И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Наиболее медленная из этих пяти стадий и будет определять скорость всего процесса в целом. Кинетическое соотношение для поверхностных реакций в предположении, что определяющей является третья стадия, а остальные стадии протекают значительно быстрее, были выведены Ленгмюром. Исходя из постулатов Ленгнл'! мюра, скорость 1ьй стадии поверхностной реакции аг [е= -, ) пропорциональна степени заполнения поверхности реагирующим веществом и давлению газообразного реагента и может быть определена соотношением [15, 16) е =й,"Пр," П у," .— й";Пр; Г1 у,'., (1.17.1) ;=! ';=Л~,+! !=! ' !=Л~,.~! где р, (!=1, ...,Л!!) — парциальное давление газообразных реагентов у поверхности; у! (г=й!+1,..., А!) — степень заполнения поверхности реагирующим веществом (поверхностная концентрация адсорбированного реагента); й!э(Тв) — ' константа скорости реакции, которая для большинства реакций имеет внд [16, 17) ай ~л й(т) У, лг (1.17.2) ~/2птКТ !4 где т — средняя молекулярная масса смеси реагентов в газовой фазе.
$ С2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ Уравнения изменения потоков массы, импульса и энергии можно записать в интегральной форме для фикспровапной массы или для фиксированного объема сплошной среды. Для многокомпонентных сред проще записываются уравнения для фиксированного объема. Переход от одной формы записи к другой осуществляется при помощи кинематической теоремы переноса.
Теорема пер е носа. Пусть г(х, () — некоторая суммируемая функция, а )т(1) — некоторый подвижный объем, перемещающийся со средой, причем каждая точка границы объема )т(1) перемещается в поле скоростей У, образованном средними скоростями движения центров масс частиц. Тогда имеет место соотношение — ( Р (хч, 1) й)т = — ( Р (х", 1) Л'+ 1 Р (х", 1) Упйв, (1.18) ш „1 з1,1 кю х где г", — неподвижный объем, совпадающий с подвижным в момент времени 1; л — замкнутая поверхность, ограничивающая объем )гь, и — внешняя нормаль к поверхности. При выводе этой теоремы требуется, чтобы все интегралы в выражении (1.18) существовали и производные интегралов в (!.18) имели смысл.
Если существует производная дт/дй то соотношение (1.18) может быть записано в виде (' р.(ха ()й)/ 1 (х, ) д'.+~р(хч 1)о„йш (1.19) г0) х При условии, что функции г и т непрерывны в области )т и существуют конечные производные, соотношение (1.19) с помощью формулы Гаусса — Остроградского приводится к виду — ~ Р(х",Г)гЛ"=~ (" * ) й)'+~д(г(Р у)Л'. (1.20) К1Ь га Доказательство этой теоремы присутствует в современных курсах механики сплошной среды (например, в 11)) и здесь не приводится. Доказательство справедливо не только для скалярной функции г" (х", 1), но и для вектор-функции, В случае многокомпонентных газов теорема справедлива как для всей смеси, так и для отдельных компонентов.
Для всей смеси производная й/й( учитывает конвективный перенос, задаваемый полем скоростей смеси у(х, 1), а для отдельных компонентов вве- подвижному объему, каждая точка границы которого движется со скоростью т, 1-го компонента, а не всей смеси. Уравнение из м е пения массы. Изменение массы 1-го компонента в объеме г' (1), перемещение которого задано полем скоростей данного компонента, может происходить только за счет рождения 1-го компонента %; в выделенном объеме в результате химической реакции в единицу времени: — ~ р;Л'= ~ %;<Л/. (! .21) ига гпо Используя теорему переноса, получим нз (1.21) — ( р~сй~== — ( рчппХ+ ( %;сй~, дг (1.22) т.
е. скорость изменения массы 1-го компонента равна притоку массы в объем в единицу времени через поверхность Х плюс скорость рождения 1-го компонента в объеме при химической реакции (знак минус перед поверхностным интегралом объясняется тем, что и — внешняя нормаль). Отметим, что г';(1) = г"(1), так как каждый компонент в данный момент времени занимает весь выделенный объем.
В то же время г';(1+И) ФФ'(1+Л1), ввиду того, что каждый компонент обладает своим полем скоростей ч,(х~, г)~т(ха, 1) В случае, когда подынтегральные функции непрерывны и диффереицируемы, уравнение (1.22) приводится к виду — + б1ч (р ч;) — И, ) сй' =- О. Г др~ д~ (1.23) Если, кроме того, подынтегральная функция непрерывна в некоторой области течения, а г'(г) — произвольный объем в атой области, из (1.23) следует, что подынтегральная функция равна нулю во всей области: — + б(ч рр; =Фь др~ д1 (1.24) Соотношение (1.24) носит название уравнения неразрывности для 1чго компонента.
Суммируя уравнения (1.24) по всем компонентам, внося сумму под знак дивергенции и учитывая, что ~ р,ч, =рч, получим ~=1 16 дем производную А/Ж, которая учитывает конвективный перенос, задаваемый полем скоростей 1чго компонента. Так, производная ха Н~ означает, что берется изменение интеграла по гпв уравнение неразрывности для всей смеси: др лс — ~+с)!чрт=- з'%с=О, дс (1.25у с=! так как н л с с л %с = ~" ), (ти — тт) лссьсс — — у' сос )~ асс (ти — ти) = О. (1.26а). 1=! с=сс=с с=! с=! При выводе соотношения (1.26) использовалось условие сохране- ния массы при химической реакции (1.9).
Соотношение (1.26б) с=с называется условием согласования. Уравнение неразрывности для компонента (1.24) можно записать в виде — + рс с1 сч ъ'с = %с, 'сСсрс ссс (1. 27)- сСс д д где — = — + тс — — производная, учитывающая конвективссс дс дх ный перенос, задаваемый полем скоростей с-го компонента. Перейдем к производной с(сс(с, определяемой движением частицы смеси со средней скоростью. Преобразуем (1.27), введя скорость диффузии ис = тсс — ч: (1.28): — с+ с)!ч Рсн с+ Йч Рйт =%ь дрс Вводя вектор потока диффузии 1с=рстгс и учитывая, что 6!чрст= = р, с)!ч ч+ т пгас! рь получим из (1.28) — "' +рсс)!чт — — — с)!ч1с +%о Ж Переходя в уравнении (1.29) к концентрациям р,=У,р и учитывая, что имеет место уравнение неразрывности для всей смеси, полу- чим (1.29) р — = — бйч 1с +%с.
сн'с Ф (1.30). 17' При решении конкретных задач из ссс уравнений вида (1.30) достаточно выбрать ст' — 1 уравнений и дополнить их условием Я Ус=1. (1.31) с=с Вектор потока диффузии в уравнении (1.30) можно определить, например, из закона Фика (1,7).
Тогда уравнение неразрывности для компонентов примет вид р — '+ рч дгабУ; = с(1ч (р0игаг(У~) +%~, ак; а~ (1.32) Уравнение и м пуль с а. Скорость изменения количества движения материалвного индивидуального объема 1-го компонента У;(1) равна сумме внешних массовых сил и поверхностных сил, действующих на этот объем, скорости изменения количества движения за счет рождения 1-го компонента в объеме У;(1) в процессе движения и скорости изменения количества движения за счет силового воздействия других компонентов К;: — ~ рч ггг' =~рддр+ ~(р)„до+ ~%;чс(У+ ~КсЛ~, (1.33) г ш г Х р г где 1; — вектор плотности внешних массовых сил, действующих на 1-й компонент; т; — скорость родившейся части 1-го компонента; (р,), — вектор плотности поверхностных сил, воздействующих на 1-й компонент.
В любой системе координат вектор поверхностных напряжений (р;)„можно связать с вектором нормали и к поверхности, на которую он воздействует, при помощи компонентов тензора второго ранга ф — права (р,)„=Р; и. нли в проекции на координатные осн декартовой прямоугольной системы (р;пасв) — р,~а ь р а+В,п, +К, сь 1 2 3. (1.35) р=1,2, 3.
В уравнении (1.35) нижние индексы у символов относятся к компонентам, а верхние — к координатам. Если в формуле один и тот же верхний индекс присутствует дважды, то подразумевается, что по этому индексу производится суммирование. 1В Этот тензор называется тензором напряжений 11, 8]. Преобразуем уравнение (1.33), предполагая, что все входящие в него функции гладкие. Используем теорему переноса и, перейдя от поверхностных интегралов к объемным по формуле Гаусса— Остроградского, запишем преобразованное уравнение (1.33) в ,хдифференциальной форме ~~'"' -)- б(ч (рчч) =р,1;+ йули;+ йч;+ Ко (1.34) Просуммируем (1.35) по компонентам и воспользуемся при этом условием согласования, утверждающим, что сумма всех внутренних для частицы смеси сил равна нулю*1: гг и ') йй;чт+Ж К;=О. )=! г=! (1.36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
