И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим общую постановку плоской одномерной нестационарной задачи о распространении пламени по химически реагирующей смеси газов. Уравнения течения смеси вязких теплопроводных химически реагирующих газов в одномерной нестацио- парной постановке имеют вид др дри — + — =0, д! дх (4. 97) ди ди д — ди др р — + ри — =- — р — — —, д! дх дх дх дх (4. 98) к дУ! ду! д ду! Ъ1 р — !+ ри — '=- — рР— !+ ~ в!р д' дх дх дх дН, дН д дТ д /- ди ! р — + ри — == — ) — + — 1 ри — 1+ д! дх дх дх дх 1 дх 7 (4.99) д ъ ч ду! др + — рР~ й,— + —, дх х',„1 дх д! (4.100) р= рг7'~ — ", (4. 101) их где О =- 1) Ь!)'! + — — полная удельная эптальпия смеси.
2 !=1 Массовая скорость образования реагентов в каждой из стадий химической реакции определяется кинетикой реакции [15, 42): и, вы ы и! (ти — т;;) ~й, (Т) р"! П )'," е лт— !=1 У Е!. — й,(Т) р" — ! ПУ!т!!'е нг ~, !=! (4. 102) 2!4 где й„ й, — константы скорости прямой и обратной реакций, Е„ Е, — энергии активации для прямой и обратной реакций. Система (4.97) — (4.101) позволяет решить общую задачу одномерного плоского течения с учетом вязкости, теплопроводности, диффузии и химических реакций.
Для упрощения полученной системы сделаем некоторые предположения, основанные на специфике исследуемых процессов медленного горения и позволяющие ограничиться учетом лишь тех факторов, которые оказывают существенное влияние на скорость нормального горения. Основной задачей при решении системы является определение стационарной скорости распространения фронта пламени относительно несгоревшего газа, Связав начало координат с фронтом пламени, т. е.
изучая процесс в системе координат, движущейся в пространстве вместе с фронтом„предположим, что распределение всех интересующих параметров перед фронтом и в самой зоне горения не меняетея с течением времени. Таким образом, задача сводится к стационарной. Кроме того, экспериментальные исследования скорости нормального горения газов показывают, что перепад давления по обе стороны фронта пламени крайне незначителен. Так, по данным [13) для смеси пропана с воздухом при скорости нормального горения В'=0.45 м/с этот перепад по! порядку величины равен (Ро — Р!)!Р!=1О з. Таким образом, нормальное горение представляет собой дефлаграцию, осуществляющуюся почти при постоянном давлении х!.
Следуя [15, 24, 43, 45), предположим, что скорости движения газа, вызванные наличием нормального горения, незначительны и квадрат числа Маха мал: Мз((1. Тогда, как показано в [15), эффектами, связанными с вязкостью и изменением динамического напора, в уравнении (4.98) можно пренебречь и оно заменяется условием гомобаричности р=сопэ1. Предположим, что компоненты являются политропными газами: й! = ср~7+ Й! Умножнм уравнения (4.99) на сз!о, просуммируем по компонентам (с=1, ..., У) и вычтем из уравнения (4.!00).
Сложим полученное уравнение с уравнением (4.97), умноженным на с,Т. Тогда система (4.97) — (4.100) для стационарной задачи принимает вид — =0 =рри = и =сопз1, ори !!х (4. 103) (4. 104) Р = сопз1, (4. 105) к !=! оз = ри (рх чв) Рассмотрим бесконечную область.
Тогда граничными условиями полученной системы являются следующие. ю дефлаградни с заметными перепадамн давления реализуются прн других механизмах сгорания, в частности прн турбулентном распространении пламени. 2!3 К дту! Й ох'! — = — РР— + ау ез!ь с!х с!х ох с=! Ф К бтсрТ е '" о'срТ ич ъ-ч в (4. 106) !!х !!х ср !!х !=1 !=! Х Так как для газов обычно число Льюиса 1е = близко рВср к единице, будем считать, что ) е=-1.
Будем также предполагать, что процесс протекания реакций описывается одной переменной [15, 24, 43, 45) — эффективной скоростью реакции ьи 1) В несгоревшем газе (х- — ор): — У1 ! Х-.-~ = У~ „, 1)Т)г!х)„„° О, й'Ндх)„т =-О. (4. 108) (4. 109 Условия (4.109) показывают, что при х — н — но реакция идет с нулевой скоростью ввиду низкой температуры смеси. Среди них при сделанных предположениях только одно условие независимое. 2) В сгоревшем газе (хн-+со): дТ/г(х(, н„=-О, оУ~!дх)н н„=О (4.110) РИ'~~~)„Рс(т," — т",)+Ун~ — '1=р,=сопя(, (4.112) т; и — = — 1(рГ1 — ~, 1=2, ..., Л', Т, с,, (4.113) нх рн ( нх р)') н ! нип (тк тн) ду, л / л', т (4. 114) ах ) где У; тС(н~ нс) тн(нЮ нь) т' (нк — нн) Фс= т (,к нн) Срг Ун , — У,аСр Ун— т, (н", — н~~) ЬСр тн (н! — н!) ЬН тн (н! — к~1~) и 'й срнт; (ннн — н,".) ЛС = '=' (нк н н) Л ЬН = '=' (нн нк) 216 — условия ограниченности функций (концентраций и температуры) при достижении равновесия.
Эти условия можно также трактовать как отсутствие потоков в продуктах, когда реакция уже закончилась. Граничные условия (4.108), (4.110) и одно нз условий (4.109) не переопределяют систему, так как в стационарной задаче в дифференциальных уравнениях присутствует еше один неизвестный параметр т (массовая скорость нормального горения), который также подлежит определению в процессе решения.
Преобразуем систему (4.103) — (4.106). Разделив уравнения (4.105) на лт;(нн — нч ), вычтем уравнение с'=! из всех остальных уравнений (4.105). Разделим уравнение (4.106) на ХтАн(т;н— — т;н), а также вычтем из него уравнение (4.!05) для 1= !. Получим систему уравнений (4.! 11) Решение задачи сводится к интегрированию уравнений (4.113), (4.114). Введем новую независимую переменную Х р ~Ы~ ~ м срдх (4.115) Тогда система уравнений (4.113), (4.114) запишется в виде (4. 1! За) л$ дзр (4.114а) Граничные условия системы (4.113а), (4.114а) имеют вид 1) при ~ — « — со (х- — оо) р; = р,с, У~ = У~с, дУ1 ЫЧ = 0; (4.116а) 2) при $ — «+со (х — «+ос) фг/дую=0, с(У1/сЦ= — О, (4.1166) Проинтегрируем уравнение (4.113) с учетом граничных условий (4.116а) при в — « — со: 8,=11„+С,е', (4.117) Из условий (4.116б) при с — «+со следует, что константа С1=:О.
Тогда из (4.117) получаем первые интегралы системы (4.113)— (4.114): 8;=й„=сопз1, или 2!7 срТ+ 1',ЛН =срчТс+ )'1,ЛН, с — ) ~йС = е — ) ~~бС, У, — )',Ф; = У'р,— )'„Фо (4.118) Из интегралов (4,1!8) получим соотношение, связывающее тем- пературу и концентрацию в зоне реакции: сро Яр(Т) =ЬН+ХСрТ вЂ” теплота реакции при постоянном давлении р и температуре Т. Соотношение (4.119), в частности, позволяет определить макси- мальную температуру продуктов реакции Т„положив 1~==0. Что- бы завершить решение задачи, надо проинтегрировать уравнение (4.114) с граничными условиями (4.116). При этом текущее зна- чение температуры, которое входит в формулу для скорости ре- акции в, определяется из интеграла (4.119).
Уравнение для концентрации (4.114) второго порядка и со- держит неизвестный параметр >и. Поэтому для решения уравнения и определения параметра пг используются три граничных условия: Л'> ! ЙУ> У,), „=Уиь — ~ ~=- О, — „~ = О. Ж !! — ' л» в--ь- 6(У,) = — '=~ — '=-6'6, 6'= —, Л', РУ... Лб лй $йг ' лу Уравнение (4.114) принимает вид 6'6 — 6 — рг! — '' а>(У>) =-О, т> (4. 120) где Лт=т>" — т1'>О.
Граничные условия: 6(О) =-О, 6(У,„) =О. (4.121) Для построения поля направлений функции 6(У>) запишем уравнение (4.!20) для 6чьО в виде, разрешенном относительно про- изводной р0т,лт«> (У,) бтз (4. 122) Для корректности постановки функция скорости реакции а>(У>) должна обращаться в нуль на границах, т.
е, при У>=0 и У>=Уы, При задании а> в форме (4,120) это условие выполняется только при У,=О (а>(0) =0). Величине У|=У;, соответствует экспоненциально малое, но отличное от нуля значение а>. Зависимость (4.102) можно немного подправить, чтобы соблюдалось условие ь>(У«) =-О. Такое изменение не окаьет сколько-нибудь существенного влияния на результаты расчета и будет соответствовать предположению, что в неподогретых реагентах реакция не идет.
Изоклина нулей 6'=0 в плоскости (Уь 6) определится из (4.122) по формуле 6 = — р)~ — ' а> (У>) т что с учетом вида функции ь> дает кривую, изображенную на рис. 4.17. Отметим, что искомая интегральная кривая лежит в области отрицательных значений 6, так как по условию задачи ду>/с(к -О. Выше изоклины интегральные кривые обладают отрицательным наклоном, а ниже изоклины — положительным. Искомая интегральная кривая является сепаратрисой, выходящей из особой точки 0 (У,=О, 6=0). Она пересекает изоклнну и приходит в особую точку «А» (У,=укй 6=-0) (см. рис.
4,17). 218 Уравнение (4.114) можно проинтегрировать численно, если извест- на функция а>=ь>(У). При проведении исследований удобно пони- зить порядок этого уравнения, вводя новую зависиму>о перемен- ную Рис. 4.18 Рис. 437 определяя производную 6' по непрерывности в области ниже изоклины (6'= 1). При этом подбирается такое т, чтобы интегральная кривая с заданной точностью попала в точку О.
Заметим, что уравнение, подобное (4.114), можно получить и для энтальпии, и для температуры. Для этого умножим (4,114) на ЬН и вычтем его из (4.113), умноженного на т!(и!" — и!и)бН при !'=Т. Получим Лс,т с! Х дс,т т Р = — — Р + и7т ЬтЬН. ях 0х ср ях Умножив уравнение для концентраций (4.105) на с„Т, просуммируем по !' н вычтем полученную сумму из (4.1231. Получим уравнение, определяющее изменение температуры: тср Х + сит ЛтЯ (Т) лт 8 ат (4. 124) их Йх зх (4.123) Таким образом, массовая скорость горения может быть определена в результате численного интегрирования уравнений (4.114) нли (4.123), или (4.124) для каждой конкретной задачи.
Поэтому оказывается целесообразным использовать приближенные методы, с тем чтобы обнаружить общие закономерности, связанные с распространением фронта горения, и получить зависимость массовой скорости горения от определяющих параметров задачи в явном виде. Самая ранняя попытка приближенного решения уравнений одномерного стационарного распространения пламени принадлежит Малляру и Ле Шателье (48).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
