С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 2
Текст из файла (страница 2)
21! 6 18. Рззносгивя схема и основная теорема об оценке ее решений ..., 224 Описание разностной схемы н разностяых граннчных условий. Предположе. ння относительно начальных даннмх. Трн леммы об оценках раэностных решений. Этн оценки еналогкчны неравенствам, вытекающям нз ннтегралав ввергни Доказательство н формулнровка основной теоремы об оценке разяостных решенкй.
4 19. Оценки рззностных отношений и компактность приближенных решений . 24! Расширение разнастнмх уравнений. Первый шаг — включеоне уравнений для ревностных атношеня" по р н па ! н приведение граннчных уел нй у расшярення к днсснпатнвному виду. Начальные данные н нх распрастранепве на расширенную систему. Оценка квадратнчных сумм разностных отношений по у н по Г через начальные данные. Испальзаванне разнастных уравневнй для оценки сумм, содержащнх ревностные отношения по г. Уравнения я оценки для тзкнх отношеннй, памножсннмх на множятель, зннулнрующнйся вблнэя границ.
Исследование компактносгн сеточных функцнй, которая еле. дует яз всех полученных оценок. 9 20. Теорема существования решения смешанной задачи ....., ... Следствия на кампактностн сеточных функций а «арантере пределов нх падпоследовательностей. Выпалненне для этих пределов дифференциальных уравяеннй н граннчаых условий. Формулировка докааанной теоремы существова. нвя н зачечання а следствкяк нз ее доказательства. Формулировка теоремы существования в одномерном случае. Неравенства для решений в кх производных. Замечания к одномерной теореме существовання: П отказ от дксснпатнвнастн граннчных уславнй, й) случай коэффнцнентав, не завнсящнх от времени, 3) теорема существаваняя задачи Коши внутри характеркстнческаго треугольника 257 Глава Ш.
Уравнение Лапласа . 9 21 Свойства гармонических функций Инвврнантность уравяенкя Лапласа н ннтеграла Дярнхле атноснтельно кан. формнмх преобразований плоско«тк. Две теоремы о среднем арнфметкческом для гврмавяческях функций. Следствие — оценка гармонической функцкк 267 267 4 16. Теорема единственности и оценки решений в смешанной задаче 192 ОГЛАВЛЕНИЕ в центре «руга через интеграл ее квадРата. Из сходимостн последовательности гармонических функций в среднем вмтекает равномерная сходвмость в некоторой подобластя.
Решение задачи Дярихле в круге бесконечно дифферевцируемо во всех внутренних точках. Оценка его производных в центре круга. Теорема Гзрнака о равномерной сходнмости и о гармоничности пре. дела Сходямость производных во внутренних точках. Неравенство Гарнака для неотрицательных гармонических функций. Теорема Лвувилля Усилен. ный принцип максимума. Теорема о разрывной мвжораите.
Устранимые особенносги б 22. Ввриациоккый принцип дирихле Формула для вычнслеии» интеграла Дирикле гармонической в круге функцяи по коэффициентам Фурье граничных значений. Пример непрерывной в круге гармонической Функции, имеющей бесконечный интеграл Дирихле Неравен. ство для интегралов Дирихле двух функций, принимающих на ~раннце круга одинаковые значения, одна из которых гармоническая. Пример Адамара не.
прерывной на гравице круга функции, которая не может быть продолжена внутрь с конечным интегралом Диряхле. Вариационный подход я задаче Дирнхле Некоторые исторические замечания. Пример неразрешимой вариационной задачи. Единственность экстремальной функции. принцип дирнхле для яру~а н для простейших областей, полученных из него конформными пре.
образовапиямн 276 289 5 25. Некорректные задачи . Обсуждение возможности решения некорректных задач на примере задачи Коши для периодических решений уравнения Лапласа. Разложение этих Решений а ряд Фурье, Логарнфмически выпуилые функции н получение с их помощью неравенств для гармонических Функций. условная корректность а классе ограниченных Решений. Регуляризацня приближений для начальных данных я отыскание решения некорректной задачи, ограниченного извествой константой. 308 Глава ! ава !У.
Преобразование Лапласа и метод Фурье длк гиперболических систем ...., ..., ..., З Система обыкновенных дифгререициальиых уравнений ........ б 26. Си Из чение у ие фоРмул для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений е и постоянными коэффицнентвмв при помощи соображемий, которыа 320 320 б 23 Метод Шварца Альтернирующий метод Шварца доказазельства существования решения задачи Днрихле для составных областей. Критерий Шварца Формулировка теоремы и ее доказательство. Использование метода Шварца для обоснования ° рницнпа Днрихле.
Пример получения теоремы существования решения задачи Днрнхле я принципа Дирнхле в яеодносвязиом многоугольнние. Про. верка критерия Шварца с помощью геометрического условия луночка», Схема доказательства принципа Дирихле и разрешимости задачи дирихле для любых миогоугольных областей у 24 Задача Гильберта для уравнений Коши †Рима в круге ..... Постановка и примеры Индекс граничного условия. Нормировка грегуляризацня) граничного условии в задаче Гнльберта. Теорема существования решения э случае неотрицательного индекса граничного условия.
Исследование неединственности при положительном нлн нулевом индексе граничных усло«ип. Гдинствениость а условия разрешимости пря отрицательном индексе. Задача с косой производной н ее сведйние к задаче Гнльберта. Задача Ней. мана. Ипденс задачи и индекс граннчных условий.
Понятие об индексе для системы линейвых алгебраических уравнений. ОГЛАВЛЕНИЕ будут использоваться для обоснования метода Фурье. Интеграл Дюамеля и преобразование Лапласа Частотная характеристика Формулировка теоремы об обращении преобразования Лапласа и ее применение для представления решения в виде суммы экспонент б 27 Теорема об обращении преобразования Лапласа .
328 Формулировка теоремы об обращении преобразования Лапласа и ее обобщения на растущие (не слишком быстро) функции. Первые три леммы и вытекающие из них следствия приводят к важному тождеству с тригонометрическим интегралом. Обсуждается характер остаточного члена в этом тождестве. Окончание доказательства теоремы Описание постановки обратимых смешанных задач для гиперболической системы Существование решений и оценки для них изучались в ! 20. Преоб. разование Лапласа о((х, А) решения при достаточна больших Ие А.
Его аналитичность Обыкновенные дифференциальные урзвнення, которым она удовлетворяет. Оценки. Использование обратимости Изложение схемы дальней. щего изучения. Основаые свойства о.(х, А), которые будут обоснованы в сле. ! дующих параграфах, и получение с нх помощью формулы обращения, содер. жащей интеграл по замннутому контуру.
й 29. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений Асимптотические (по )Л формулы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с преобразованием Лапласа Зги формулы получаются нз явных представлений решений системы, содержащей два независимых уравнения Последующие леммы постепенно приводят к все более и более сложному характеру зацепления уравнений. 344 б ЗО. Собственные функции краевой задачи изучение в полосе )яех(<соим ан лнтическик функций от А, зависящих от параметра з. Этм функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным по х уравнениям н граничным условиям.
Вывод асимптотических формул решения краевой задачи из фарчул для решения задачи Коши, полученных в предыдущем параграфе Фуниция Р (А) Ее нули — собственные значения смстемы. Нулей Р ()Л вне полосы Яей (К иет. Аснмптатнка нулей Р(А). Аналитическое продолжение преобразования Лапласа решения гиперболической системы па всю комплексную пяоскасть с выколотычн полюсамн в ну. лях Р (А) 35! й 3!.
Полнота системы собствснных функций...,...,......., Напоминание доказанных в предыдуших параграфах фактов о свойствах о (х, М вЂ” аналитических функций ат Х и о приближенном представлении ! решения смешанной задачи контурным интегралом. Вычисление отдельнмх вычетов. Решение приближается суммой конечного числа *стоячих волн, Видоизменения в случае кратных полюсов. Замечание о возможности распространения теории на сгштемы, не приведенные к каноническому виду.
Теорема о полноте собственных функций. Примеры, показывающие существенность обратимости задачи для применимости метода Фурье 36! 4 32. Ряд Фурье для консервативной системы Консервативная гиперболическая задача для системы из двух уравнений. Интеграл энергия для вещественнмк и камплеисных решений. Комплексные евклидовы пространства, натянутые на собственные вектор-функции.
Унитарвость преобразования, связанного со сдвигом времеви. Свойства унитарных Збй б 28. Преобразование Лапласа для решений гиперболической системы 334 ОГЛДВЛЕНИЕ преобразований. Вывод из зтнх свойств ортогональности собственных фуцк. ций и доказательство тога, что Лй чиста мнимы Использование ортаганаль. ности при приближении начальных данных *стоячими волнами».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
