Часть 1 (1161645), страница 40
Текст из файла (страница 40)
11ак формула (109), так и формула (111) выражают расход газа через параметры его состояния в рассматриваемом сечении потока, и потому справедливы независимо от характера процессов, происходящих в потоке газа. Формулами (109) и (111) удобно пользоваться при составлении уравнений неразрывности для газового потока, причем для каждого сечения может быть выбрана та из формул, которая лучше соответствует заданным или искомым величинам.
Выражения (109) (111) н составленные при их помощи уравнения неразрывности непосредственно приводят к ряду зависимостей, выведенных ранее более сложным путем, а также позволяют достаточно просто решать разнообразные вадачи. Приведем несколько примеров расчета. П р л и е р 2. Определить ээвнсипость между площадью какого-либо сечения идеального сопла Лаваля и приведенной скоростью потока в этом сечении, т.
е. найти заков изменения площади в сопле Лаваля, Тэк как длл любого сеченвл идеального сопла расход, полное давление в температура торможения одинаковы, то вэ (109) следует Рд(л) = совэх так как для Р' 1 крвткчсского сечения д(Л)эр —— 1, то гд(Л) =гээ влк — = —, т. е. плове э() щадь сечения сопла нзыекяется обратно проворцковальао эначенвю функцвн д(Л). В соответствии с графиком функции д(Х) это означает, что с увелвченвек скорости площадь уменьшается прв дозвуковых скоростях в уэелпчнвэется прв сверхзвуковых скоростях, имея минимум пра Л = 1.
Пример 3. На участке цилиндрической трубы между двумя сеченвямн 1 в 2 в результате гидравлических потерь (тренне, местные сопротивления) снижается полное давление движущегося газа. Потери полного давления между сеченвямк 1 к 2 оцениваются величиной коэффициента соэ 1 э хрэвевня полного давления о = рэурт ( 1. Определить характер изменения скороств н статического давления газа в трубе прв отсутствии тепло- обмена с внешней средой,Запвшек, вослольэовавшвсь формулой (109), условяе равенства расходов газа в сечениях 1 н 2: р Г, д (Л ) р" Г д (Л ) 240 гл. ч. одномвгныв твчвния глэл Поскольку в данном случае Р, = Рзи Т = Т , то Ф Р1 1 у(Л,)= — 29(Л,) или 9(Л,)= — 9(Л,).
2 Отсюда по заданным значениям Л1 и о можно с помощью таблиц гаводинамическнх функций определить Ль Полученный результат справедлив как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых скоростей потока. Так как а ( 1, то д(Л2) > 9(Л1). Из этого неравенства следует (см. график функции д(Л) на рис. 5.21), что при наличии гидравлических сопротивлений (при 6 = сопев Р = совет, Т' = сопзг) скорость дозвукового потока по длине трубы воарастает, а скорость сверхзвукового потока уменьшается.
Чтобы определить изменение статического давления, можно сравнить между собой величины р,=р п(Л,) и рз — — р л(Л ). Однако более наглядно искомый результат может быть получен из условия равенства расходов газа, если воспользоваться при атом выражением (111): Р1 1У ( 1) Р2 2У( 2) Рз У( 1) )/ Т )Г Т Р1 У( 2) Так как функция у(Л) возрастающая, то отсюда заключаем, что при наличии сопротивления, в соответствии с найденным выше изменением приведенной скорости, статическое давление будет уменьшаться, если скорость потока дозвуковая, и увеличиваться, если скорость сверхзвуновая.
Пример 4. Определить приведенную скорость Лз и статическое давление воздуха р, на выходе нз диффуаора, если известно, что на входе в диффузор полное давление р1=3 10 Н/м, приведенная скорость Л1= 2 3 В = 0,85, отношение площадей выходного и входного сечений Р,/Р, = 2,5 и коэффициент сохранения полного давления о= рз/'Р* =0,94.
Для решения задачи записываем уравнение неразрывности, пользуясь формулой (109)1 Р1 17( 1) Рз 27( 2) 7/т,' Пренебрегая теплообменом через стенки диффузора, имеем следовательно, д(Л ) = — —, у(Л1). По таблицам для Л, = 0,85 находим д(Л1) = 0,9729, Тогда д(Л2) = 0,425 ° 0,9729 = 0,413, чему соответствует Л2=0,27 и п(Л2)=0,9581. Из соотношения (102) имеем Р = Р я(Л ) = = ор л(Л ) или рз = 0,94 3 ° 10' ° 0,9581 = 2,7 ° 10'Н/м'. Пример 5. Прн испытании компрессора в выходном его сечении, площадь которого Р= 0,1 м', измерены статическое давление р =4,2Х ;к', 10' Н/и' и температура торможения воздуха Т' = 480 К.
Определить полное давление воздуха, если его расход 6 = 50 кг/с. Из выражения расхода (111) определяем функцию у(Л) по известному значенн1о статического давления воздуха: б \I Тэ 50 3/480 л1РР 0,0404 4,2 10 0,1 $ В. ГАэодинлмическин Функции По таблицам газодииамических фуикций находим, что атому значению у(Л) соответствуют величины Х = 0,399 и п(Л) = 0,9101.
Отсюда полное давление воздуха ри = р/п(Л) = 4,2 10а/0,9101 = 4,61 10а Н/ма. Если ке пользоваться газодинамическими функциями, то подобные вычислении, которые часто делают при обработке экспериментальных даииых, приходится проводить более сложным методои, путем последовательных приближений. Рассмотрим газодинамическпе функции, которые испольвуются в уравнении количества движения заза. Сумму секундного количества движения и силы давления гава в рассматриваемом поперечном сечении потока принято называть полным импульсом потока 1: 1 = Сю -)- рр = С (и~ -)- р 1. Рю/' (113) Если в (113) подставить соотношения ю = Лавр' то получим ~~+ Р = ~Лавр+ 2в ° ( у ) 1Л )~ (114) После раскрытия скобок и упрощений приводим выражение (114) к виду Сю+ рг' = — „Са„г(Л), а+1 (115) где г(Л) = Л+ —.
1 Л' (116) График газодинамической функции г(Л) приведен на рис. 5.22. Минимальное значение функции г(Л)= 2 соответствует критической скорости течения (Л = 1). Как в дозвуковых, так и в сверхзвуковых потоках г(Л)> 2; значениям г(Л)< 2 не соответствуют какие-либо реальные режимы течения. Легко видеть, что при замене величины Л обратной ей величиной Л' = 1/Л значение функции г(Л) не изменяется. Таким образом, одному значению г(Л) могут соответствовать два взаимно обратных значения приведенной скорости Л вЂ” одно из них определяет дозвуковое, а другое — сверхзвуковое течение газа. Отметим также, что функция г(Л), в отличие от всех остальных газодинамических функций, не зависит от величины иокаэателя адиабаты й.
Выражение (115) для импульса потока значительно упрощает запись и преобразования уравнения количества движения газа. Оно оказывается чрезвычайно полезным при решении ши- 16 Р. н. Абрамович, ч. 1 ГЛ. У. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 242 рокого круга задач газовой динамики, как, например, в расчете течений с ударными волнами, подводом тепла и охлаждением, течений с трением, с ударом при внезапном расширении канала, при расчете процесса смешения потоков, при определении сил, г,у' йа г д у ц~ уй ц (к гр л и Рис. 5.22.
Графики газодинамических функций з(Л), 1(Л), г(Л) при й = 1,4 действующих на стенки канала, при вычислении реактивной тяги и др. Следующие два примера позволяют наглядно показать, насколько упрощается решение задач при использовании соотношения (115). В первом из них рассмотрена ранее решенная задача (гл.
111, й 1) о прямом скачке уплотнения, во втором — вадача о течении подогреваемого газа в цилиндрической трубе (гл. У, $3). П р и м е р 6. Определить соотношения между параметрами газа до и после прямого скачка уплотнения. Связь между параметрами газа в скачке уплотнения мы выше устанавливали исходя из того, что при переходе череа прямой скачок сохраняются неизменными полная энергия, расход и импульс потока. Запишем те же уравнения с использованием газодинамических функций. Уравнение количества движения или импульса потока С1 ш1 + рему~ = 02шт + ррУ 2 с учетом выражения (115) принимает вид 61а„р1з(Л~) = Сгарртз(Лт). Из уравнений сохранения расхода и полной энергии имеем Учитывая вто и сокращая соответствующие величины расхода и скорости $ Э.
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ звука в уравнении импульсов, получаем з(Л1) = з(Лэ). Это уравнение имеет два решении: либо Лз = Ль что соответствует безударному течению с неизменными параметрами газа, либо 1 Л,= з что соответствует прямому скачку. Такое же выражение — основное нинематнческое соотношение теории ударных волн — было получено выше, см. формулу (16) гл.
111. По известному значению приведенной скорости с помощью уравнения нераарывности легко определяем изменение полного и статического давлеэ ний в скачке уплотнения. Так как Р, = Р, и Тз = У„то, испольауя формулы (109) и (111), можно уравнение неразрывности для потока газа до и после скачка представить в виде р д(Л ) = р"д(Л ) илн р у(Л )= р у(Л ). Отсюда, учитывая, что Л, = 1/Ль получаем рз/р =д(Л )/д(1/Лг); р~р~ = = у(Л,)/у(1/Л~). Эти соотношения эквивалентны уравнениям (24) и (21) гл. 111, но получены значительно более простым путем.
Приме р 7. Гаэ, движущийся в цилиндрической трубе, подогревается от 400 К на входе в трубу до 800 К на выходе из нее. Приведенная скорость потока на входе в трубу Л, = 0,4. Требуется определить, пренебрегая трением, приведенную скорость потока после подогрева, а также иамененне полного и статического давлений в потоке. Основное соотношение, определяющее закономерности течения газа в цилиндрической трубе с подводом тепла,получим из уравнения количества движения. В данном случае оно имеет внд Сю +рР=ОФ +р Р, так как подвод тепла не свяаан с силовым воздействием на поток и силы давления в начальном и конечном сечении являются единственными силами, вызывающими изменение количества движения гааа.
Заменяя выражения для импульсов потока газа согласно соотношению (115) и считая, что теплоемкость гааа и покааатель адиабаты при подогреве не изменяются, получаем / т,' азщз (Лг) = аауз'(Лз) нлн ' (Лз)='(Лг) ~/г — е. Так как при Л, = 0,4 э(Л,) 2,9, то э (Л ) = 2,9 $/ — = 2,05э С помощью таблиц функции э(Л) или непосредственным вычислением иэ квадратного уравнения Лэ+ 1/Лз = 2,05 определяем два возможных значения приведенной скорости на выходе: Л = 0,8, Лз = 1/Лз = 1,25. Реальным будет только первое решение, поскольку подогревом невозможно перевести дозвуковой поток в сверхзвуковой (см. $4).
Зная приведенную скорость потока Лт = 0,8, легко определить иаменение полного и статического давлений в процессе подогрева. Для этого, как и в предыдущем примере, можно воспольаоваться уравнением неразрывно16э ГЛ. У. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 244 сти, из которого для данного случая (6 = сопз1, Р = сопзс) следует у (Л ) 1/Т 0,8482 800 0 848 Таким образом, как полное, так и статическое давление в результате подогрева газа уменьшается. Полученное значение рг/р~ = 0,648 и есть то соотношение статических давлений газа в начальном и конечном сечениях рассматриваемого участка трубы, которое необходимо создать, чтобы поддержать при данном подо1реве заданную величину приведенной скорости на входе Л = 0,4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
