Н.Н. Сунцов - Методы аналогий в аэрогидродинамике (1163179), страница 23
Текст из файла (страница 23)
160) Минимальная плотность газа будет в той точке, где скорость газа имеет максимальное значение. Так как мы' рассматриваем доввуковой поток, то этим максимальным значением будет скорость газа, равная местной скорости звука. Используя формулы (3.159) и (2.41), формулу для отношения плотностей можно записать и так: 154 элвктгогиагодинамичяская аналогия (эгда) !гл. ги ~ =( — „) (1+ — М ) ', (3.161) Если газовый поток моделируется по аналогии А, то (3.162) л « =Р=(!+'2'М')'-'. =(«+!) (1+ 2 М„) '. (3.163) Из формул (3.!62) и (3.163) получим„что максимальное относительное изменение глубины «««о — «ы Мйй составит ьг =[! — ! — =т! ')(1./ " м ! -' (3164) В случае моделированиа по аналогии В будем иметь 1 — = — '" =(! -[- —,М*„) " ', (3.!66) 1 1 — = — =( ) (1+ — Ма) . (3.166) В этом случае из формул (3.165) и (3.166) получим, что «тв, — «О Ь« = "'* будет определяться следующей зависимостью: МВ% « СО 1 (!+ «м'„)" ' Значения «« „рассчитанные по формулам (3.164) и (3.167) при «=1,4, представлены в таблице 7.
Минимальное значение плотности будет в той точке, где М=! и, как видно из формулы (3.160), 1 1 $3.151 модвливованив плоского двнжяния газа 155 Табаица 7 Значения макенмальных относительных изменений глубины електролита 0,3 0,7 0,5 0,6 О,1 0,4 0,8 0,2 0,9 1,0 Из таблицы 7 видно, что глубина влектролита в ванне при моделировании газовых потоков может изменяться весьма значительно. Таблица 8 Данные по обтеканник кругового цилиндра газовым потоком (м 1,4) при М, =0,4, полученные методом ЭГДА мм точек х мм Тейлором было проведено исследование бесциркуляционного обтекания круговою цилиндра на установке ЭГДА. Моделирование газового потока осуществлялось по аналогии А. Число М набегающего потока было выбрано равным М, = 0,4, 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 0 0 0 25 25 50 50 100 75 50 100 100 75 60 50 52 60 75 100 50 100 50 100 100 50 25 50 О 0 0 0 1,95 1,69 1,45 1,25 1,61 1,21 1,11 1,13 1,00 0,99 0,83 0,90 0,73 0,56 0,34 0 2,13 1,89 1,60 1,36 1,70 1,32 1,16 1,19 1,04 0,98 0,84 0,90 0,76 0,56 0,31 0 2,13 1,89 1,60 1,35 1,72 1,31 1,14 1,19 1,02 0,98 0,84 0,90 0,75 0,56 0,32 0 156 элвктгогидгодинамичвская аналогия (эгда) [гл.
ш [Заметим, что по формуле (3.156) для кругового цилиндра М„г — 0,38, так как Р„им= — 3.) Было выполнено три приближения (считая за первое приближение обтекании цилиндра несжимаемой жидкостью) Полученные ревультаты приведены в таблице 8, расположение точек, в которых производились замеры, 4 р показано на рис. 56. Как видно из таб- лицы 8, значения [ — ) 3 Леа /а и [ — ) практически сог ~з ! У 7 !Р ~ впадают, так что надобы ность в выполнении последующих приближений отпадает. Попытка применить данный метод к большим /б га и числам М показала, что процесспоследовательных приближений получается Рнс. 56.
Расположение зксперименрасходящимся. Это объясняется тем, что при М ) Мкр на поверхности цилиндра появляются местные сверхввуковые зоны со скачками уплотнения, а данный метод применим лишь к чисто дозвуковому потоку. Сравним данные, полученные методом ЭГДА, с результатами теоретических расчетов. В таблице 9 приводятся значения отношений скоростей, полученные на установке ЭГДА и по методу последовательных приближений Рэлея. Как видно из таблицы 9, расхождение в отношении скоростей, вычисленных по методу ЭГДА и по методу Рэлея '), не превышает 3,5~. Это расхождение меньше у поверхности цилиндра и растет по мере удаления от него.
Задача об обтекании дозвуковым потоком решетки профилей решается на установке ЭГДА аналогично задаче об обтекании одиночного профиля. !) й ау!е!яп, Оп Ше Р!отго1Со!нргезз!Ые Р!иИ Раз! оп ОЬ|!ас!е, Рв!!. Ма8. 32, зып 1 [1916). $ 3.15) моазлигобаййв плоспогб дйнжзйия глзь 157 С. Ф. Абрамович ') приводит пример решения задачи об обтекании решетки двуугольников различными методами, в том числе и методом ЭГДА. Исследуемая 'решетка обладала следующими параметрами: г относительный шаг 1 = — = 0,5, толщина профиля с = е = — = 0,2.
В результате исследования обтекания втой решетки потоком несжимаемой жидкости было установлено, I ю т что ~ †) = 1,65. Следовательно, р„ м = 1 — ( †) = со пвп = — 1,72. По формуле (3.156) критическое число М в атом случае составит М„р — — 0,475. Таблица 9 Сравнение отношений скоростей, полученных на установке ЭГДА и по методу Рзлея (Мс — — 0,4, х=О) Исследование обтекания решетки на установке ЭГЛА производилось по аналогии А при двух числах М набегающего потока: одном, меньшем критического (М = 0,35), и втором, большем критического (М = 0,5).
Было проделано три приближения, причем в качестве первого приближения бралось решение для обтекания решетки несжимаемой жидкостью. Реаультаты решения приведены в таблице 1О. Из таблицы 1О видно, что при М = 0,35 третье приближение незначительно отличается от второго и, следовательно, г) А б р а м о з н ч С. Ф., Метод электрогплролннамической аналогии и его применение к исследованию решеток профилей. Труды ЦНИИ им.
акад. Крылова, вып. 21, 1947. 158 элвктгогйдгодйиамичзскай лйллогия (эгда) 1гл. Рл имеет место быстрая сходимость приближений. При М = 0,5, когда М ) Мю, третье приближение отличается от второго . значительно сильнее, нежели второе от первого. Таким образом, в этом случае приближения быстро расходятся.
, Таблица 10 Распределение скоростей по профилю решетки Интересно отметить, что при М = 0,35 результаты третьего приближения, полученного на установке ЭГДА, практически совпали с результатами расчета обтекания решетки профилей по методу С. А. Христиановича с учетом изменения формы профиля и шага решетки. $3.16. Решение уравнений годографа Выше было показано, как на установке ЭГДА путем последовательных приближений могут быть решены нелинейные уравнения газодинамики в плоскости течения х, у. Электролитическая установка ЭГДА может быть использована также и для решения линейных уравнений газодинамики в плоскости годографа скорости. 0 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 100 0 1,02 1,11 1,33 1,49 1,60 1,65 1,60 1,49 1,33 1,11 1,02 0 0 1,02 1,15 1,42 1,60 1,785 1,83 1,785 1,60 1,42 1,15 1,02 0 0 1,03 1,1 85 1,50 1,75 2,00 2,12 2,00 1,75 1,50 1,185 1,03 0 0 1,02 1,15 1,43 1,65 1,82 1,90 1,82 1,65 1,43 1,15 1,02 0 0 1,03 1,19 1,60 1,99 2,4 2,65 2,4 1,99 1,60 1,19 1,03 0 $ 3.! 61 Рай(вййв УгаэйаниМ годоггАеа 159 Исключая иэ уравнений движения газа (2.40) сначала ф, а затем у, получим соответственно (3.168) (3.169) Вводя полярные координаты г, 1), причем х = г соз р, у = г з1п р, приведем уравнения электрического тока (3.28) к виду дУ 1 дФв с — = — —, д!яг й дР ' ду 1 дтв с — = — — —.
дз й д 1и г ' (3.170) Исключая из уравнений (3.170) ф, и (7, получим соответ- ственно в случае аналогии В й=р'К (3.174) й Здесь для удобства введена безразмерная глубина й= —, йв где йз †глуби электролита в точке чэ= О. Сравнивая уравнения (3.!68) и (3.169) с уравнениями (3.171) и (3.172), убеждаемся в их аналогии, причем роль переменной з играет !и г. Это и дает основание решать уравнения газодинамики в плоскости годографа на электро- литической установке ЭГДА с переменной глубиной элек- тролита в ванне.
В случае. аналогии А 1 й= —, 1гК !10 злвктгбгйдРОдиназ(ичзбкая аналогия (згда) [гл и! Напомним, что Как видно из формул (3.(73) и (3.!74), Ь= ! в точке, где ~К= !, т. е. где скорость газа равна нулю. Ив формулы (3.!73) следует, что в случае аналогии А в тех точках потока, где скорость больше, и глубину И надо делать больше; при приближении скорости газа к скорости звука глубина Ь будет стремиться к бесконечности. Прн аналогии В имеет место обратная картина: из формулы (3.!74) видно, что с ростом скорости глубину надо уменьшать и при яв -+ а Ь вЂ” ~ О. Сложность решений уравнений годографа заключается в сложности задания граничных условий. Чтобы аадать их, необходимо знать распределение скоростей по границам исследуемой области. Рассмотрим для примера вадачу о бесциркуляционном обтекании круглого цилиндра. Считаем, что скорости на поверхности цилиндра известны, и нужно определить поле скоростей в окружающем потоке.
Установим прежде всего соответствие точек в плоскости течения и в плоскости годографа. Так как бесциркуляционное обтекание цилиндра симметрично относительно оси х, то будем рассматривать лишь обтекание верхней половины цилиндра, заменяя нулевую линию тока твердой стенкой, что всегда можно сделать в потоке невязкой жидкости. На рис. 57, а показаны границы исследуемой области в плоскости течения х, у.
Отреаки 1 — 2 и 3 — 4 представляют собой зквипотенциальные линии, расположенные в не- возмущенном потоке впереди обтекаемого тела и ва ним. Отрезок 2 У вЂ лин тока невозмущенного потока. Отрезки 1 — О и О,— 4 представляют собой невозмущенную линию тока, замененную твердой стенкой. Кривая Π— ш — О, есть контур цилиндра. На рис.
57, б показана плоскость годографа. Точка 1 в плоскости годографа отвечает точке 1'. Перемещаясь в плоскости течения от точки 1 до точки О, мы переме/ щаемся в плоскости годографа вдоль оси чи„ от точки 1 до начала координат †точ О'. Перемещению по контуру ци- $ 3.161 Фншвнив ававнаний годбгтл4а и~ линдра от точки О до точки ш соответствует перемещение по кривой, лежащей в первой четверти плоскости годографа, от точки О' до точки ш'. Перемещению по контуру цилиндра от точки и до точки О, отвечает перемещение по а) Рис. 57.
Граничные условия в плоскости течения и плоскости голографа. кривой в четвертой четверти плоскости годографа от точки яг' ло точки О'. Наконец, перемещению вдоль нулевой линии тока от точки О до точки 4 соответствует перемещение вдоль оси щ от точки О' до точки 4', совпадающей с точкой 7'. Таким образом, определились границы исследуемой области в плоскости годографа. Область движения электрического тока на влектрнческой модели установки ЭГДА должна быть выполнена геометрически подобной втой области. 11 з ана. н. н. стяч ° 1бх элзктгбгйдвОднйлккчябкля Лплдбгия (эгдь) . 1гл. Гй В случае моделирования по аналогии А криволинейные ' границы исследуемой области должны быть выполнены из диэлектрика, а сама область заполнена электролитом, глу' бина которого согласно формуле (3.173) должна быть обратно пропорциональна 7 К.
Вдоль- оси ш иа участке О' †'1' необходимо установить тонкую перегородку из диэлектрика. При моделировании по аналогии А подвод электрического тока должен осуществляться вдоль эквипотенциальных линий 1 — 2 и 3 — Ф. В плоскости годографа эти линии переходят в совпадающие между собой точки К и 4'. Таким обрааом, подвод тока должен быть осуществлен в этих точках.
Практически это можно осуществить при помощи двух тонких цилиндрических электродов, расположенных по обе стороны диэлектрической перегородки у ее конца. Диэлектрическая перегородка должна быть выполнена возможно более тонкой. При моделировании по аналогии В криволинейные границы исследуемой области и отрезок О' — 1' должны быть выполнены из металла и служить одной из шин, к которым будет подводиться ток. Вторая шина должна быть установлена вдоль линии тока 2 — 3, которая в плоскости годографа отображается в точку, совпадающую с точкой 1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
