С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Легко убедиться, что и второе слагаемое при любом в)0 также удовлетворяет этому уравнению. Мы не будем проводить вычисле- р е г=г Р ннй, это доказывающих. Рассмотрим область Р2РРе Рв изображенную на рис. 5. Всюду на «двойной» границе (она Р ре (7е нарисована двойной лини- ре ей) о(х, ()) О. Это очевнд- р но. На (Рн Ре), (Р„Рв1 г Ее хе о (че 2*., 1) ) М*. Мы уже Рис. 5. проверяли, что такому неравенству удовлетворяет первое слагаемое. Второе слагаемое может это неравенство только усилить.
Покажем, что на Р,Р,РаР, также о(х, е)) Ма. Достаточно убедиться в том, что на этом контуре второе слагаемое больше, чем М*. Очевидно, что при в~1~0, (х((2в верны неравенства: ео В8ОДНАЯ ЧАСТЬ [ГЛ. 2 (последнее при е достаточно малом), ИтаК, ВСЮду На РТР,Р,Р,РАР,Р,Р, и (х, () ) и (х, г), и2 (х, () = о (х, () — и (х, () ) О.
дм дев Разность еа также удовлетворяет уравнению — — — = 0 и дг дхе следовательно, для нее справедлив принцип максимума. Из этого принципа вытекает, что всюду внутри замкнутого контура Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р, также еэ(х, Т)=п(х, 1) — и(х, О)О. Для доказательства достаточно область, ограниченную этим контуром, разрезать отрезками [е=е, — (.(х( — 2е), (е=е, 2е(х(Ь] на три прямоугольника ЯР2РАР4, РеРеРД; РДК Р„как это показано на рис. 5, а затем, последовательно, воспользоваться для каждого из них принципом максимума. Итак, при — Ь ( х ~ Л, е ( ( ( Т имеет неравенство еааХ ( е-еаХ вЂ” е а И-~-е) и (х, 1) ( Ма (еае+е — ае) — еаач+ 2Ма )Г е, = о (х, ().
2ае Аналогичным рассуждением получаем — и(х, ()(п(х, 1) и, следовательно, х' ~и(х, Г) ~(М*(еаь+е '") е'ач+2М* рее 2ае р' е.+ е Фиксируя точку (х, () и устремляя Е к бесконечности, а е к нулю, приходим к утверждению )и(х, () ((О, и(х, () =О. Доказательство этим завершено. Можно было бы доказать, не привлекая никаких новых идей, подобную теорему единственности в случае, если допускать у ре- 4 41 уРАВнение теплОпРОВОднОсти (ПРОдолжение) 41 щения и(х, () при (=0 не одну точку разрыва, а любое конеч.
ное их число. Более того, можно предположить, что их бесконечное число, но расстояние между двумя соседними точками разрыва ограничено снизу. Задача. Докажите, что ограниченное решение уравнения теплопроводди д»и ности — — — =О, непрерывное всюду в прямоугольнике А ( к~В, 0 (1( д1 дх» ~ Т, кроме, быть может, угловых точек (х=А, (=О), (х=В, 1 0), однозначно определяется начальными и граничными условиямн и(х, 0)=ф(х), и(А, т)=ф»(т), и(В, »)=фл(т).
мы здесь уже не предполагаем начальные и граничные условия есогласованными» в углах. Можно также допустить конечное число точек разрыва у фл, фя(1) и соответственно у решения и(х, 4) при х=А, х=В. На этом мы заканчиваем доказательство теорем единственности и в следующем параграфе перейдем к теореме существования решения. й 4. Уравнение теплопроводности (продолжение) Формула Пуассона для уравнения теплопроводности и ее обоснование. Решение с помощью интеграла Пуассона простейшей задзчи для уравнения теплопроводностн на конечном отрезке.
Решеяие смешанной задачи. Нестрогий зврнстический вывод интегральной формулы для решения уравнения теплопроводности. Примеры частных решений линейного и нелинейного уравнений теплопроводности. Покажем, что решение задачи 1 из З 3 дается формулой + о» 1» — М' — 4, 4(В г р(Ц вЂ” =„ 2рп уз Если мы дадим ее обоснование, то тем самым и докажем теорему существования.
Как можно придумать эту формулу (она называется интегралом Пуассона для уравнения теплопроводности), мы сейчас объяснять не будем. Это объяснение будет дано позднее. А сейчас проведем аккуратное исследование формулы Пуассона, не интересуясь тем, как она была получена. Итак, мы приступаем к исследованию функции и(х, (). Свойство 1. Если ~ ср($) ~(Ме'~М, то интеграл (1) сходитнся, а функция и(х, 4) удовлетворяет неравенству (и(х, ()((2Ме"те 1"1, 42 )гл т вводнля члсть Доказательство вытекает из следующей цепочки неравенств и равенств: ма )ы )и(х, !)~( ! =е " с$( и;).
~+.,: —.) +ко 4 оа + оа енаа к С Маа к' ) Е Н* Ьтп 'ГУС)т)= 2 ~ Е-ча4аН'Г ' дт) = !/я и )кп .)- со Л)на~к! ' 24)атака ~к~ 2е'ч ') е — )н- тк')адт)( ~ е — рд~= 2Л)гапка~к~ )ккп = 2Меччеа~к) Свойство 1 тем самым доказано. Свойство 2, При ))О функция и(х, !) бесконечно дифференцируелта, а ее производные могут быть вычислены при помощи следующего сходящегося интегр ла: +со г джеки (х )) 1 д~'" дха~д)а 2)' и ч~ дхкад)а~ )к ) Мы опять предполагаем, что (ер(З) ~ (Ме"-~. Доказательство.
Легко убедиться в том, что )к — Ыа ) (к — Ыа — =-е " ~=р(1),~ ' ' е 4' да'еа ~ ~р (с) — 1 Г Ч1 полннон от (х — й) 1 дхт д)а ~ У' ) ~ ~ степень ) конечная ~к — Ы =срЯРЯ, х, !)е Выберем некоторый произвольный интервал времени О(!о~!( (1т и отрезок — ха(х,'<ха оси х. Для точек (х, !) из области !а(!()и — ха(х(х, выражение для Р Д, х, !) может быть оценено так: ! Р (с, х, !) ~ ( сопя! ! $ )и ( сопз! е'4) .
(Через р мы обозначили наивысшую степень (х — $), входящую в выражение для Р(з, х, !).) Следовательно, мы можем написать ! сР ($) Р (З, х, !) / ( У (х„1„!т) ем+ ') ~ 4) . 4 4) вглвнвнив твплопговодности (пиодолжвнив) 43 Из этого неравенства вытекает, что интеграл 1 +»о дх»хи (х — »)* '1 =- р(Б) ~=~ "' ~дБ= 2Р и .) дхх»д(л Рх( ! "Р (х — !)» = ) (Р!В) Р(2, х, !)е " (!й 2 Р( п равномерно сходится для — х,(х(+х„1, =. ! ==. !(. По известной теореме анализа о дифференцировании несобственных интегралов по параметру отсюда вытекает справедливость равенства д~"хи (х, () 1 +о» диэх Г (х — !)' ) дхт д(х 21~' и д дхх» д(х~ у" ( В силу произвольности х„(„г( это равенство верно во всех внутренних точках верхней полуплоскости !)О. Свойство 2 доказано. Свойство 3.
Функция и(х, !) удовлетворяет при !)О уравди д'и нению — — — = О. д( дх» Доказательство. По свойству 2 ди д'и ! 1 . (('д Ф~ 1 — (, +О» (х — М' 1 д( дх» 2 Р' и д 1',д( дх»,) Р' ( Остается лишь проверить прямым дифференцированием равенство д д») ! — — — — е " =О. ,д( дх»~ Р ( Этой проверкой н завершается доказательство свойства 3. Функцию (р($), удовлетворяющую неравенству ((р(р)) - Ме')!(, мы будем предполагать кусочно непрерывной. Сейчас будет доказано Свойство 4. Если (р($) непрерывна в точке х„то функция и(х, !) непрерывна в точке (х„, 0), при этом 1пп и (х, !) = (р (х,).
о х х, Для доказательства сделаем замену в интеграле Пуассона, положив ==~. Тогда и(х, !)== ~ е — !'(р(я+2ь Рх!)((ь $ — х 2У( ' ' Уи Этот интеграл сходится равномерно относительно х и ! для огра- !Тл 1 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ниченных значений этих перел4енных. Действительно, для, х ! < <)с, 0(!<!м подынтегральная функция имеет интегрируемую мажоранту Ме-с*+Он+ТО"' !сц Далее, на любом ограниченном отрезке ! ь ~ ~ Ф подынтегральная функция стремится при х- х„(- 0 к функции е — Мвр(х,) равномерно относительно ~.
Это свойство вытекает из непрерывности функции 4р(х) в точке х,. По известной теореме о переходе к пределу под знаком несобственного интеграла отсюда вытекает, что + СО 1!Тп и(х, !) == ~ е Р4р(хв) 4!э= 4р(х). к кв 1 4 О СО Подведем итог. Мы показали, что функция, определенная равенством + СО 4к — Мв и(х, !) == 1 ср($)е м сХ~ 2'Гкки О является при ! 0 любое число раз дифференцируемым решением уравнения теплопроводности, если 4с (З) — кусочно непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству ! 4р (р ! Мек! Ы. Это решение оценивается так: !и(х, !) ! <2Ме"'е"кц И наконец, !!ш и(х, !)=ф(х,), если точка х, лежит внутри нек-.к, 4-а которого отрезка непрерывности 4р(х).
Формула для и (х, !), очевидно, дает решение задачи 1. Теорема существования тем самым доказана. Отметим еще одно полезное свойство интеграла (1). Свойство 5. Луста функция Ори) удовлетворяет неравенству ! вр($) ! <Ме" Ы и, кроме того, 4р(О) =0 для А <$< В. Тогда в точках интервала А <х<В, 1=0 функция и(х, !) равно нулю вместе с любыми производными по х и !. Доказательство свойства 5 довольно легко вытекает из явного вида интеграла Пуассона, и мы не будем приводить это доказательство. Покажем теперь, как с помощью интеграла Пуассона можно решить в некоторых простых случаях задачу 2.
Для этого рассмотрим нечетную функцию вр ($): ф6) = — р( — $). 4 41 УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ] 45 В этом случае формулу для и (х, () можно переписать так: (4 — ЕМ о (4+(4 П' и(х, 8)== [ ф($)е 4( 4(З вЂ” [ ф(($()е 4' Щ. 21'и( / 2Р'и( д Отсюда и(0, () =О, и(х, 1) = — и ( — х, 1). Например, можно взять в качестве ф(З) функцию з(дп$, раз. рывную при 5=0.
Для 1)0 соответствующее решение будет уже непрерывным. График и(х, (() этого решения изображен для нескольких последовательных времен 1,=0, 1,>0, 4,>(о 4,>(, на рис. 6. Ясно, что если (р (з) и(й) Ю антисимметрична не относительно точки 5 = О, а относительно 5 = А, то и решение и(х, 1) будет антисимметричным относительно 5 =А. Иными сло. вами, если ф(А+5)+ф(А — $) =О, то и(А+х, 1)+ + и(А — х, 1) =О.
Пусть теперь (р ($) задана нам только на отрезке А (~(В. Продолжим ее на всю прямую следующим образом: (р (5) = — (р [2 — $ + 2п ( — А)), если А+(2п+1) ( — А) (2( В+(2п+!) ( — А), (р Д) =(р [$ — 2п ( — А)), если А + 2п ( — А) с $ < В+ 2п ( — А). Вся прямая разбивается при этом на примыкающие друг к другу равные отрезки длины  — А каждый, а функция (р (5) оказывается антисимметричной относительно каждого из концов этих отрезков. В частности, (р(А+$)+ф (А — $) =О, (р(В+в)+(р( — $) =О. Решение и(х, 1), построенное по так продолженной функции ф($) с помощью интеграла Пуассона, будет при 1 ) 0 непрерывной функцией, обращающейся в нуль при х= А и при х= В и(А, 1)=0, и(В, 1)=0. Если первоначальная функция ф($) обращалась в нуль при $= А и при $=В, то и(х, () будет непрерывной всюду при (>О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
