С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При рассмотрении уравнения ди д'и о! дк' мы будем обычно обозначать неизвестную температуру буквой и. Для простейшего уравнения теплопроводности мы ограничимся обсуждением следующих двух задач: Задача 1. Требуется найти ограниченное решение и(х, 1), непрерывное в области 1)0, удовлетворяющее уравнеиию теллопроводности при 1) 0 и равное заданной непрерывной ограниченной функции !р(х) лри 1=0. (Зта задача связана с распространением тепла в неограниченной среде.) Примечание. Вместо условия ограниченности Ч!(х) и и(х, !) могут быть наложены другие, менее ограничительные условия.
Об этом будет сказано позднее. 4»! уРАВнение теплопРОВОднОсти Задача 2. Найти в прямоугольной области А(х(В, 0<1( Т непрерывное вплоть до границы решение уравнения ди д»и д» дх» ' удовлетворяющее следующим граничным условиям: и(х, 0)=«р(х), А(х(В, и(А, Г) =фл(!), и (В, ») = »рв (Г). (Эта задача связана с распространением тепла в ограниченной области.) Мы предполагаем р (х), фл (!)»рв(!) непрерывными и, след вательно, ограниченными функциями на замкнутых отрезках А .=. х(В, О < ! ~ Т.
Предполагается также выполнение «условия согласования» <р (А) = »рл (0), «р (В) = фв (0). Иначе непрерывную сс(х, !) нельзя было бы построить. Под словами «решение, непрерывное вплоть до границы» мы здесь подразумеваем следующее. Функция и(х, !), непрерывная при А (х ( В, 0 ( ! ( Т, имеет в каждой «внутренней» точке (А <х(В, 0<((Т) первые и вторые производные, удовлетво- ди д»и ряющие равенству — =;. Выполнения этого равенства в точках границы и даже дифференцируемости и(х, !) в граничных точках (х=А, 0 -:»=-Т), (А(х(В, !=0), (х=В, 0(!(Т) мы не предполагаем. Исследование задач ! и 2 начнем с получения теоремы единственности, основанной на принципе максимума, который напоминает принцип макси»1ул»а для уравнения Лапласа.
Принцип максимума для уравнения теп лопроводности. Всякое решение уравнения »пеплопроводности в пря»юугольнике А < х ( В, Ю х 0 ( ! -=. Т, непрерывное вплоть до границьи при- Рис. 4. нимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижней или на боковых ево границах. На рис. 4 эти границы нарисованы двойной линией.
Обозначим через М максимум и(х, !) на всем нашем прямоугольнике, а через т — наибольшее значение и(х, 1) на двойной границе и предположим, что М)т. Пусть (х„(в) — та точка 2 С. К Годунов 34 сгл. с ВводиАя чАсть нашего прямоугольника (внутренняя или лежащая на его верхней ГраНИцЕ), дЛя КОтОрОй и(Х„»0) =М.
Рассмотрим вспомогательную функцию о (х ~с сс (х~ ~)+2 (и 4 (х АО) На «двойной» границе для о(х, с) выполнено неравенство о(х, с)==.и(х, г)+з и Ас( — А) =т+ ~ <М. С другой стороны, о (х„с«) = и (х„с«) = М, т. е. наибольшее значение о(х, () не меньше, чем М. Максимальное значение о (х, Е) принимается в некоторой точке (х„сс). Так как о(х„сс))М, а на «двойной» границе о(х, с)(М, то точка (х„сс) не может лежать на «двойной» границе. Если точка (х„сс) — внутренняя точка максимума, то в ней о,=О, о«=0, ох,<0 и, следовательно, о,— о,«--0.
Если же (х„с,) лежит на верхней границе прямоугольника, то о,) О, о, = О, ох, < 0 и, опять-таки, о, — о, ) О. Итак, мы показали, что если М = псах и (х, с) ) т, то существует точка (х„сс), ди д'и в которой о, — ох, ~ О. Однако, пользуясь тем, что о(х, ()=и(х, ()+ „,(х — х,)', мыбезтруда можем вычислить ос охх М вЂ” т о,— о = — (О. хх = (3 А)» Полученное противоречие показывает невозможность неравенства М)т. Теле салсым доказано неравенство и(х, с) <гпахсс(х, с) на «двойной» границе.
Принцип максилсума обоснован. Так как функция — и (х, т) тоже удовлетворяет уравнению теплопроводности, мы можем, применяя к ней принцип максимума, доказать еще и Принцип минимума. Наименьшее значение и(х, 1) обязательно принимается на «двойной» границе. Примечание. В доказательстве мы предполагаем дважды дифференцируемость и (х, с) во всех внутренних точках прямоугольника и на его верхней границе.
Достаточно предполагать наличие вторых производных во внутренних точках, а непрерывность и(х, с) вплоть до границ. В самом деле, из принципа лсаксимума и(х, () ~0<с<т-е<т в силу непрерывности и(х, () вытекает, что и(х, Т)=-т. уРАВнение теплопРОВОдности о 31 Из принципа максимума мы заключаем: тпах ~ и (х, 1) ! =- л<«<в о«<т (гпах) гпах 1и(х, 0) ~, шах 1и(А, 1) /, гпах /и(В, 1)/~ =О.
1л<«<в о<о<т о<о<т Ясно, что и (х, 1) = — 0 при А (х —.В, 0 ==1( Т, т. е. что в этом прямоугольнике и, (х, 1) = и, (х, 1). Единственность решения задачи 2 доказана. Доказательство единственности решения задачи 1 несколько сложней. Напомним постановку этой задачи. Задача 1. Найти непрерывную и ограниченнуло в полуплоскости 1~0, — ОО(х<+ОО, функцию и(х, 1), удовлетворяющую ди д'и при 1) О уравнению — = - —;, а при 1=0 начальному условию и (х, 0) = ор (х). Здесь оь (х) — произвольная ограниченная непрерывная функция х.
Ограниченность мы предполагаем заданной в форме неравенств / и (х, 1) 1< М, ! ор (х) / < М. Докажем теорему единственности для задачи 1. Рассмотрим ди доь некоторое частное решение о(х, 1) уравнения — = — „определяемое формулой о (х 1) = —; (х + 2«) Выполнение уравнения ренцированием: до дг проверяется непосредственным диффе. М дои 4 — = —, До дхо Объединяя прицип максимума с принципом минимума, получаем неравенство для ~и(х, 1) ~: ~и(х, 1) ~(шах(и(х, 1) ~ на «двойной» границе. Докажем теорему единственности решения задачи 2.
Пусть и,(х, 1), и,(х, 1) — два решения этой задачи. Тогда и (х, 1) = = и,(х, 1) — и,(х, 1) будет непрерывной функцией, у которой и(А, 1)=0 при 0(1(Т, и(х, 0)=0 при А(х(В, и(В, 1)=0 при 0(1(Т. Внутри прямоугольника А<х(В, 0(1<Т функция и(х, 1), очевидно, удовлетворяет уравнению теплопроводности вводнля члсть Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенствам: п(х, 0) = —,х')О, о (+ Е, 1) = —, (л.з+ 21) ) 2М. Если у задачи 1 есть два решения и,(х, У), и,(х, 8), то их разность и =и,— и, будет решением уравнения да д2ч дг дх2 ' удовлетворяющи м при 1) 0 неравенствам ( и (х, 1) ~ ( 2М, а при 1=0 обращающимся в нуль: и (х, 0) =О.
Из принципа максимума следует, что так как иа нижней (1=0) и боковых (х=+.Ц границах прямоугольника 0((~Т (Т произвольно), — 1.(х =Л разность о(х, () — и(х, Г) =-О, то это неравенство сохранится и внутри прямоугольника. (Разность о — и тоже удовлетворяет уравнению теплопроводностн). Итак, при — Ь(х(Т. мы доказали неравенство и (х, 1) ( —, (х'+ 21). Замечая, что функция й(х, 1) = — и(х, 1) удовлетворяет уравнению и неравенству й«2М, мы точно так же получаем, что — и (х, () =.
—; (х'+ 21) . Если два полученные неравенства объединить, то становится ясно, что ~ и (х, 1) ( ( —,- (х'+ 21) . Фиксировав точку (х, 1) (1)0) и выбирая различные 1., мы видим, что неравенство должно быть выполнено при всех достаточно больших С, а так как Е можно устремить к бесконечности, то отсюда следует равенство !и(х, Г) /=О, и,— и,=О при Г)0. Теорема единственности решения задачи 1 доказана. Мы сейчас ослабим ограничения на функции и(х, г), ~р(х) и покажем, что единственность имеет место и при ослабленных ограничениях.
Рассмотрим два решения и„(х, Г), и,(х, 1) уравнения теплопроводности, определенных в полуплоскости 1 ) О, непрерывных вплоть до 1=0, удовлетворяющих условиям и,(х, 0) ~р(х), и,(х, 0) ~р(х) 37 уРАВнение теплопРОаодности и неравенствам ! И1 (х, г) ! «- М И) еа ~к ~ / Иа (Х, 4) / ~ М (Е) Е'1 к !, где М(() — непрерывная монотонная функция 4. Она может как угодно быстро расти с ростом г. Мы докажем, что и,(х, ~) =на(х, 1).
Выделим произвольный конечный отрезок 0 ( 4 ~ Т времени и докажем совпадение и,(х, 1) = — иа(х, 4) для 1 из этого отрезка. Из произвольности Т будет следовать единственность решения во всей верхней полу- плоскости, Итак, пусть О -=.(( Т. Тогда (и4(х, () — иа(х, ~) ~( ~ и4(х, () ~+~ иа(х, () )~2М(() е'ы~=-М*е'~ Через М' мы здесь обозначили 2 шах М(4) =2М (Т). 4<4<2 Как обычно, заключаем, что функция и = и, — иа удовлетводи дки ряет уравнению — — —, =О, условию и (х, 0) =О, а по доказанному — еще и неравенству ~и(х, 1)(=:— .Мае'"1 (0(((Т). Будет доказано, что из этих условий вытекает равенство и(х, ()=О прн 0(1==.Т. Доказательство будет почти такое же, как и в предположении ограниченности и(х, 1), только мажорирующее решение нужно выбрать другим.
Положим о(х, ()=М" (еа" +е — аь) 2( „е4'*'. ,2а" да даа Легко проверить равенство — = —. В самом деле д4 дха' У и*( "+а-") „„+,.ч, м*(а'"+а-'") +4.* ()Е2ак+4аа4„( йа-2ак+4аа и, следовательно, достаточно убедиться в том, что функции — являются решениями. Зто легко получить дифференцированием: д . +за | (П2ЕХ2 +4аа Е~как+ка'. ~ГЛ.
2 вводнАя чАсть При (=О о(х, 0) >О=и(х, 0), при 0(8(Т 22ас + а — 2аа о (+А () ) М* (еаа+е — ае) + ) Маеав По предположению, и(+'Ь, ()~Мхе'ь. Из принципа максимума нетрудно теперь заключить, что при 0(г =.Т, — Ь =.х(Ь имеет место неравенство () Ма (вас+~ах) а +а енач Точно так же доказывается неравенство аааХ+ аа-аХ вЂ” и(х, 1)~М*(еаь+е — аь) +„е"'*'.
22аа Следовательно, ~и(х, () ~(Ма(е"-+е-'"-) +„е~ач. Фиксируем (х, О, а параметр 1. устремим к со. Правая часть неравенства стремится при этом к нулю. Значит, !и(х, ~) /(О, и(х, ()=О. Теорема единственности доказана. На самом деле неравенство , 'и (х, () ~ - М (() е'~ х~ может быть еще более ослаблено. Можно допустить еще больший рост и(х, () с ростом х. Однако существуют достаточно быстро растущие с ростом х решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющие при (=О нулевым начальным данным.
К сожалению, в нашем курсе мы не можем останавливаться на разборе соответствующих примеров. Сейчас мы распространим теорему единственности на решения с разрывными начальными данными Ч~(х). Для простоты ограничимся случаем, когда есть только одна точка разрыва Ч~ (х), а именно — точка х=О. При этом решение тоже нельзя будет считать непрерывным в точке х=О, (=О.
Во всех остальных точках мы его непрерывность будем предполагать. Если есть два решения и,(х, (), и,(х, 1) таких, что при хчьО и,(х, 0)=ч (х), то их разность и(х, ()=и,(х, () — и,(х, О будет непрерывной функцией всюду, за исключением, быть может, точки х=О, 2=0. При хФО функция и(х, 0)=0. Мы докажем, что если и(х, ~) ограничена в окрестности этой точки и не слишком быстро рас- 39 уРАВнение теплопРоводности в 21 тет при ~х)-х-оо, то и(х, О=О. Переходим к аккуратной формулировке: ди деи ПУсть Реаеенае и(х, О УРавнениЯ вЂ” — —,=0 удовлетворяет при 0 =((Т неравенству ~ ~а(х, 1) ~ (Маса~а! непрерывно при всех х и всех е )О, за исключением, быть может, точка х=О, ~=0.
Пусть и(х, 0)=0, если х~ О. При этих предположениях и(х, 1) = — 0 для 0(((Т. Д о к а э а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию ха ееаХ С е-еаХ ен+е),е— о(х, ()=М*(е'"+е — аь) „е""'+2М' 'е' е ееа р'1+в Она состоит из двух слагаемых, первое из которых Еаах+е еах Мх (еаь+е — аь) ' ееач ееаь в Р 2+в- р в ! пвн а(о+е>, е ~ $' 2 е 'и+е>)е нам уже встречалось. Оно удовлетворяет уравнению теплопроводности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
