А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 40
Текст из файла (страница 40)
/3 2 2 1 Х вЂ” и» 1 -2Н« ~8 2 2 > (2б — т)аг — 4 (т +е )а2+йб,а,е — Ь,е .=-0; (Зб — т) аг — ( — и + й ) а,аг — — (т — тб ) а2— «1 2 2Х 1 3 2 3 8 тз 22 з х -и з — гн» вЂ” ( — б а! — — Ьаг) Ь,е + — ббга,е =О. (,8 . 2 ) 2 Ь, е +(и+И) а, — ~ — — и +тб+ — бг) а а»в Н» 1 2 2 ) 1 т 3 3 2 3 2 1 ЗХ 3 — — ( — — т+и б — — иб — — б )а~= — 0; 2 (, 4 4 12 Ь,е +(т+2б) а, — ( — 4 т +тб+ 4 б ) а;=О; б,ег «+(и+За) а,— ( — — т'+Зтб + — бг)а а»в 2.
2 1 3 З 2 85 2 ЗЗ гк 3 ( — — т +. — т б — — тб — — б ) а2 =-О. 8 2 8 8 Приведенная система 'легко решается методом исключения неизвестных. Ниже приведены результаты вычислений, справед- 214 ливые в силу принятых при решении задачи ограничений для ов ( 1 и конечных значений Нй у' уН о' = а~- !11 (Лй)(1+Зй а1); 24+59е-2нз+358е- не+38Г-гни+58;знз+29 4ннз 24 (1 — е 4нз) (1 — е гнз)з 1, 53-2™ +53 — 4нз ! е-знз 2 ° 2нз)з 2(1 — е 3.1-18е гн" -1-45е 4Н3.1- !8е зне 51е 18е 'зле+3 + е Йг з.
8 (1 2е-гнз)(! -гне)4 2,— нз -2НЗ б1 вагиз йа! т- ~3 гнз + 1 — е 1 — е 17+83 -гнз 88е-'нз 255.-знз 73,-знз+29е-10нз -нд 3 3 24 (1 -гнз)з 12е 2 2 бг= — гн 4 й а1; (1 е- ) — 45+ 345е нз — 1295е 4не+97е знз — 81е зне + + 117е-10нз 18е-инз ! 5е-14не " знз бз— 8 (! 7 -гне) (1 -гнз1)з е йа!. При Нб-+ оо эти формулы переходят в соответствуюшие зависимости для волн в условиях потока бесконечно большой глубины. аз— 215 я 50.
Влияние налиллярнлети Влияние капиллярности на течение жидкости со свободной поверхностью может быть учтено точно таким же образом, что и влияние силы тяжести. При этом в интегральные уравнения нужно внести только небольшие коррективы вследствие того, что связь между интенсивностью вихрей и формой свободной поверхности несколько отличается от зависимости, даваемой формулой (8.9). Используя условие равновесия давлений в точках свободной поверхности жидкости и учитывая соотношения (8.1) 'и (8.2), можно написать уравнение, аналогичное (8.9) 7-1/1 — 2нзу1+2ах, (8А1) где у',, у" — первая и вторая производные от уз(х), соответственно; н = 71/роз; и у"/(1+у")зл в котором удерживается только три первых члена. Принимая в равенстве (8.41) т = О, подставляя это выражение в формулу (8.13) и разлагая подынтегральное выражение в ряд с сохранением членов до третьего порядка малости, после вычислений получаются в левой и правой частях равенства (8.13) ряды по синусам.
Приравнивая коэффициенты при синусах кратных дуг между собою, можно получить систему уравнений для определения коэффициентов ряда (8.42) в следующем виде 1 — лй — 1 — и А + — ий ~а~+(2Ф вЂ” 4и й ) а,=-О; «3 3 3, 1 Зх 2 а з ~в 2 й+ и йй «а~ (2 4Ы) аз Π— а й а~+(4п й +5й)а~аз+(3 — 9пя) аз=О. (8.43) Из первого уравнения системы (8.43) следует, что значение пй отличается от единицы слагаемыми второго порядка малости отношения амплитуды первой гармоники (8.42) к длине волны. Используя это легко вычислить 7 2 а = — — йаы з (8,44) 2л где й = —; п — скорость аспространения капиллярных ). волн; при а~-«-О получается выражение для скорости, соответствующее линейной теории.
Таким образом, остаются в силе все ранее приведенные интегральные уравнения движения жидкости с учетом действия силы тяжести, если в подынтегральных выражениях сомножитель Г'1 — 2тть заменить на у1 — 2ттн+2пт1",/(1+Ч",)ьь При этом в интегральных уравнениях будет учтено совместное действие сил тяжести и капиллярности.
Для их раздельного учета следует принять или т = О, или п = О. Ниже приведены результаты решения задачи о капиллярных волнах конечной амплитуды. Решение ищется в виде ряда у, =--а, соз йх+а, сов 2йх+аз сов Зйх-(- ..., (8.42) ПРИЛОЖЕНИЕ Результаты расчетов осесимметричного кавитационного обтекания тел безграничным потоком и в трубах В приведенных графиках даны результаты численного расчета осесимметричных кавитационных течений, которые могут быть использованы непосредственно при решении практических вопросов. Там, где оказалось возможным, проведено сравнение с данными опытов. При расчетах для решения прямой задачи использовались уравнения «5.10), (5.3П, а для решения обратной задачи — уравнения (5.8), (5.32).
В качестве схемы течения в хвосте каверны была принята обобщенная схема Рябушинского с замыканием границы каверны на диск, плоскость которого перпендикулярна вектору скорости набегающего потока, Ниже приведены комментарии к результатам расчетов. На рис, П.! даны зависимости коэффициента кавитационного сопротивления С, от числа кавитации для четырех эллипсоидов вращения, характеризующихся величиной Х отношения осей — перпендикулярной и параллельной вектору скорости избе~ ающего потока (1=1 соответствует'шару).
Здесь же (темные кружки) приведены экспериментальные данные Л. А. Эпштейна [58) и М. Ю. 1(ейтлина [55) (светлые кружки). На рис. П.2 приведена зависимость коэффициента сопротивления конуса от величины угла при вершине для нулевого значения числа кавитации. Кружками обозначены экспериментальные данные Л. А. Эпштейна, а пунктирной линией — результаты приближенного расчета Плессета и Шеффера [77). Последние получены в предположении о том, что распределение давления по образующей конуса такое же, как по щеке клина с углом при вершине равным [) в плоской задаче.
Из приведенных данных видно, что при малых значениях угла при вершине результаты приближенного расчета могут существенно отличаться от результатов расчета точного, а также от экспериментальных данных. На рис, П.З построены зависимости от числа кавитации коэффициента сопротивления трех конусов с углами при вершине 30, 60 и 90'. Пунктирными линиями обозначены результаты упомянутых расчетов [77), светлыми кружками — экспериментальные данные Л.
А. Эпштейна [58), темными — экспериментальные данные Рейхардта [78). ~На рис. ПА — П.5 приведены зависимости от числа кавитации отношений, соответственно, площади основания конусов к максимальной площади поперечного сечения каверны 5 н длины каверны к ее максимальной ширине для шара (сплошная кривая).
На рис П.б пунктирная кривая построена по данным расчетов, приведенных в работе [65). Крестиками обозначены опытные данные, содержащиеся в работе (38). Указанные данные получены в струе при весьма малом загромождении потока (отношение площади шара к площади струи) порядка 10 — 10 з, что обеспечивает корректность сопоставлений данных опытов и расчетов.
217 000 п,в 00 0,2 аг 218 0 Пг 04 Пв пп о Рис. П.1. Зависимости козффициента кавнтацнонного сопротивления С„ зл- лнпсоидое вращения от числа кави- тации а п1 пг п,х 10 Рнс. П.З. Зависимости от числа кавитации козффициеита сопротивления конусов зп 14 ГППП- Рис. П,2, Зависимость коэффициента сопротивления конуса от величины угла при вершине для о=О а пгп ад 4у Рис. П.4. Зависимости от числа кавитации отношения площади основания конусов к максимальной площади поперечного сечения каверны Я На рнс. П.б приведены зависимости от числа кавитации коэффициента сопротивления эллипсоидов малого удлинения и тела вращения, образующая которого соответствует профилю НАСА — 0030.
На рис. П.7 и П.й построены зависимости от числа кавитацин коэффициента сопротивления и приведены отношения максимальных площадей тела н каверны 5 для различных тел (сплошные кривые). Здесь же пунктиром обозначены полуэмпирические зависимости, полученные Л, А. Эпштейном [58! Сл — — С, (! + а); 3= =С„,(1+с) рр ьх Ф Пг 0,7 !7 я! сг Рис. П.б. Зависимость от числа кавитации отношения длины каверны к максимальной ширине (для шара) Рис.
П.б. Зависимости от числа ка- витацни коэффициентов сопротив- ления эллнпсоидов малого удлине- ния и тела вращения где ф— коэффициент сопротивления тела при нулевом значении числа кавнтации; (з — эмпирический коэффициент, значение которого изменяетсн в пределах 0,9 — 1,!.
Штрихпунктиром на рис. П.7 показана зависимость, данная формулой Бетца С =С„, +ч 219 На рис П.7 светлыми кружками обозначены опытные данные Л. А. Эпштейна, а темными — Рейхардта. В случае частичной кавитации зависимости коэффициента сопротивления и размеров каверны от числа кавитации для некоторых тел могут быть весьма сложными. На рис. П.9 изображена верхняя половина меридиональнщо сечения тела вращения, имеющего образующую, соответствующую профилю НАСА — 0030. На нем изображен также ряд контуров сечений каверн, замыкающихся на кольцевые пластины. На рис. П.10 и П-!!.цифрами 1 обозначены для этого тела зависимости коэффициента сопротивления и относительной длины каверны от числа кавитации ((.— расстояние между передней критической точкой яа теле и замыкающнм .каверну кольцом, (ч — длина тела). Эти зависимости имеют сравнительно плавный характер. Цифрами 2 на указанных рисунках обозначены зависимости, соответствующие телу с большой цилиндрической вставкой, верхняя половина меридионального сечения которого изображена на рис.
П.!2. На рис. П 12 показаны также границы каверн, соответствующие нескольким значениям числа кавитации. Как следует из рис. П.10 при числе кавитации равном приблизительно 0,2 на кривой С„(о) имеется резкий минимум, после оо о,г Рис, П.7. Зависимости С„(о) для конусов и шара О2 о Я25 Рис. П.З. Зависимости 5(о) для конусов, шара и тела вращения с образующей, соответствующей профилю МАСА-0030 Рис.
Птй Ыерндиональное сечение тела вращения и границ каверн для раз- личных значений а Оо 0,4 й,й 0,2 О,д 0,4 бг О,1 О,2 ад О,4 0 Рнс. П.12. Ыерндиональное сечение тела с большой цилиндрнческой вставкой и границ каверн для различных значений о Рнс.
П.10. Зависимости С,(о) для тела вращения с образующей, соответствующей профилю г1АСА-ООЗО, н тела вращения с большой цнлнндричеокой вставкой Рнс. П.11. Зависимости Е1Е~ от о для тела вращения с образующей, соответствующей профилю МАСА-ООЗО, н тела вращения с большой цилиндрической вставкой которого с увеличением длины каверны (понижением числа кавитации) С, стремительно растет, достигая значения, соответствующего шару. На рис. П.13 — П.17 приведены данные расчетов кавитационного обтекания тел в трубе с постоянным радиусом сечения и трубе реальной конструкции с поджатнем равным 11 и длиной рабочего участка равной 1,8 м с почти постоянной площадью поперечного сечения. В качестве одного из параметров, характеризующих течение в трубе, принята величина коэффициента загрузки й, равного отношению площади миделевого сечения тела к площади поперечного сечения трубы. ОФ5 сг 0 015 О,Х Рис, П.!3.
Зависимости 5(о) для шара На рис. П.13 изображены зависимости от числа кавитации значения 5 для шара при различных загрузках сечения. Верхняя кривая' соответствует безграничному потоку, кружки [64] и крестики (38] — эксперименту. Пунктирная кривая соответствует расчету (64] г]ля коэффициента загрузки, равного 0,0626, а штрихпунктнрная — расчету по предлагаемой методике для коэффициента загрузки 0,02 гидродинамической трубы реальной конструкции. Приведенные данные свидетельствуют об удовлетворительном согласии расчета и эксперимента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
