконечной пластинки, с учетом силы тяжести жидкости сводится к решению интегро-дифференциального уравнения (7.6) совместно с соотношениями типа (7.7) и (7.8). Уравнение (7.6) легко обобщить на тот случай, если вблизи каверны расположен дополнительный источник возмущений, которым может быть, например, какое-либо тело или же гидродннамическая особенность (источник, вихрь, диполь). В случае гидродинамической особенности необходимо лишь функцию Р(х) дополнить другой функцией, соответствующей закону изменения касательных скоростей, вызванных особенностью, в точках стенки 0 = х ( 1. При наличии вблизи каверны тела, его обтекание удобно заменить обтеканием гидродинамических особенностей.
Тогда вместо соотношения (7.6) легко составить систему интегро-дифференциальных уравнений, в которой будет учтено обратное влияние кавитационного течения на обтекание тела. Полагая в равенстве (7.6) т1' = О, о= 0 н добавляя в Р(х) функцию, характеризующую величину касательных скоростей в точках оси х, обусловленных особенностью, легко получить интегро-дифференциальное уравнение для случая, когда в отсутствие особенности свободная поверхность горизонтальна. Соответствующая схема течения изображена на рис. 116. При решении задачи для этой схемы течения параметр о становится известным (о= 0), поэтому для обеспечения разрешимости задачи следует ввести другой параметр, подлежащий определению.
В качестве такового удобно ввести параметр й, приведенный на рис. 116. Если начало координат в данной схеме течения поместить в середину интервала 0 =' х ='1, а его концы удалить в бесконечность, то интегро-дифференциальное уравнение (7.6) можно привести к виду — + †.) ку~ 1 г ч~ (6) лЕ =г (х), в к ОЭ (7. 10) где г(х) — значения касательных скоростей, вызванных особенностью в точках невозмущенной свободной поверхности, отнесенные к и .
Г1ри г(х) = 0 уравнение (7.9) имеет два решения. Одно из них тривиальное уз = О. Другое соответствует свободным волнам, что легко проверить путем подстановки в соотношение (7.9) выражения 2о у, =--а соз — х, Х где Л вЂ” длина волны. Рис. 11б. Схема обтекании гидродинамической осо- бенности, расположенной вблизи свободной поверх- ности жидкости В атом случае условие (7.9) удовлетворяется только при соблюдении известного соотношения между длиной н скоростью распространения прогрессивных волн на свободной поверхности воды и = 1'уЛ/2я. $3й. результаты расчетов плоского навигационного обтекания прямощекого клина, расположенного иа нижней стороне бесконечной пластинки а '.
Ь+х = — 1п' —, я х (7.11) Основные физические закономерности развития каверны за препятствием, помещенным на нижней стороне бесконечной го- ризонтальной пластинки, легко проследить на простейшем при- мере обтекания прямощекого клина, подробно обследованном в работе 1131, в которой уравнение (7.6) решено численным ме- тодом. Используя в качестве замыкающего тела также прямо- щекий клин и относя все линейные размеры к длине каверны 1, уравнение (7.6) можно представить в виде 1 Ю(х) 1 ( Ч~(Е)ЛЕ е Р 1 — х + 1 й +2+ и 11х, где гга,— па /я/; (1, а — соответственно, углы наклона щеки замыкающего (фиктивного) и основного клина к оси х; Ь = Ь/1; Ь1= Ь1/1.
При этом в точке сопряжения границы каверны с основным клином должно быть т1~ (О) =а; т11(0)=аЬ, (7. 12) а условия (7.7) и (7.8) приводят, соответственно, к равенствам ч, (1) =8Ь,; ч,'(1)-= — 3. (7.13) При численном решении уравнения (7.11) оказалось удобным задавать длину каверны, а число кавитации о и угол р считать искомыми параметрами. В работе 113] показано, что удовлетворительная Т точность расчетов достигается в результате разбие-, 12 ния интервала интегрирова- т ния в формуле (7.11) на 20 — 40 участков, в которых функция т(1(х) аппроксимируется кусками парабол вто- — йа рой степени,.' гладко сопрягаемыми друг с другом.
Удовлетворение условию т (7.11) в точках, соответст- т вующих серединам участ- рис. 11?. Зависимости от параметра / ков, с учетом равенств (7,12) величии р/а и ь'„/а н (7.13) приводит к системе линейных алгебраических уравнений для определения коэффи, циентов аппроксимации и параметров а и (з. При этом параметр гг1 задается.
На рис. 11? приведены расчетные зависимости от параметра /= 1/гга, величин р/са,(кривая /) и С,/а (кривая 2). Величина р/а при фиксированном а пропорциональна углу фиктивного клина, а 2Х Сх '— а ро~ аа ' где Х вЂ” величина кавитационного сопротивления, приложенного к клину. Приведенные зависимости соответствуют Ь = 0,2, Ьт —— = О,1. Для других значений Ь и Ь1 зависимости имеют аналогичный характер.
Интересно, что при некотором значении в нуль одновременно обращаются величины 0/а и Са/а. Это означает, что при данном значении / граница каверны касается в хвостовой части стенки. Г1ри этом кавитационное сопротивление 1б? клина обращается в нуль. Значение 7 в работе [14) предложено назвать предельным. Ему соответствуют предельные значения других параметров, как например максимальной толщины каверны, числа кавитации и т. п. Предельные значении Гт,а. Ь Ю м,а, оа параметров каверны длв рааличных вначениа Ь Ь. Рты .
Ва/а .. — а„/а 0,8 0,556 0,87 2,15 1,6 О, 590 1,62 3,7 0,2 0,480 0,44 1,46 0,4 0,515 0„54 1,54 0,05 0,441 0,67 2,59 О,1 0,455 0,50 1,81 0,0125 0,430 1,39 5,67 0,025 0,434 0,95 3,85 рты . В /а. — а„/а . Следовательно, предельное число Фруда, построенное по длине каверны, слабо зависит от относительнои длины клина. Для двух Рвс. 118.
Схема каверны ва уступом Рис. 119. Схема каверны за беско- нечно малым клином предельных случаев, уступа и клина исчезающе малой длины (рис. 118, 119), предельные значения чисел Фруда равны 0,667 и 0,426, соответственно. В последнем случае каверна оказывается симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через ее середину, и касается стенки как в хвостовой, так и в передней точке. Характерно, что предельным кавернам соответствуют отрицательные значения числа кавитации. Следовательно, давление внутри предельной каверны всегда выше статического давления в невозмущенном потоке на уровне стенки.
Для ) =в 1а величина р/а становится отрицательной, граница каверны пересекает стенку, следовательно, такое течение физически нереально. Результаты расчетов по приведенной выше методике находятся в удовлетворительном согласии с данными опытов, о чем свидетельствуют кривые, приведенные на рис. 120. Здесь изображены зависимости величин Ргт (кривая 1) и б/ссЬ (кривая 2) 168 от параметра ), =дЬ/оа . Сплошные линии соответствуют расчетам, а пунктирные эксперименту. Светлые кружки, крестики и зачерненные кружки относятся к различным клиньям, имеющим длину и высоту соответственно 1ОО и !О, 60 и 6, 25 и 3 мм.
5 Ьэ Рис. !20. Зависимости Рг~ и й/аЬ от параметра й При некоторых значениях параметров Ргз и а за клином образуется волновой шлейф (рис. 121). Расчеты в этом случае производятся по тем же формулам, что и выше. Однако здесь Рис. 121. Схема течеиив с ооразоваиием за препятствием волиового шлейфа число кавитапии можно задавать произвольно, что эквивалентно заданию давления в каверне. Для обеспечения разрешимости задачи вводится дополнительный параметр й (см.
рис. 121), вследствие чего первое равенство в системе (7.13) заменяется на выРажение т1т(1) = РЬт+Й, где й = л/1. Как показывают результаты расчетов [13), для воспроизведения с необходимой точностью волнового шлейфа бесконечной 1ой протяженности достаточно параметр 1 выбрать равным двум длинам прогрессивных волн 2ио~ Л= —. У При прочих равных условиях изменение параметра о (давление в пространстве между стенкой и контуром волнового шлейфа) приводит к существенному изменению высоты волны а и параметра Ь„характеризующего отстояние от стенки среднего уровня поверхности жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
