И.Н. Зверев, Н.Н. Смирнов - Газодинамика горения (1161628), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Г1редполагалось, что точка перегиба температурной кривой (рис. 4.18) соответствуег температуре вос- 2!9 Уравнение (4.122) является уравнением первого порядка и содержит один параметр т. Граничных условий — два (4.!2!). !3 результате численного интегрирования может быть определена интегральная кривая 6(У) и найдено значение неизвестного параметра т, т. е. определена массовая скорость нормального горения.
Численное интегрирование удобно проводить из точки А,! Х т,— Тв ! т=— (4.126) ср Т Тв Лх а распределение температуры при х<0 определяется интегрирова- нием уравнения (4.124) прп гэ=О с граничными услониямн Т(х — =- Тв Тт=-а =-- Тв: Т вЂ” Т„= (Т, — Т,) ехр [ —" х 1, Х Формула (4.126) для определения массовой скорости горения неудобна, так как в нее входят две неопределенные величины Т, и Лх, и не точна, так как из этой формулы вытекает линейная зависимость между коэффициентом теплопроводности л и массовой скоростью горения т, а эксперименты показывают квадратичную зависимость [491. Формулу (4.126) можно уточнить, учитывая зависимость характерного размера Лх от скорости горения [24, 45 — 47): Лх= (Р Р т т,Лтв т,Лъвв (4.127) Подставляя Лх в формулу (4.126), можно определить скорость горения [24): т = 1~à — * рпхйум, Гх т,— т, т,— т, или 1Р= ~,' — * "т,бчвр-'= ~(,—.3(Т„м) .
(4.128) / х т.— тв Ррр Тв тв Ррр Рассмотрим еще одну приближенную модель распространения горения с учетом потерь [151. Область течения, описываемая 220 пламенения Т,. Ниже этой температуры химическая реакция вообще не происходит. Тогда на участке Т<Т, уравнение (4.!24) можно проинтегрировать и определить поток тепла, идущий на прогрев несгоревшей смеси: нт ),— ~ =тср(Т,— Т,). в Этот поток тепла равен потоку тепла от зоны горения, который приближенно определялся по формуле л'[ т,— т, дх [, Лх где Т, — конечная температура продуктов горения, Лх — некоторый характерный размер, сравнимый по порядку величины с длиной зоны реакции.
Поэтому из (4.125) следует уравнением (4.124), разбивается на три зоны. В первой зоне ( — со<х<0) осуществляется прогрев реагентов до температуры воспламенения Тм кимическая реакция отсутствует. Во второй зоне (0<х<бх) химическая реакция идет с постоянной скоростью а. В этой области происходит полное превращение реагентов и выделение энергии. В третьей зоне (Лх<х<+оо) присутствуют продукты реакции, а химическая реакция полностью закончена. Такая модель протекания реакции позволяет получить аналитическое решение уравнения (4.!24) и рассмотреть предельные режимы распространения горения, обусловленные наличием потерь энергии в окружающую среду.
Для этого в уравнение (4,124) надо ввести члены, соответствующие потерям на таплоот» вод в стенки трубы Кт= Кт(Т вЂ” 1'о) Х вЂ” — п1с — = — вЯ + К (Т вЂ” Т,), дх~ дх где массовая скорость сгорания а определяется соотношением (4. 1291 0 прн х<0, в=- сот,Лт при 0(х< Лх, 0 при х>бх.
Граничные условия для уравнения (4.129) таковы; 1) —: Т=Т,, г(Т)! =-О, 2) х-э.+ со; г(Т(г(х=О. Общее решение уравнения с постоянными коэффициентами (4.129) имеет вид Р Аеых + яьь»х о т (4.130) где бь (»з — корни характеристического уравнения; С помощью граничных условий определим неизвестные коэффи- циенты в каждой из рассматриваемых областей.
Заметим, что раз- мер зоны реакции Лх не может быть выбран произвольно. Он 221 или на теплоотвод излучением Я» К (Т4 Тс') Качественное влияние на решение членов кт и )с, одинаково, поэтому ограничимся рассмотрением члена Гтт, так как он позволяет получить аналитическое решение задачи, удобное для дальнейшего исследования. Полагая ). и с» постоянными и равнымп средним значениям, приведем уравнение (4.124) к виду связан со скоростью реакции и скоростью нормального горения соотношением (4,!27) м Лх= —, Оя~ау В области х<0 нз условий на бесконечности следует, что В =О.
При х=О имеем Т=Т., откуда следует А = Т, — Тм и решение при- нимает вид Т вЂ” Тз — (Тв То) ~ (4.132) В области х)Лх при х — «сс производная г(Т7г(х — О, следовательно, А=О. При х=Лх температура Т=Т., где ҄— некоторая неизвестная температура пламени. Отсюда В=(Т,— Т,)ем*а', поэтому То = (Т 7 о) ь ' (4. 133) В области 0<х<Лх решение (4.130) с учетом (4.127) может быть представлено в виде Т Тв=Аеь, +Ве"'-~- — Р (4. 134) агах Из условий непрерывности температуры Т и теплового потока МТ/дх в точках х=О, х=Лх получим четыре уравнения для определения неизвестных величин А, В, Т.
и пи Т,— Т,=А+В+ Агах ' Т Т Аеь~дх4 В ьм К Лх Кгах Ь, — ь,— (Т,— Т,) = — * (1 — е ). о, ' ' ь,— ь, В случае, когда отсутствуют потери (Кт=О), уравнение принимает вид (4.136) (4.136) е20 =1 — е г' (4.136а) где г=т ' гр к~~о безразмерная скорость горения; ср О, =- И (҄— Т,) — безразмерная температура воспламенения. 0р 222 Ь~ (7'~ — Та) = АЬз + ВЬа, Ьз (Т вЂ” Т,) = АЬ,е' ь + Вь е'з" (4.135) Система (4.135) должна быть дополнена соотношением (4.127)„ определяющим Лх. Исключив А, В и Т.
из системы (4.135), получим уравнение для определения массовой скорости нормального горения и, которое имеет вид Учитывая (4.131), запишем (4.136) в безразмерном виде — (1ьф'!.4[ х6, =- — 1 — . [1 — е ' ' ' ). (4.1377 ~/ 1-1-4— Зависимость между величинами г и О„задаваемая уравнениями (4.136), (4.137), изображена на рис. 4.19 для различных значений параметра к. Параметр к=Киса/си характеризует степень влияния потерь энергии в результате теплоотвода на скорость данной реакции. Значение х=О соответствует отсутствию потерь. Из графи- ' ка иа рис.
4.19 видно, что прн данном значении 6„ лежащем в физически реальной области 0(6,( 1, для х= 0 существует только одно положительное значение скорости горения г. При 6,) ! не существует действительных решений, так как эти значения 6, соответствуют температурам воспламенения, превышающим адиабатическую температуру пламени.
При х)0 уравнение (4.137):имеет два положительных решения при 0<6,< =0,„(х) <1 н нн одного действительного решения, если 6и=>6~си(к). При 6,)6,к горение распространяться не может Рис. 4.19 Рис. 4.20 При наличии потерь, когда 0 6,(6 „, могут существовать два значения скорости горения.
Решение, соответствующее большему значению скорости горения, отвечает устойчивому режиму (который обычно наблюдается в эксперименте); решение, соответствующее меньшему значению скорости горения, — неустойчивому [50]. Экспериментальное доказательство существования режимов, соответствующих меньшим скоростям горения, при некоторых специальных условиях получено в [51). На рис. 4.20 показаны распределения температуры, соответствующие двум скоростям нормального горения для значений О, = О. 3; х = О.! .
Рассмотрим приближение, учитывающее зависимость скорости реакции горения от температуры и концентрации [45 — 471. Ос- 22З новное предположение состоит в том, что быстрый по экспонен циальному закону Аррениуса рост скорости реакции с ростом температуры приводит к тому, что фактически реакция протекает в основном именно при высоких температурах вблизи Т, (см. рис. 4.18). Скорость нормального горения будет определяться именно наивысшей скоростью реакции при максимальных температурах. Чем,больше эта скорость, тем меньшее время пребывает смесь в зоне реакции. На участках же, где температура меньше (зона прогрева), реакция практически не успевает происходить и не вносит определяющего вклада в развитие процесса. Представление о том, что реакция в основном протекает при температуре, близкой к Т., позволяет также найти замкнутые аналитические выражения для скорости нормального горения. Если в зоне х)0, где происходит реакция, температура уже близка к температуре Т„, то энергия, выделяемая в процессе реакции, идет в основном не на разогрев газа в зоне реакции, а передается посредством теплопроводности к несгоревшему газу, подогревая его.
Вся область интегрирования для уравнения (4.124) разбивается на две зоны; 1. При х~0 (зона реакции) пренебрегается коивективиым членом (яс г)Т)г(х), но учитывается градиент потока тепла и энерговыделение при реакции — — Л вЂ” =м(7) /п,бтЯр (7) =Я(7). (4.138) Их дх П. При х(0 (зона прогрева; ТСТ„) пренебрегается энерговыделением, так как основная реакция протекает при 7) Т,: П4С вЂ” = — Л вЂ”, лт к лт (4. 139) рх Йх рх Предполагая коэффициент теплопроводностн Л постоянным в области х)0 и равным коэффициенту теплопроводности продуктов при Т=Т.
и обозначая оТ)йх=ф(7), получим из (4.138): — Лф'~р= Я(Т). (4.138а) Учитывая, что ф(Т,) =О, проинтегрируем (4.138а): Ф(7) — дт — 2 ( а (7) ДТ (4. 140) л,' г Тепловой поток на условной границе зоны реакции (х=О) определяется из (4.140) при Т= Т,. В силу экспоненциального убывания функции Я(Т) значение интеграла в (4.!40) мало зависит от нижнего предела интегрирования при Т .Т„поэтому теплопоток прн х=О равен 224 т, Л вЂ” ~ —... 2Л ~ Я(7) 67 м 2Л ~ Я(7) ЙТ, (4.141) т, о Из решения (4.139), предполагая с,=сонэ( равной средней тепло- емкости исходной смеси, получим Л вЂ” ! =, (Т,— Т,). о'Т да р=о (4.142) Так как величина Т, близка к Т., то в (4.142) можно заменить Т, на Т., тепловой поток при этом существенно не изменится.
Приравнивая тепловые потоки (4.141) и (4.142) при к=О, получим формулу для определения скорости горения: т„ 2Л ) Ц(Т) ЙТ т, ~т~ о, ~опт. ~о~~,— О о (4.143» Для полученного явного вида зависимости скорости горения от определяющих параметров зададим скорость реакции в виде ы (Т) = — ' р")'1е И1Лу где и — порядок реакции. Используя интегралы (4.118), можно скорость реакции записать в виде го (Т) =- — ьо 1 ' (Т,— Т) ~ е ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
