И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Окончательно получим и д ~~~ Ргс' г=! + — ~~~~Во"та= ~~)~ ~Ы" + — ~~) р.в. (1.3у)' Второй член в квадратных скобках уравнения (1.38) является компонентом тензора второго ранга, который называется тензором диффузионных напряжений 1~Д'З!1. Учитывая, что 1в=о" ~~, (р!ой — р,па) =о (ров — 'рпа) =О, г=! преобразуем компоненты тензора диффузионных напряжений дов ~ оо)й '1 оо)й ьо Я 1а — у 1й(оо „) (1.30), г=! з=! г=! Компоненты тензора диффузионных напряжений входят в состав; тензора напряжений для частицы смеси У=11роа11: см рай,— 1)~~ раз + Дар (1.40) ° ! Таким образом, в тензор напряжений смеси У входят диффузнон- *! Силы взаимодействия между компонентами, внешние для каждого ком— понеита, в то же время являютсн ннутренними силами для частнны смеси.
19, Преобразуем левую часть путем прибавления и вычитания выра- д !т гг жения — р~ Ргозгт!~ Учитывая, что по определению рк=) Ргог, з=! г-! а 1 =рз(к! †), получим из (1.37) дР" дРРФ =Х д ~Х вЂ” Х 1а1 (1381 з=! г=! г=! пые потоки, т. е. входит не только сумма парциальных компонент гензора напряжений, но и компоненты тензора диффузионных напряжений.
В эксперименте имеем дело с компонентами тензора для смеси р'В, которые можно представить в виде Ф раВ рбаВ 1 рбаВ 1 ~а раВ 1 Дав рбаВ.( таВ где т' — компоненты тензора вязких напряжений. Определяя плотность массовых сил, относящихся к среде в целом, по формуле р1=~" р!1!, получим из (1.38) уравнение ям!=1 пульса для смеси — т драа , драа»В д р!а [ раВ д! дхВ дх" (1. 41) где компоненты тензора напряжений определяются из (1.40).
Уравнение .(1.4!) записано в дивергентной форме. Используя уравнение неразрывности (1.25), приведем уравнение (1.41) к виду !„а д р рГа 1. рав !и дхВ (1,42) или в векторной форме д» ЪЧ р — = э р!1!+б1»:!а. Ж (1. 43) Изменение энергии !-го компонента равно притоку энергии извне, который слагается из механической работы (внешних по отношению к данному объему массовых .и поверхностных сил), немеханической работы, внешнего п!ритока тепла (массового и поверх~иост- хо 1=! Уравнение момента количества движения, Если предположить тензор напряжений симметричным р В=рв' и пренебречь внутренними моментами количества движения, поверхностными и массовыми распределенными парами, то уравнение момента количества движения автоматически удовлетворяется [1).
Заметим, что в этом случае парциальные тензоры напряжений [[р!аЧ не обязательно симметричны, тай как могут присутствовать собственные моменты и пары в результате влияния одного компонента на другой. Уравнение э не р г и и. Определим энергию !-го компонента как сумму его внутренней и кинетической энергий „3 е! =е!+ — ', (1.44) 2 При таком определении внутренней энергии в нее войдет часть кинетической энергии, так как из (!.48) следует, что и л тя 2 '( ! е =% ~ )' е = Ъч'г ! е + — + ои! + — ~.
2 ' 2 (1.49) с=! д=! Учитывая, что ~ Г!=1, а ~~' )'сп!с=-О, получим из (1.49) д=! Ф 2 '( в=с+ — =-~' 1'! (ед+ — ) + —. 2 21 (, 21 2' ~=1 откуда следует, что дд =У (,< — 1 =- '-~-2 !' —. 2 ! а,а 2 (1.50) Поскольку внутренняя энергия не должна содержать кинетическую энергию, то понятию внутренней энергии в большей степени отвечает величина е*. Обычно квадратами диффузионных скоростей можно пренебречь. Тогда величины е и е* совпадают. К левой части уравнения (1.47) !прибавим и вычтем — ~,~ рсе!эа), а к правой — (~ — ~!~~ а'"р~.'„), Е=! Преобразованное таким образом уравнение энергии примет вид р — = ' рДаоа+ — о"ра + ') р!!9*.— — !а.
(1.51) к! д ди 2~ ' дха " 2а1 ' дха В уравнении (1.51) введены обозначения: дду!~~а! ра„!'" 1 Р! Р! с-! 22 Величина 1дд определяет приток тепла к макроскопически малому объему многокомпонентной смеси с учетом притока тепла котдельным компонентам 1д!В, немеханической работы 1д!*"В, переноса энергии за счет диффузии е!1!а, работы диффузионных напряжений при перемещении среды и работы парииальных напряжений на диффузионных перемещениях. Первый член в формуле (1.52) представляет собой вектор потока тепла за счет теплопроводности и может быть определен для изотропных сред с помощью закона теплопроводности Фурье '11, 21*>: У г)=~ 1,, = — Хдгаб Т.
Коэффициент теплопроводности Х в случае многокомпонентных газовых смесей зависит от концентраций и от температуры, и определяющие его формулы точной кинетической теории оказываются очень сложными [91. Поэтому для бинарных смесей более употребительными являются эмпирические формулы для Х, в то время как для тройных и 'более смесей имеется очень мало экспериментальных данных. Как отмечается в 12], в задачах горения зависимость Х от концентраций можно не учитывать. При необходимости учета этой зависимости наиболее простой является аппроксимация (1.54) где )ле — коэффициент теплопроводности 1-го компонента.
Предпоследний член в формуле (1.52) отражает так называемый эффект Дюфура, проявляющийся в том, что наличие градиентов концентраций приводит к возникновению, потока тепла. Этот эффект аналогичен термодиффузии, когда наличие градиентов температуры вызывает появление диффузионных скоростей (1.6). В большинстве случаев эффект Дюфура настолько мал, что им пренебрегают даже в тех случаях, когда термодиффузией нельзя пренебречь. Окончательно уравнение изменения полной энергии (1.51) можно записать в виде р — (е+ — ') = ~~)'рАт, + Йч (Уу) + з)„ргйг — Йч1з„(1.55) г=! г=г где уу =робин. Выведем уравнение изменения кинетической энергии (теорему живых сил).
Для этого уравнения импульса (1.43) умножим скалярно на у и преобразуем, прибавляя и вычитая в правой части величину В некоторых случаях пользуются обобщенным законом Фурье 1191 Ч+ гздЦд1 = — Х ига б Т, где тз — время термической релаксации. Обобщенный закон Фурье предполагает, что тепловые возмущения распространяются ие мгновенно, а имеют конечную скорость.
23 Получим уравнение живых сил *> р — ( — '" ) = йт р!1гч+ !1(ч(я'ч) — У1г1! — 'у' ч цгаг(ч. дт !! 2/ М»е Ф=! Вычтем это уравнение из уравнения энергии (1.55). Получим уравнение изменения внутренней энергии, которое чаще называют уравнением притока тепла: р — = — Йч1 +~ргО;+ ~1!1!+Уз вегас(ч. (1.56) де дГ члене обозначена свертка двух тензоров '! Здесь звездочкой в последнем второго ранга по двум индексам: дза а доа .
аа дха дх" З»» йгаб ч = — р = — — ! „'т» йгадч. Р, др и! с градиентом скорости (.У * ягаб ч) назы- = — рд!ч ч —. » йгад ч Свертка тензора вязких напряжений вается днссипатнвной функцией. 24 При решении конкретных задач часто вместо уравнения энергии удобнее использовать уравнение притока тепла. При этом полная система уравнений, описывающая движение многокомпонеитной среды (1.25), (1.30), (1.43), (1.55), эквивалентна системе, в которой вместо уравнения энергии (1.55) содержится уравнение притока тепла (1.56).
Основные термодинамические соотношения для движущегося многокомпонентного газа. Согласно основным положениям термодинамики для всякой термодинамической системы можно ввести однозначно функцию состояния 5 — энтропию системы, которая обладает следующими свойствами. Энтропия системы равна сумме энтропий частей, т. е. энтропия аддитивна. Издгенение энтропии с(5 состоит из двух частей: г(5 = г(,5+ с(!5, где г(,5 — изменение э|нтропии, обусловленное взаимодействием рассматриваемой системы с окружающей средой (приток энтропии извне), а с(,5 — изменение энтропии, обусловленное изменением внутри системы (возннкновение, или производство, или рождение энтропии). Рождение энтропии г(г5) О, причем с(,5=0, когда все процессы обратимы, и А5)0, когда хотя бы один из процессов необратим.
(1.58) Для смеси совершенных газов имеют место закон Дальтона р =Я р! и аддитивность энергии и энтропии по компонен!=! там Л И е" =~ У;е!, з=~' У!з!, О=У!д!, с=! поэтому с(е* = ~'„У! !(е!,- ~ е!!!Уь !(з = ~) У, !Ь! + ~г з; и'У!, дд = У!Ю!+ 64 У,. 25 Последнее свойство 45)() справедливо для любой макроскопически малой (бесконечно малой) части, а не только для всей системы. В случае течения газовой смеси, когда полная система не находится в состоянии равновесия, термодинамические параметры меняются от точки к точке. Неравновесная термодинамика принимает тогда условие локального термодинамического равновесия частицы, для,которого удельная энтропия 5 является той же самой функцией величины удельной энергии е и удельного объема д, что и в состоянии полного термодинамического равновесия в системе коорди!нат, движущейся поступательно. относительно основной системы, и такой, что ее начало и скорость в рассматриваемый момент времени совпадают с центром масс и скоростью центра масс частицы (собственная система координат): Т<Ь = Йе+ рИ.
(1.57а) Обычно время установления равновесия по химическому составу много больше, чем время установления равновесия по термодинамическим параметрам. При неравновесных химических реакциях, когда есть локальное равновесие по термодинамическим параметрам р и Т и нет локального равновесия по составу смеси, для,каждого компонента в своей собственной системе координат ТсЬ; = !(е!+ р!!(бь (1.57б) Умножая (1.57б) на массовые 'концентрации У; и суммируя по всем компонентам, получим Т'Я У! Йз! = Я У! де! + ~' р, У; М!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
