С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Приступаем к обоснованию формулы Пуассона. Проверим, что ( яг — хг — уг 1(О) сИ 2я,) йг — 2)! (х сог Э+у Мп 0)+хг+уг' ' ' г гармонична при х' +у' ( )сг. В самом деле, подынтегральная функция — непрерывная и, более того, аналитическая функция переменных х и у, если только хг+уг()сг. Следовательно, функция и (х, у) непрерывна внутри круга, и законно формальное дифференцирование интеграла. Воспользовавшись представлением (1), имеем так как действительная часть аналитической функции гсе'о)1)те'а— — (х+(у)) является гармонической внутри круга функцией.
Докажем теперь, что при непрерывной Г(О) функция и(х, у) непрерывна вплоть до границы круга и принимает там значения ! (О): и ()с соэ О, Й э(п О) = ! (О). Для доказательства представим разность и (х, у) — ! (а) = и Я) — ! (а) Ь 9! злдлчл дирыхлв для лрлвнвния ллпллсл в крита 27 в следующем виде: и (9,)) — 1(а) = 1(0) с(0 — 1(а) — 9 с(0 = 2л,) Кь — 2йрсоь( — в)+рь' ' ' ' ' ' 2л,)йь — 2йрсоь( — в)+рь ! ь" 2л ) ль — 2)ср соь ( — в)+р'91( ) ь ! (' оь рь 2л ) И' — 2йрсоь( — в)+р'91( ) 1( )ь + !Ь вЂ” а~аб р оь рь + 2л ) й 2Ррсоь(В „)+р У(0) — 1(а)~'(0=~ +(ь. ~ 9 — а'%б 3десь мы воспользовались соотношением (3) и обозначениями х =- р соз со, у = р ь )и в координат точки ф Оценим по отдельности каждый из интегралов /ь и 19.
Так как 1(0) — непрерывная функция, то по произвольному е)0 можно выбрать 6(е) ) 0 такое, что )1(0) — 1(а); (- при ~ 0 — а( <б. В силу соотношений (2) и (3) получаем оценку первого из интегралов:,' 19 ) ( . фиксируем выбранное б) 0 и приступим к оценке интеграла Уь. Ввиду того, что функция 1(0) ограничена (,1(0) ' (М) имеем ~1,,!=-йь — Р'М ~ ИВ .) Йь — 2йр соь ( — в) .! р 9 — а )б Обозначим посредством (~9 точку с координатами й соза, Рь)па, а посредством Р— точку с координатами й соз0, )ьь ь(п 0 для тех 0, для которых ~ 0 — а ~ ==- б.
Расстояние между точками Ць и Р больше положительной постоянной (=2)с ь)п — (рис. 3). Так как 0 2 знаменатель подынтегрального выражения равен г'Щ„Р) — квадрату расстояния между точками !„)9 и Р, то для всех точек (~, отстоящих от Я, меньше, чем на !)2, г'(Р, Е) ((/2)' и, следовательно, для этих точек ь)В 2л ал Яь — 2)ьр Мл ( — в)+рь ! ь )ь < —. ~9 — а~ >б 2 Лля таких точек 28 ВводнАя чАсть 1гл. 1 Так как Р— р не превышает расстояния между точками Я и Я„ то для точек Я из круга, отстоящих от Я, меньше, чем на б, (е) = е и 1 6(е) 12 ' 2 1бйМ)' 2 = ппп~ —, — — 1, где 1=2Рз(п —, справедливы оба неравенства ! 1, ( ( еу2, ! га ~ < е/2. Следовательно, для этих точек ' и (Я) — 1 (а) / .. е.
Таким образом, и(х, у) будет непрерывна в точке х=Р сои а, у=Рз(па, если ее доопределить в этой точке значением 1(а). Непрерывность и(х, у) внутри круга была мл доказана раньше. ф Тем самым мы показали, что можно внутри круга построить такую непрерывную вплоть до границы гармоническую функцию, чтобы на границе она принир мала заданные непрерывные значения. 3адача восстановления непрерывной гармонической Функции по ее граничным значениям на границе некоторой ограниченной области называется задачей Дирихле.
Докажем единственность решения такой задачи. Пусть у нее оказалось два решения и,(х, у), и,(х, у). Тогда их разность тоже будет непрерывной и гармонической и будет обращаться на границе в нуль. По принципу максимума О = шгп и =- и (х, у) = пзах и = О. Г г Следовательно, и (х, у) = и„— и, = О. Единственность доказана. Для произвольной области разрешимости задачи Дирихле может и не быть. Изучением условий разрешимости задачи Дирихле мы будем заниматься в главе 111. А пока в следующем параграфе рассмотрим некоторый класс задач математической физики, связанный, например, с процессами теплопроводности.
В частности, так появится еще один пример физически осмысленной задачи, которая приводится к задаче Дирихле. й 3, Уравнение теплопроводности Вывод уравнения теплопроводности. Задача мириаде как задача определсния стационарного распределения температуры по заданной температуре границы области. Постановка задач для олномерного уравнения теплопроводности. Принцип максимума для етого уравнения. Теореьгы единственности задач ! и 2 для уравнения теплопроводности при различных предположениях о решении и о начальной функции.
Кратко наметим вывод уравнения теплопроводности из физических соображений, Среда, в которой мы будем рассматривать уялвнение теплОпРОВОднОсти о з| процессы теплопередачи, должна характеризоваться так называемым калорическим уравнением состояния Е=Е(Т), плотностью р=р(х, у, г) и коэффициентом теплопроводности К=К(х, у, г). Здесь Т вЂ” температура, Е(Т) — внутренняя энергия тела, заключенная в единице массы, если эта масса нагрета до температуры Т. Можно рассматривать среду с тепловыми свойствами, меняющимися от одной точки пространства к другой.
В этом случае уравнение состояния имеет более общий вид Е =Е (х, у, г, Т). Количество тепла, заключенное в бесконечно малом объеме дх Ьх Хо о ~х Хо+о ау ау Уа о ~ У ~ Уо+ о аг аг о г ~ о+ о в момент времени / равно Р (хо Уо, го) Е (хо, Уо, го, Т (/)) Лх Лу Лг. Изменение этого количества тепла за время Л/ будет равно ( Уо» )Л/ЛхЛУЛг Зто изменение может произойти только за счет того, что тепло вытекает или втекает через границу выделенного нами объема, если мы предполагаем, что никакого выделения нли поглощения энергии не происходит. Количество тепла, протекающего через площадку ЛЕ за время Л/, равно К вЂ” Л( ЛЯ. Здесь К вЂ” коэффициент теплопроводности в точке, через которую дТ мы провели нашу бесконечно малую площадку, а — — производ.
дл ная температуры по нормали к площадке. Тепло течет из области более высоких температур в область более низких. Такова фор- мулировка закона теплопроводности Ньютона в изотропном теле. Этот закон является результатом систематизации большого коли- чества опытных фактов. Выпишем потоки через площадки х=х, ~- Лх/2, у = у,.+. Лу/2, а=го + Лг/2, Ограничивающие наш объем.
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ИГЛ 1 Количество тепла, втеиающее через плошадку х=хо+Лхд'2, равно +К(хо+ 2 Уо го) ах Л1 ЛуЛг, х=кд+Ькп О = Од к=гд а через плошадку х = х, — Лх!2 — К(хо 2 Уо го) а Ж Лу Лг. к = к, — Ьх!о дг = о В результате общее количество тепла, вошедшее в наш объем через эти две площадки, будет к = х„+ Ьк!г Д=- Од г=г, к = х, — ЬкОд о=о г=-гд [д( дгд д =.г к= г г=г, ЛхЛ~ЛуЛ . Аналогично количество тепла, которое за время Л~ просочится в наш объем через площадки у=у,-+ Лу/2, г =го-т Лг/2, равно, соответственно, ~а (Ка )1 = ЛхЛуЛгЛ а = г* г=г, ~а (КГ)1 о г г=г, ~а — (Ка — )+ — (Ка — )+ (Ка )1 ЛхЛУЛгЛт= к=о г=г, Суммируя все притоки тепла и приравнивая их сумму изменению внутренней энергии, получаем уРАВнение теплопРОВОдности Сокращая обе части этого равенства на бхбуЛгЖ и замечая, что точка (х„у„г,) может быть выбрана произвольно (поэтому индекс нуль может быть опущен), мы приходим к окончательной форме уравнения теплопроводности Предположения про входящие в него функции следующие: р)О,,— „)О, К~О.
Эти предположения представляют собой обобщение опытных фактов. Иногда уравнение теплопроводности записывают в виде дЕ обозначив через С(х, у, г, Т) выражение р —. Величина С по вполне понятным причинам называется теплсемкостью (единицы объема), Если теплоемкость С и коэффициент теплопроводности К не зависят от Т, х, у, г, т. е. являются постоянными, уравнение может быть переписано так: Коэффициент — принято называть коэ4$ичиентом температуро- К лроводности.
Интересно рассмотреть случай стационарного распределения !дТ температуры ( — = 0). Мы видим, что если К=сопз1, то стацно- (, дТ парное распределение температуры описываетая решением Т(х, у, г) уравнения Лапласа: д'Т д'Т д'Т дх' ду". дгх — + — „+ — = О. Задача Дирихле для этого уравнения состоит в отыскании распределения температуры внутри некоторого тела по известным значениям Т на границе. Если область представляет собой высокий круговой цилиндр с образующими, параллельными оси г, и вдоль каждой такой граничной образующей температура постоянна, то можно предполагать, что распределение температуры вблизи среднего горизонтального сечения цилиндра почти не зависит от г и Аюжет быть 32 ВВоднАЯ чАсть описано в виде решения Т=Т(х, у) уравнения Лапласа —,+ дчт д'Т + —, = О. Зная температуру на образующих цилиндра, Т()с сов В, )с'з!пй), мы можем по формуле Пуассона определить Т(х, у) внутри цилиндра, т.
е. внутри круга на плоскости переменных х, у. Если область — узкий слой между близкими плоскостями, на которых поддерживается постоянная температура (на каждой плоскости слоя), то распределение Т(х) температур (стационарное) между плоскостями х=х„х=х, удовлетворяет уравнению вт — = О. Ы Общее решение этого обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид Т=Ь,х+Ь,. Постоянные Ь„Ь, должны быть определены из граничных условий — температур на граничных плоскостях. После этого определения получим При изучении нестацнонарного уравнения теплопроводности мы в дальнейшем ограничимся только одномерным случаем и постоянными коэффициентами К, С и Кв!т ду С дд' Изменением масштаба по осн х можно добиться равенства К!С=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
