С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В электростатике зарядам нужно приписывать знак — заряды одного знака отталкиваются, а разного знака — притягиваются. С законом электростатического взаимодействия — законом Кулона— связан электростатический потенциал, отличающийся от потенциала гравитационного только тем, что плотность р(а, Ь, с) может принимать как положительные, так и отрицательные значения (здесь это не плотность массы, а плотность заряда). Приступим к аккуратному доказательству справедливости уравнения Пуассона (1). Выражение для потенциала и (х, у, г) удобнее записать в виде и(х, у, г) = ' ' с(ааЬде, ) д 'г' (х — аР+(у — Ь)'+(г — с)' ГГГ ра,Ь,с где интегрирование распространено по всему пространству.
(Не надо забывать, что р(а, Ь, с) =О, если аз+ Ьз+сз) яя.) После замены переменных интегриРования: а — х=$, ь — у=ч, с — г=ь получим следующее представление для потенциала; и (х, у, г) = ~ ~ ~ 1 ( +~' У+ 1' +~) ИЬ ВЧ щ. ьгстз 1 из+ гтз [е ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ 1 До некоторых пор нас будут интересовать только х, р, г, лежащие в конечной части пространства ха+уз+ге()са. Так как р(х+з, у+а[, г+ь)=0 при (х+й)а+(д+й)а+(г+Ь)а))2а, то можно ограничить область интегрирования шаром 0 (йа+т[а-~-(а(()с+)Г)а=4)га4 йа) и записать и(х, у, г)=[ [ [ [ ' )' дадцдз.
'г' Р+ а[а+ ьа (2) д д„(р( +з у+а[, г+ЬН дх ) .1 ) )г'За+Ч +р д К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, заметив, что д д, (Р(+$ Р+Ч +1)! - + д ~ р(х+$, р+т[, г+~) ) )/$а+Ча+га да ( )Гр [,„а [ йа з р (х+з, у+а[, г+ь) (аьа+, а+та)ЗО и учитывая равенство нулю функции р(х+й, у+а[, г-[-г) на сфере ха+а)а '- + за=Ее, В результате получим ди )' (' (' й р(х+З, у+а[, г+С) д» д д д (~'~~' (3) О И нтегрирование по частям законно, так как интеграл (3) сходится.
Более того, этот интеграл сходится равномерно относительно параметров х, у, г, так как подынтегральная функция обладает интегрируемой мажорантой щах [р Ща + + Ч'+ ьа) Действительно, =4 ьаа [ а ( ьга — — 4лр* а =4лраБ. О Производные от подынтегральной функции по х, у или г также обладают интегрируемой мажорантой. Следовательно, вторые производные функции и (Интеграл (2) является несобственным, так как подынтегральная функция имеет особенность в начале координат. Этот интеграл сходится равномерно относительно параметров х, р, г ввиду того, что подынтегральная функция имеет а в й ° а-й а'ЭРТ7СР, а'- -)а): зад О Интегралы, полученные формальным дифференцированием интеграла (2) по параметрам х, у и г, также равномерно сходятся; следовательно, по известному правилу 17 ньютоновским потннцнлл 4 1! можно получить, дифференцируя правую часть равенства (3) под знаком интеграла.
Йтак, д„,-333 Р+ ° Р) д ,„, — !р(к+в у+Ч г+Ид'.дчдн =К о и аналогично Ч д дуг,),),) у+ я+р)згг (Р(к+в у+ч, г+д) ($ дч д~, Ч+ ) дЧ (е~+ +Р)зтз,)~ (Р (~+4 У+Ч +~)) 4 д)дг. г ) " " ' +Ч'+ *) - дг Складывая почлепно полученные рзвенства, можем записать дги дзи дзи дк' дуг дг' д д д 1 ('(' ( д$ 'д~+~ д~)(Р('+~ У+Ч '+Ь)) (йз + г + Ьгз)ЗГ2 В т) ".
(4) Лля вычисления интеграла в правой части удобно записать его в виде пов- торного интеграла ~ Д ) ... д5 ) дг, где 5 — сфера радиуса г с центром в пай (з, чапе коо 'але координат, а д5, †элеме плошади этой сферы. Заметим, далее, д , что производная по а р диусу — равна скалярному произведению градиента фу к- ции р, т. е. некто а ( —— р ~ ††, — , — и единичного вектора, направленного по Ч' радиусу, т. е. вектора (ргг, ч(г, (гг) (г=ргва+чз+ьг). следовательно, е —.— -(- Ч вЂ” -(- г — = г — —, др др др др и равенство (4) принимает вид д дги они д'и Г Г Г дг а з г Так к как элемент п лощади д5„=г дй, где д() †элеме площади единичной — 2 )в ВВоднАя чАсть )гл. г сферы Й, нлн элемент телесного угла, то + о'и ( ! ( ( др(х+4ог У+пот. 7+аког) дхо дуо дго,) ~,),) дг ))) окьог,~»- кьп дг ) ) (Р(х+$ос У+Ч ь, г+~оЬ) — Р(х+о О, У+Чав, г+ЬоО)! аа = — ) ) р(х, у, г) кИ= — 4лр(х, у, г). Равенство (1) докаэано для любого шара х'+уо+г'«кто, а следовательно, для любых х, у, 7.
В заключение этого параграфа докажем еще, что ньютоновский потенциал стремится к нулю при (х'+у'+г')- со. Более точно, мы докажем равенство !Нп )гх'+у'+г'и(х, у, г)=)')')р(а, Ь, с)с(ас(Ьс)с. к'эак.) к* о Запишеьг ньютоновский потенциал в виде и(0) = ~ ~~,(Р ) Л', 0(г(Р, 0)«Р), о где 0 — точка с координатами х, у, г, Р— точка с координатами а, Ь, с, Л'=сгак(Ьг(с, г(Р, 0) — расстояние между точками Р н гг. Пусть 0 — начало координат и г(0, Я) =) хг+уг+ге.
Тогда .(О, О) М)=~~~ о"" г(0, о) Так как ) г (О, Я) — г (Р, О) ) «г (О, Р) «Р, то г(0, Еи(Е= ~~~ р(Р) Л'+0( (о~,)1, о ))ш г(0, 0)и(0)=(((р(Р)Л, Подведем итог. Нами показано, что ньютоновский потенциал при непрерывно днфференцируемой плотности, отличной от нуля лишь внутри некоторой сферы, является решением уравнения Пуассона, которое стремится к нулю на бесконечности. В следующем параграфе мы покажем, что этими условиями он определяется однозначно. С этой точки зрения предложение 4 2] злдлчл дирихлв для иплвнания лапласа в книга 19 Лапласа заменить изучение интегралов изучением дифференциального уравнения, которому зти интегралы удовлетворяют, логически оправдано.
При проверке уравнения Пуассона мы предполагали, что плотность о(а, Ь, с) непрерывно дифференцируема во всех точках пространства. В действительности существенна лишь локальная гладкость плотности в окрестности той точки, где проверяется выполнение уравнения Пуассона. Зада ч а. Пусть плотность р(а, Ь, с) равна нулю вне некоторого шара и имеет непрерывные первые производные в окрестности точки (аэ, Ьэ, сэ). Тогда в окрестности этой точки ньютоновский потенциал с плотностью р удовлетворяет уравнению Пуассона (1). Отсюда, в частности, вытекает, что ньютоновский потенциал конечного тела постоянной плотности рэ удовлетворяет внутри д'и дэп д'и этого тела уравнению — + — + — = — 4прэ, а вне тела — уравнению дх' ду' дг' Лапласа.
ф 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге Принцип максимума для гармонических функций и теорема единственности для убывающего на бесконечности ньютоновского потенциэла. Понятие о логарифмнческом потенциале на плоскости. Аналитические н гармоничесиие функции двух переменных. Некоторые специальные решения уравнения Лапласа и эвристический вывод формулы Пуассона для определения гармонической в круге функции по ее граничным значениям. Различные варианты записи этой формулы н некоторые свойства ядра. Обосновэние формулы Пуассона для решения уравнения Лапласа.
Постановка задачи и теорема единственности решения задачи Лирихле. Существование решения вытекает из обоснования формулы Пуассона. Докажем одно важное свойство решений уравнения Лапласа дап , д'и д-'и ,„„, +,, + —,; =- О, которые называются гармоническими функциями. дхз ' дух дгз Теорема о максимуме и минимуме (принцип ь]акси мума). Гармоническая функция и(х, у, г), непрерывная на не]соторой замкнутой ограниченной области 6 =6ЦГ и имети(ая внутри этой области первые и вторые производные, не может внутри этой области принимать значения бблыиие, чем максимум ее значений на границе Г, и меныиие, челг минил]ум ее значений на Г. Обозначим через т максимум значений и(х, у, г) на Г и предположим, что максимальное значение и равно и(х„у„, г,)= =М) т. (Точка (х„у„г,) предполагается лежащей внутри 0.) Составим вспомогательную функцию о=и(х, у, г)+, [(х — х,)'+(у — уо) +(г га) 1 где й — диаметр области О.
Из неравенства (х — х,)'+ (у — у,)'+ (г — г,)' «й' 20 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ (гл. ! вытекает, что на Г о(х, у, г)~т+ „аи= 2 ~(М. В то же время (х„у„г,) = и (х„у„г,) = М. Отсюда следует, что максимум о(х, у, г) внутри О не меньше, чем М, а следовательно, больше, чем максимум о на Г. Этот максимум достигается, очевидно, в некоторой внутренней точке (х, у, г) области 6, В точке максимума, как известно, до до до доо дЪ д'о дх ду до ' дх' ' ду' ' дго -- = — - — = 0; — ( 0 - ( О, — ч- 0 а следовательно, д'о д'о д'о дх +ду+д ° ~0 Однако дчо доо дьу дои Уи дои ~ — т ( до до до ) дх' дуг дуо дх' ду' дг' 2д' (дхи ду' + дг' ( Х[(х — хо) +(У Уо) +(г — го)о]=0+ „, [2+2+2])О. Полученное противоречие показывает абсурдность предположения, что М)т.
Итак, мы доказали, что внутри О и(х, у, г)-=гпах и ~г. Для доказательства неравенства, ограничивающего и(х, у, г) снизу, и (х, у, г) =-- пп'и и ~г достаточно применить уже полученный результат к функции — и (х, у, г), очевидно, тоже являющейся гармонической. Тсорема о максимуме и минимуме доказана. В дальнейшем мы будем часто пользоваться теоремой о максимуме и минимуме для двумерных решений уравнения Лапласа: д'и (х, у) дои (х, у) дхч дуо Такие решения тоже называются гарлюничеекими функциями, Доказательство принципа максимума в двумерном случае пол- ностью аналогично доказательству, приведенному выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
