С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Формула для иозффициентов в разложении решения в ряд Фурье. Пример. ф 33. Самосопряжеииая система второго порядка....,,...,... Ее сведение и симметричной системе первого порядка. Эта система «онсервативна. «Книетнчесиая» и потенциальная» знергия для решений атой системы, собственные вентор-фуниции и собственные значения соответствующей краевой задачи для системы обыиновенных дифференциальных уравнен~!й.
Собственные функции ортогональны хаи в «потенциальной» метрние, таи и в кинетической». Формулы для приближенного решения задачи. Замечания о методе Ритца. Литература Предметный указатель 377 389 390 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга написана по курсу уравнений математической физики, многократно читавшемуся в Московском и Новосибирском университетах. Первое ее издание 111 выходило в 1972 году. Прн переработке изложения для второго издания я старался более подробно осветить смешанную задачу для симметрических гиперболических систем в многомерном случае. Этот вопрос, как мне кажется, удалось разобрать весьма элементарно, хотя н несколько громоздко. Чтобы облегчить читателю изучение, мелким шрифтом выделено изложение технических подробностей в доказательствах, которое при первом чтении может быть пропущено без ущерба для усвоения основной идеи.
Кроме того, я исключил главу о разностных схемах, так как в настоящее время относящиеся к этой теме вопросы подробно изучаются в соответствующих курсах. С. Годунов Глава 1 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ $1. Ньютоновский потенциал Курс уравнений с частными производными существенно отличается от курса обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что в этом курсе будут изучаться далеко не все уравнения, д д д которые можно выписать, используя значки дх ' ду ' дг ' д' и т. п.
Мы ограничимся только совсем немногочислендх дн ными конкретными примерами уравнений и систем: д'и д'и ди д«и д»и + — =О, — = — + —, дх' ду' ' дт дх» ду» ' ди ди — + — =О д) дх др , ди дг а дх — — +р сз — =О. Иногда будут рассматриваться также некоторые не слишком широкие их обобщения. Как правило, примеры, на изучении которых мы будем останавливаться, возникают в задачах математической физики, чаще всего — в области механики сплошных сред. Именно этим и объясняется название курса «уравнения математической физики». Ие надо думать, что изучаемые нами примеры случайны с точки зрения математической теории. Изучение уравнений математической физики привело к тому, что появилась классификация постановок задач, согласно которой выбранные нами уравнения и системы являются типичными представителями наиболеа важных классов.
Оказалось, что для уравнений, отличаю»пи'хся друг от друга на первый взгляд совсем несущественно, Несколько предварительных замечаний о характере уравнений, которые будут изучаться в курсе. Исторические замечания о работах Лапласа, приведших его к уравнению для потенциала тяготения. Потенциал непрерывного распределения масс (нли зарядов).
Его непрерывность и непрерывная дибхуеренцируемость. Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Убывание потенциала на бесконечности, Гв !гл [ вводнхя часть естественными будут совсем разные задачи. В качестве примера укажем на уравнения д»и д»и д'и д»и — + — =О и — — — =О, дх» ду» дх» ду» так похожие по записи, но принципиально отличные по свойствам. Во вводной части курса мы рассмотрим примеры некоторых важных задач, для которых решения удается выписать с помощью явных формул.
При этом мы, во-первых, приобретем некоторую ориентировку в вопросах, которые будем потом изучать, а, вовторых, заготовим элементы аппарата, нужного нам для построения теории. Первым уравнением, на котором мы остановимся, будет так называемое уравнение Лапласа д'и д'и д'и — + — + — =О, дх' ду' дх' и, чуть-чуть более общее, уравнение Пуассона д'-и д»и д'и Я сейчас расскажу, как в математической физике появилось уравнение Лапласа. Его появление на свет вызвано совсем нетривиальным ходом развития естественнонаучных идей. Неожиданный поворот мыслей Лапласа предопределил, как мне кажется, ряд важных соображений, следствием которых явились уравнения Максвелла для электромагнитного поля и, в настоящее время, уравнения полей, связанных с элементарными частицами.
Как известно, Кеплер, обрабатывая наблюдения Тихо Браге над движением планет, установил следующие три удивительных закона: 1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2. Радиус-вектор от Солнца до планеты заметает равные площади в равные интервалы времени. 3.
Квадраты времен обращения двух планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит. Законы эти, хотя и красивые, но довольно сложные. В дальнейшем Ньютон нашел для этих законов более простое, хотя и не менее удивительное, выражение, называемое законом всемирного тяготения: «Между любыми двумя телами действует сила притяжения, прямо пропорциональная их массам и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними». Законы Кеплера, закон Ньютона и связь между ними подробно изучаются в курсе механики.
Поэтому я ограничиваюсь только беглым напоминанием. )з ньютоновскии потенциал — 7 У(х — хо)о+ (у — уо)о+ (г — го)' Здесь у — некоторая постоянная, х„у„г,— координаты притягивающего тела, М вЂ” его масса. Чтобы вычислить компоненты Р„, г"„, г, силы тяготения, действующей на тело единичной массы, расположенное в точке с координатами х, у, г, надо положить ди ди ди дх ' ду ' ' дг ' Поле потенциала и полностью определяет векторное поле (Ро, Еи, Р,). В случае, если притягивающих тел несколько (тело массы М, располагается в точке (хь уи г,)), то силу можно вычислять по тем же формулам, если взять в качестве потенциала функцию м, и=-у ) (х — х,)о+(у — у )2+(г — го)о Лаплас предложил пользоваться при изучении тяготения не самой функцией и, а тем дифференциальным уравнением, которому эта функция удовлетворяет.
Это уравнение может быть получено следующим образом. Рассмотрим сначала только одно слагаемое в формуле для функции и, ! — у ) (х — хо)о+(у — у;)о+ (г — го)о и вычислим его производные. Для упрощения записи обозначим расстояние между точками (х, у, г) и (хь уь г;) посредством г = =-'у (х — х,)'+(у — у,)'+(г — г,)' и заметим, что дг х — х; х — х, дх У(х — х,)о-(-(у — уйо-)- (г — г;)о дг у-у, ду г дг г — го дг г Таким образом, производные дио х — хо ди; У вЂ” Уо дио г — го Вместо силы, притягивающей тело единичной массы к другому телу, можно рассмотреть потенциал этой силы: 14 (гл.
л ВводнАЯ ЧАсть Продифференцируем их еще раз: длил Г 1 —, =7Мл~~ — — + 3 д'и~ Г 1 =7м Г +з дуг ( гг дги~ Г 1 — =7М,~ — — + З дгл ( г (х — х~)л 1 с5 (у — ул)* 1 г )э (г — гл)' ~ сб ство дги дги дги — + — + — =0 дхг дуг дг' которое и называется уравнением Лапласа. Таким образом, Лаплас предложил отказаться от явной формулы для сил дальнодействия и заменить ее на дифференциальное уравнение для поля потенциала и. Можно считать, что дифференциальное уравнение описывает взаимодействие между соседними элементами поля и. Лапласу мы обязаны идеей введения уравнений для описания этого поля и, уравнений, которые действуют всюду вне тех точек, в которых сосредоточены сами притягивающие массы.
(В точках х =- хь у = уь г = г, мы не можем вычислять производные по приведенным выше формулам.) В дальнейшем нам придется иметь дело не с потенциалом точечных л1асс, а с полем тяготения, вызваннылг массой, распределенной по некоторому объему. Остановимся на таком объемном распределении масс с плотностью р=р(а, Ь, с) в точке х=а, у=Ь, г=с. Пусть р(а, Ь, с)=0 для всех точек, лежащих вне некоторого шара, то есть прн а'+Ьг+сг))лг. Разобьем этот шар на элементарные объемы со сторонами Ла, ЛЬ, Лс, в каждом из которых сосредоточена масса р(а, Ь, с) Лабдбс. Возбуждаемый этой массой потенциал силы тяготения принимает в точке (х, у, г) значение р(а, Ь, с) Аа аЬ ас 7' У(х — а)г-)-(у Ь)г+(г — сг) Суммарный потенциал и, учитывающий все элементарные объемы, будет равен Х р(а, Ь, с) па аЬ ас 7 Ьс(х — а)'-(- (у — Ь)г -)- (г — с)г Складывая эти три частные производные, получаем дги~ дги~ дли, — + — + — = О.
дхг дуг дгг Очевидно, что отсюда и из того, что и = '5, 'иь вытекает равен- л ньютоновскии потенциал Ф ормально переходя к пределу при неограниченном измельчении шара а'+ба+с' ( тсв, мы получаем представление потенциала в виде следующего интеграла: р (а. Ь, с) с(а аЬ Вс $ д, (х — а)з+(у — Ь)з+ (г — с)з ' который носит название объемного или ньютоновского погпвнциала.
Постоянную у мы„начиная с этой формулы, опускаем. Нетрудно, хотя и несколько громоздко, показывается, что если р(а, Ь, с) имеет непрерывные первые производные, то потенциал и(х, у, г) удовлетворяет так называемому уравнению Пуассона д'и д'и д'и дхз + д ' + д з = — 4ЛР (Х, У, г). (() Вне притягивающих масс, то есть там, где о=О, это уравнение совпадает с уравнением Лапласа.
Доказательство равенства (1) будет дано ниже, а сейчас заметим, что в задачах, связанных с законом всемирного тяготения, плотность о(а, Ь, с) ие может принимать отрицательных значений. Однако, как известно, есть еще одна область физики, в которой сила взаимодействия так же, как и в теории тяготения, описывается законом щгщз гз Зго — электростатика, а т„т, — заряды двух материальных точек. В электростатике для обозначения зарядов обычно применяются буквы в„ез, а не т„т,. Роль постоянной тяготения у выполняет е-', где е — диэлектрическая постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
