А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим плоское потенциальное установившееся обтекание поступательным потоком безграничной несжимаемой идеальной жидкости удлиненного контура, изображенного на рис. 148. Часть этого контура АВСВЕЕ соответствует сечению твердых стенок, а АŠ— сечению свободной поверхности, над которой внутри замкнутого объема, ограниченного твердыми стенками и этой поверхностью, заключен под определенным давлением газ.
Такое течение представляет собою типичный пример так называемого искусственного кавитационного течения, когда каверна возникает за счет подачи газа в поток жидкости. Стенка С.0 параллельна вектору скорости набегающего потока. Стенки АВ и ЕЕ также параллельны вектору скорости невозмушенного потока за исключением примыкающего к точке Е отрезка небольшой протяженности, который, в общем случае, может отклоняться от указанного направления. Форма этого отрезка, также как в обобщенной схеме Рябушинского, задается с точностью до некоторых параметров, величина которых находится в процессе решения задачи.
281 Свободная поверхность, вообще говоря, будет возмущена вследствие влияния на нее обтекания оконечностей СВ и ВЕ. При этом порядок скоростей возмущения на достаточном удалении от указанных оконечностей будет такими же, как от плоских источника и стока, расположенных вблизи СВ н ВЕ, интенсивность которых пропорциональна произведению ширины контура й на модуль скорости невозмущенного потока. Другой причиной возмущений может быть давление газа внутри упомянутого выше объема, заключенного между твердыми стенками и свободной поверхностью, если оно будет отличаться от статического давления в невозмущенном потоке на уровне оси х (см.
рис. 148). Очевидно, что если длина отрезка АВ и РЕ достаточно большая (й/АВ- О, /т/ЕР-» 0), а давление воздуха над свободной поверхностью равно статическому в невозмущенном потоке на оси х, то в отсутствии других возмущающих факторов свободная поверхность будет горизонтальной и проходящей через ось х. Если же в поток вблизи свободной поверхности поместить дополнительный источник возмущений (например, твердое тело), то она будет деформироваться. В соответствии с этой деформацией и будут определены деформации отрезка твердой стенки в окрестности точки Р'.
Обтекание рассматриваемого контура заменяется обтеканием вихрей, распределенных непрерывным образом на твердых стенках и свободной поверхности. Поскольку контур замкнут, величина вихревой интенсивности в его произвольной точке равна модулю скорости в этой точке. Используя условие непроницаемости твердых стенок и свободной поверхности, заключающееся во взаимной компенсации нормальных составляющих скоростей в любой точке контура, обусловленных индукцией вихрей, не- возмущенным набегающим потоком и наличием в потоке каких-либо источников возмущений, можно написать интегральное уравнение, дающее связь между формой контура и интенсивностью вихревого слоя и аналогичное уравнению (2.13) — .((з~) Из,=(1+о ) з1п х (з)+и сов т (з), (8.1а) 1 Г соз(г, Г) где (г, () — угол между направлением указанной касательной к контуру и отрезком г (см.
рис. 148); г — расстояние от точки зь в которой расположен вихрь удзь до произвольной точки з, лежащей на контуре; о„ оэ — проекции на оси декартовых координат скоростей возмущения в точке з, вызванных каким-либо источником возмущения (например, вихрем, источником, телом, частично или полностью погруженным под свободную поверхность и т. п.); т(з) — угол между вектором скорости набегающего потока и касательной к контуру в точке з. Интегрирование производится по контуру сечения твердых стенок и свободной поверхности, а все величины, имеющие размерность скорости, отнесены к о . Пределы интегрирования разбиваются на промежутки АА', А'В, ВС, С0, РЕ, ЕЕ', Е'Е и ГА и производится оценка отдельных интегралов по этим промежуткам для значений з, соответствующих точкам свободной поверхности и участкам твердых стенок А'А и ЕЕ'.
Сохраняя расстояние между твердыми стенками /в неизменным, будем увеличивать протяженность контура в направлении вверх и вниз по потоку за счет увеличения длины отрезков А'В, Е'Е и СР. При достаточно большом удлинении контура (/в/С0 — ~ О), /в/ВŠ— О) и давлении в пространстве между твердыми стенками и свободной поверхностью, равным величине статического давления невозмущенного потока на оси х, контур будет обтекаться, как бесконечно тонкая плоская пластинка, параллельная вектору скорости набегающего потока, имеющая «неровности» только на нижней стороне между точками А и Г', вызванные деформацией свободной поверхности вследствие действия упомянутых выше источников возмущения.
Таким образом, при удалении стенок СВ и РЕ в бесконечность, при упомянутых выше значениях з интегралы по СВ и РЕ будут стремиться к нулю, как /в/ВА' и /в/ЕЕ' (ВА'-в-оо, ЕЕ'- -+. оо). При оценке интеграла по,СР, иа этом участке контура можно положить у = 1, поскольку вихревая интенсивность равна модулю скорости, а скорость на верхней стороне плоской бесконечно тонкой пластинки равна о , за исключением малых окрестностей вблизи точек С и 0 — /(зДсй,= — — з1пс(з), (С вЂ” оо, 0 со).
1 Г сов(г, 1) 1 2в,) г 1 с (8,2а) ,, Если горизонтальные участки отрезков АА' и ЕЕ' взять достаточно большой длины, то на ВА' и Е'Е можно положить у = 1 (эта длина, очевидно, должна быть такой, чтобы скорости в точках А' и Е', вызванные источниками возмущений, были достаточно малыми по сравнению с п и затухали вверх и нниз по потоку).
Полагая кроме того у /АА'«1 и у /ЕЕ'«1, где у — абсолютное значение наибольшей ординаты точки возмущенной свободной поверхности, можно написать 1 1' сов (г, В) ~=-з, ~ в в 1 сов(г, 1) 2в З г кв Т(з,) вй,=- —,созс(з)!п ~ ~; (8.3) 1'(з~)в1зю= — 2 созс(з)1п( е ), (8А) где абсциссы точек А' и Р' обозначены через х~ и хм соответственно. Объединяя уравнения (8.3) и (8А), а также полагая В-+.
-э- — со и Е-асс, получим 1, + 1, =- — сох (з) 1и ~ (8.5) у,(«,— ч,) ).,/ —,а ~'+(".:7)'1-- =~и + — ) у — + )п ~ ), (8.у) где у~(х), тп($) — фиксированные и текущие значения ординат точек свободной поверхности и участков твердых стенок А"А и г Р', т1',, у', — производные по 4 и х, соответственно. При х~ — ~ — со, х2-э-оо уравнение (8.7) преобразуется к виду [14 ~ )Г>~ъ ~~0~$ «,'(«,— ч,) ) ~1+( ) )(х — а) =(пк+ 2 ) у! пу (8,8) Используя теорему Бернулли и условие постоянства давления на свободной поверхности, вихревую интенсивность можно выразить через значения ординат свободной поверхности 1=)«1 — 2аЧ (8.9) где д — ускорение свободного падения.
После подстановки соотношения (8.9) в равенство (8.8) получается интегро-дифференциальное уравнение для определения формы свободной поверхности воды. При отсутствии возмуще- С учетом приведенных оценок уравнение (8.1) можно представить в виде — (»( =--~ —,'+,) "()+ 1 "* сов(г, ~) ю +~"-+ ~-:-" ~)-- (8.6) В декартовой системе координат формулу (8.6) можно записать следующим образом: ний (о, = О, от — — 0) одним из решений является у, — О, которое соответствует горизонтальной невозмущенной поверхности. Уравнения (8.7) и (8.8) получены, исходя из условия равенства нулю суммарной нормальной составляющей скорости вточках свободной поверхности и сечения твердых стенок.
Аналогичным образом могут быть получены уравнения из условия равенства вихревой интенсивности в произвольной точке контура значению касательной составляющей скорости к контуру в этой точке. По аналогии с равенством (2.14) Т(з )~з1+10 + э )со (я)+ х, (8.10) +ох+ 2 + [Фт — 2 1п ~ ' (~ у,' (х); (8.11) + 2+ «+ ту~' 1 (8.12) Уравнения типа (8.8) обычно получают иным путем, не рассматривая обтекание замкнутого контура со свободной границей "(каверной) иа нижней стороне, например, так, как это сделано в работе 186].
Вихревой слой при этом располагают на линии, соответствующей свободной поверхности. Из условия непроницаемости свободной поверхности получают интегро-дифференциальное уравнение, отличающееся формально от соотношения (8.8) только величиной численного коэффициента, стоящего в правой его части при д', (единица вместо '6). Однако поскольку линия свободной поверхности представляет собою контур незамкнутый, вихревая интенсивность уже не будет равна модулю скорости, а, следовательно, не имеет места такая простая связь между вихревой интенсивностью и формой свободной поверхности, какая дается формулой (8,9). В этом случае для определения у(х) необходимо дополнительное нелинейное интегральное соотношение, в которое входит интеграл такого же типа, что и интеграл, стоящий в правой части уравнения (8.12). Таким образом, вместо простого алгебраического уравнения (8.9) получают нелинейное интегральное уравнение.
В такой постановке задача существенно усложняется и сводится к решению системы, состоящей из упомянутого интегрального уравнения н ннтегро-дифференциального уравнения типа (8.8). $47. Волны конечной амплитуды на свободной поверхности жидкости неограниченной глубины Для численных расчетов удобнее пользоваться уравнением (8.7) или (8.11), или же их комбинацией, поскольку здесь пределы интегрирования конечны. Уравнения (8.8) и (8.12) удобны для аналитических решений. С помощью их, например, путем элементарных вычислений легко можно получить зависимости теории волн конечной амплитуды. Если положить в формуле (8.8) о„= О, от — — О, то получится уравнение, которое может быть использовано для исследования волн конечной амплитуды [~~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
