А.Н. Иванов - Гидродинамика развитых кавитационных течений (1163198), страница 39
Текст из файла (страница 39)
1У ~.~~,'гт — 1й~;~~ У1 (У~ — ч1) 1 Г Полагая т1,"<1, 12лл)1~ с1, производя разложение подыите(р — ч1) грального выражения в ряд по степеням т1,', 2тт11 и (х — $) подставляя затем в левую и правую части выражения для у~ и п1 в виде ряда у,=а, соз йх+а, соз 2йх+а, соз Зйх+ ... (8.14) и производя элементарные вычисления с использованием формул соя лс$ х — 4 А=я з1п лйх; ) дс=. — я соз ийх, Г маМ$ .) получим в левой и правой частях уравнения (8.13) ряды по синусам. Сравнение коэффициентов при синусах одинаковых углов позволяет составить систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов ал аа и т.
д. (коэффициент а1 — величина заданная). Ниже приведена система для вычисления коэф- фициентов ряда (8.14), в котором сохранены только три первых члена й — т= — тй а~+ — т а~+ — т а,; 3 зз 3 зз 1 8 8 !2 (24 — т)а,= ! (т'+й')Ы; (8.15) (84 — т)аз=( — т +й )~а,а,+ — (тй — т )а, г 1 1 з з з 2п где Ф = — (Х вЂ” длина волны). Х Из первого уравнения системы (8.15) следует, что разность между т и й выражается членами не ниже второго порядка малости отношения амплитуды первой гармоники к длине волны.
Значит, с принятой точностью вычислений из второго уравнения ! следует, что аз = — йа'„Тогда из первого уравнения следует, 2 1" что й — и = йзаз, откуда можно вычислить зависимость скоро- и сти распространения волны от ее длины и амплитуды о~„=-- 24„(1+ 4~а~~). (8.16) 8 з з Из третьего уравнения следует, что аз = — йзаз. Вычисленные 8 з' данные находятся в согласии с результатами, приведенными в работах [52, 80). Не представляет принципиальных затруднений и вычисление коэффициентов следуюших членов ряда, имеющих более высокий порядок малости.
Для волн исчезающе малой амплитуды в формуле (8.16) можно пренебречь величиной йзаз, по сравнению с единицей и получить известное выражение линейной теории волн, связывающее скорость распространения волны с ее длиной. $48. Течение тяжепой жидкости нвд дном произвопьной формы Рассмотрим поток ограниченной глубины.
Для имитации свободной поверхности жидкости и дна рассматривается обтекание безграничным потоком двух контуров, изображенных на рис. 149. Стенки В',Аь Р~Еь В',С', и Согз~ параллельны вектору скорости набегающего потока, а стенка А,Рз имеет профиль произвольной формы. Также, как это было сделано в 3 46, обтекание этих контуров заменяют обтеканием вихревых слоев и записывают соотношение, аналогичное равенству (8.1), в котором интегрирование производят по обоим контурам.
Интеграл по верхнему контуру разбивают на промежутки АА', А'В, ВВ', В'В", В"С', С'С, СП, ВЕ, ЕР', Р'Р и РА. Интеграл по нижнему контуру также разбивают на соответствующие промежутки и для простоты в дальнейших выкладках принимают ВВ' = В В' = В"С' = В" С' = рх. 1 1 1 1 Произведем оценку отдельных интегралов для значений з, лежащих на кусках контуров в промежутках А'Р' и А,'Р,'. При с Рис, 149, Схема обтекания двух коитуроа увеличении протяженности верхнего и нижнего контуров вдоль оси х, и сохранении конечными значений й, йь Ьа и йа, интегралы по СС',' С,С',, РЕ и В,Е~ стремятся к нулю, как п а, а а, — —,(ВА — со, В,А, со, ВА'' ВА, ' ВР'' ВГ~ ЕР— оо, Е, Р~ — со).
аа Для достаточно больших значений ра ~ — — О; — - 01„а также Ь. при условии па/01«1 (см. рис. 149), скорость на стенках ВВ', В"С', В~В~, В~С~ будет постоянной и равной и за исключением малых окрестностей вблизи точек В', В", С', В,, В1, Сь поэтому интегралы по кускам контуров ВВ'В"С" и В,В,'В С', стремятся к нулю при ВА'- оо, В~А,' — ~. оо. Остаются справедливыми приведенные в 5 46 оценки для скоростей на СВ, С~01, ВА' и В,А', при тех же условиях, накладываемых на величину отрезков АА', А, А; и на максимальные значения отклонений ординат точек свободной поверхности и дна от горизонтальных линий у = О и у = — Н, соответственно.
Кроме этого, должны быть достаточно большими сдвиги по оси 208 х точки А' по отношению к точке А1 и точки А,' по отношению к точке А. При выполнении этих условий в сечении между стенками А'В' и А,'В; можно пренебречь возмущениями скорости набегающего потока и считать скорость постоянной. совпадающей по величине и направлению с о . Прн ОЦЕНКЕ СКОрОСтЕй На РаЕ И Р;Е1 МОЖНО НаЛОжИтЬ тЕ жЕ условия на длины отрезков РР', Р1Р',; на максимальные отклонения ординат свободной поверхности и линии дна от осей у = = 0 и у = — Н, а также на сдвиги точек Р' и Р; по отношению к точкам Р1 и Р, соответственно, Тогда эти скорости можно считать также постоянными, и можно определить их из условия постоянства расхода жидкости через входное и выходное сечения между верхним и нижним контурами (8, 17) где Н вЂ” ширина выходного сечения (см.
рис. 149). Оценка интегралов по оставшимся промежуткам с учетом приведенной выше оценки для скоростей приведена ниже — „')" "; ' Т(з) ++) "'," ' т(з) Ь=- () с, при С вЂ” со, С, — оо,,0 оо, Е21 — со; (8.18) — '((з,)а!21= — 2, созс(з) 1п ! ' ~; (8.19) ! Г сов(г, 7) ! 1 х — В 12 2 1 . 1121),сз1 2 и созс(з)1п! е ~; (8.20) хз х 1= 2. 1,' ~(8)Ф= ! Г сов(г, Г) ! = — — „сов с (з) 1п ! Нг+ (х — В,)2 42 " Н'+ (х — х')' Н (х1 — В1) — — в1п ". (З) агс!и (8,21) Н2+(х — В1)(х — х1) ' ! ~ сов(Г, Г) хг Н Н1+ (х х2) = — сов с (з)1п г + 4ХН1 Нг+(х — Е1) Н1(хг — Е1) — в1п с (3) агс!я (8 22) 2кН1 Н, +(х — Е1)(х — хг) !4 Заказ И 119 Выражения (8.20) — (8.22) записаны для точек свободной по- верхности и участков стенок верхнего контура между точками А' и А, а также Р и Р'1 через х', и х' обозначены абсциссы то- чек А', и Р',„соответственно.
2о )~ г 1 Г соз(г, 1) 1 == — — сов т(з) 1п ~ 2о ~ х — х| (8.23) 1 " соз(г, 1) Н х — хз = — — созс(з)1п ~ 2оН1 ~ х--Е1 (8.24) йг —— 2 — — ( (3) сй~ = — соя с (3) 1п 1 Г соз(г, ,с) 2о ( ) о Нз+ (х — В) (х — хс) ' (8.25) 14 - -- — ) "( (з1) с1з1 =- — Соз с (3) 1п -г- 1 г соз(г, Р) Н Н~ + (х — х )' 4оН1 Н, -1- (х — Е) + — а1п (з) агс1д . ' ' . (8.26) 2сН1 Н~+(х — Е)(х — х) Уравнения (8.23) — (8.26) написаны для точек линии дна, заключенных между А', и Р',.
Полагая В- — оо, В,-» — оо, Е~со, Е,— »оо и учитывая формулы (для точек свободной поверхности); Уо з!пт= ~' +У.' (для точек дна), 210 1 созс=- ~' +," 1 соз с= 1' 1+Ус У! з1п с= )/1+ У,'* где у4(х) — ординаты линии дна, отсчитываемые от горизонталь- ной прямой у = — Н, сгруппируем приведенные выше выраже- ния для 1 — 18 Н~ -1- (х — х,)~ 2к )l 1.(-у — у,' агс1я Н 1 1 (х — х»)т 2 Н, )/1+у,' ~ Н +( ') (8. 27) (г+ 14— †,-у, агс1я Н! х — ха (х — х )2 ~ Г, ~ 2 Нт+ (х — хг)~ 2х )г 1+уа Н вЂ” у,' агс1д Н ~ 1 Н(+(х — х)~ ~ 2 (х — х')з (8.28) (8.29) (Б+ 18 —— (8.30) "' ~~!+у,' У' "')Ф' 1+Чгт(1)Н( 1 ~ ' х — $ / 2х ~ ( Н+ у! — 14)з~( ) = .У вЂ” ',— Г > — в Н'-!-0~%4-'>1 (8.31) для х,(х (х~, 211 14"' С учетом формул (8.27) — (8.30) можно записать по аналогии с уравнением (8.7) где о, оу — проекции на оси координат скоростей возмущений, вызванных каким-либо источником в точках свободной поверх- ности (1 .1- уо Уо — Оо ) Ф' 1 + Оо т (Е) НЕ ( Уо — Оо)'~( ( + Н + 11 ~— Уо ) ~/1+," „(Е) НЕ уотух+пу+ ~ +уо (()о+1у)+(1о+(о)] (8.32) для х! Сх(хо, ,о1нЕ 1 (х — Е+нУ,)т(Е)нЕ 1 1' т (Е) оЕ т 1' (х — Е) уц оЕ 2о,) х — Е + 2о ) (х — Е)о+ Нг + Н 1' (х — Е) о1НЕ + х Э 1(х — Е)о+Но)о (8.34) При отсутствии возмущений о = О, уравнении (8.33) и (8.34) имеют два решения.
Одно соответствует невозмущенному 212 где о, о„— проекции скоростей возмущений в точках линии дна. В первом интеграле (8.31) и втором интеграле (8.32) вихревую интенсивность у можно выразить по формуле (8.9), тогда получается система интегро-дифференциальных уравнений для определения формы свободной поверхности у~(х) и значений вихревой интенсивности (касательных скоростей) на дне. По аналогии с уравнением (8.8) можно в формулах (8.31), (8.32) положить хо — ~ — оо, х',-э — оо, хо-о-оо, х',— у-оо, тогда и+(о = О, (о= (о=О, (о+(у= О, (о+(в = О.
Полученное выражение переходит в соотношение (8.8), если положить уо= О, Н вЂ” ~ -э оо, соответствующим потоку бесконечной глубины. Для горизонтального дна в приближении теории волн бесконечно малой амплитуды система уравнений существенно упрощается и становится линейной потоку над плоским горизонтальным дном у~ = О, у = 1; другое — свободным волнам в потоке ограниченной глубины. Действительно, полагая у, = а соз Ьх (для точек свободной поверхности), у(х) = 1 + Ь соз йх (для точек дна) и подставляя зти значения в формулы (8.33) и (8,34), после несложных вычислений получим систему двух уравнений для определения амплитудных значений волн на свободной поверхности и скоростей возмущений на дне (т — й)а-1-Ье ™=О; (т+ Ь) е ~ла-',- Ь =-О. (8.35) ! (т — й), е ™ (т+й) е ~", 1 Раскрывая определитель и заменяя т его выражением, через скорость потока (8.13), равную скорости распространения малых волн в жидкости ограниченной глубины, получим известную зависимость, связывающую указанную скорость с длиной волны и глубиной жидкости 2~ Л ЕЛ 2хИ (8.36) $49.
Волны конечной амплитуды над плоским горнзонтальным дном Рассмотрим задачу о волнах конечной амплитуды для случая плоского горизонтального дна. Полагая в уравнениях (8.31) и (8.32) уо= О, ох = О, о„= О и переходя к бесконечным пределам интегрирования, получим систему уравнений для исследования поставленнои задачи [70] (! 1-у гп ч~)~~ 1+ч~ р1 — 2тжеЕ х — Е /у~ — ж 2 ~1+ ) ~(х Е) ~1+( Е ) )(х — Е) 1 + ч~ РТ вЂ” 2тч~ ЯŠ— О. --!' ("--Е'Л -' (8.37) т (Е) еЕ х — Е (8.38) 213 Для того, чтобы уравнение (8.35) имело решение, отличное от нуля, необходимо, чтобы его определитель равнялся нулю Также, как в случае бесконечно глубокой жидкости, форму свободной поверхности можно представить в виде тригонометрического ряда. Сохраняя только три первых члена, можно записать у,=а,соабх+агсоз2бх+агсоаЗбх+...
(839) Аналогичным образом можно представить и функцию у 1=-1+Ь, соз бх+бг сов 2бх+Ьг соз Збх+... (8.40) 2ОЦ»+У» Полагая 21", ( 1, 2тт1, (1, .=,1, подынтегральные выражения в формулах (8.31) и (8.38) можно представить в виде рядов, сохранив только члены до третьего порядка малости по аь После подстановки в полученные выражения значений искомых величин (8.39) и (8.40), вычисления соответствующих интегралов и сравнения коэффициентов при синусах одинаковых углов, получается система алгебраических уравнений относительно коэффициентов, содержащихся в уравнениях (8.39) и (8.40) -и» 1 (б — т) а,— Ь,е — — та,а,— — (т +тй )а!— 2 8 — ~ — б а; — — баг) б,е + — Або,,е =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
