С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Докажем теперь, что ньютоновский потенциал — единственное решение уравнения Пуассона дои дои дои д о + д —, + дгу —— — 4ПР (Х, У, г), стремящееся к нулю на бесконечности. э н ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАЕНЕНИЯ ЛАПЛАСА Е КРУГЕ 21 Действительно, если и,(х, у, г) и и,(х, у, г) — два решения этого уравнения, стремящиеся к нулю при х'+у'+г'-Рсо, то их разность также стремится к нулю и удовлетворяет однородному уравнению — уравнению Лапласа: дРи Гни д'и дх' дуэ дР— + — + — =О (и=и,— и). А. Теперь достаточно применить принцип максимума к функции и в шаре радиуса )т' с центром в начале координат.
Получаем, что ~и(х„, у„г,)~( гпах»и(х, у, г)! и*+ У*+ М = Я* Из этих уравнений вытекает, что дРи Уи д /ди ди 1 дхт ду"- дх (дх ду ! д"-Р д'Р д (ди ди ! дх' ду~ дх(ду + дх/ д (ди ду (дх Закономерность этих выкладок обосновывается тем, что и+и, как известно, является бесконечно дифференцируемой функцией от х+(у, откуда с помощью уравнений Коши — Римана нетрудно обосновать существование и непрерывность вторых производных оти,ш В частности, из того, что 1п (х+(у) = !п)/ х'+у'+(Агс1я —" является аналитической функцией при х'+у') О, следует гармоничность функций 1П)ГХА+уи= — !и, АГС1й у.
1 )' х'+у' х Первая из этих функций играет в двумерном случае роль, аналогичную функции 11)ГГ(х — х„)'+ (у — у,)'+ (г — г,)' в трехмер- для любой точки (х„у,, г,), лежащей внутри шара. Фиксировав точку (х„у„г,) и устремляя )с к бесконечности, приходим к равенству и(х„у„г,) =О. В нашем курсе мы будем изучать уравнение Лапласа только в двумерном случае. Гармонические функции двух независимых переменных встречаются в теории функций комплексного переменного. Известно, что аналитическая функция и+1е от х-»- (у удовлетворяет уравнениям Коши — Римана ди ди ди ди — — — =О, — + --=О. дх ду ' ду дх 22 1гл. ! ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ном случае.
А именно: функция 1 и(х, у)=~ 1)р(а, Ь) !и - ь(аь(Ь, называемая лоеариьумыческим потенциалом, удовлетворяет уравнению 0»и 0»~ 0 з + 0 г —— — 2ЯР (Х, У), если р (а, Ь) — гладкая функция, отличная от нуля только в конечной области. Доказательство мы проводить не будем. Отметим только, что оно аналогично разобранному нами трехмерному варианту исследования ньютоновского потенциала. Правда, логарифмический потенциал, распределенный в конечной двумерной области, уже не будет стремиться к нулю при х' +уг-ь.со, так как 1 !п при этом растет. Но это отличие несущественно У'( — п)г+ (у — ЬР для доказательства сформулированного факта.
! Зада ч а. Покажите, что функция 1п может быть полу. ! (х — а)'+(у — Ь)' чена из решения трехмерного уравнения Лапласа !ь)»(х — а)'+(у — Ь)з+(г — с)а при помощи следующей процедуры: -1- ь ! ( ~ ььс 1п =,.(, ~ — 1п 20 рс(х — а)а — (у — Ь)' ь. о» '( 2 1 (х — о)'-1- (у — Ь)е+(г — с)' Выра»кение, стоящее в скобках правой части, является потенциалом одномерного распределения зарядов вдоль отрезка оси г длиной 2ь. Так как потен. пиал силового поля определен с точностью до постоянного слагаемого, то мы вольны выбирать его произвольно.
Вычитание большой постоянной 1п 21 перед переходом к пределу обеспечивает конечность этого предела. Вторая из этих функций АТС1й — понадобится нам для решеу ния следующей задачи: восстановить гармоническую функцию в круге хе+уз()(а по ее значениям на границе круга. Решение такой задачи дается формулой Пуассона гп И вЂ” хе — у' у) 2п,) ' ' ' йз — 2Ы(хсозэ+уз(па)+х'+уг ь(0, е которая читателям должна быть известна из курса теории функ- ций комплексного переменного. В этой формуле и(х, у) — интере- сующая нас гармоническая функция, непрерывная в замкнутом круге, а у(0)=и()хсоэ0, )ха(п0) задает ее граничные значения. Мы приведем сейчас для полноты изложения еще один вывод формулы Пуассона, не слишком короткий, но, как кажется автору, очень наглядный, О з! елдлчл дирикле для уравнения лапласа в круге 2З Функция 1р(х, у)=Агс(я Уз — Агс1д У х — х, х — х, является гармонической.
Она представляет собой угол, под которым виден нз точки (х, у) отрезок, соединяющий (хп у,) с (хэ, у,). Иэ элементарной геометрии известно, что 1р (х, у) постоянна вдоль окружностей, проходящих через концы этого отрезка. Такие окружности являются линиями уровня 1р (х, у). Они изображены на рис. !. Положим, тепеРь х,=Лсоз0,, У,=Ля!П01, хз — — Лсозвэ Уз=Ля(пвз гДе 0<61<вз~2П, и рассмотрим как ведет себя гармоническая функция у — Л з1п Оз у — Л 3!и 61' гр(х, у, 8п 6,) =Агс1д — Агс12 х — Л соз О, х — Л соз 6, внутри круга () (х'+уз(Л') и на его границе.
Ветви Агс12 выберем так, чтобы внутри круга 10(х, у, 8,, О,] равнялась углу между лучами РА и РВ, Рис. 2. Рис. !. где Р— точка (х, у), А — точка (Л сов О,, Л ап 6,) и  — точка (Л соева, Л мп 81). В частности, в центре круга / — Л з!п 01) / — лапе,' 10(0, О, 8п 8,)=Асс(й( — ) — Агс1Е ~ )=6,— Ое (, — Л соз О,) ~ — Л вЂ” О,) Теперь давайте перемещать точку (х, у) внутри круга. Из рис. 2 видно, как будет деформироваться угол гр(х, у, О,, 8,) при перемещении точки Р(х, у).
6 — В в,— в, На дуге АС'В он равен —, на дуге АСВ этот угол равен и+ 2 2 Рассмотрим функцию 1( в — в;) ю(х, У, Оп В,)= — ! 10(х, У, 61, Оз)— ч 2 ! / у л з1П 81 02 ) 1 / у- л з1П 61 61 ) — ~Агой ' — — -) — — ~Агс1й п~ х — Лсозвз 2) и'т х — Лсоэв, 2)' которая, очевидно, тоже является гармонической функцией от х, у. (Прибавление конставты и умножение на постоянное число не нарушают гармоничности.) После всего сказанного ясно, что на дуге АСВ функпля ю(х, у, 61, 61) =1, а на Дуге АС'В ш (х, у, 6,, 01)=0.
С помощью функции ш (х, у, О,, Оз) нетрудно придумать формулу, которая ~озволяет восстановить гармоническую функцию по ее значениям на окружности (гл г вводная члсть ха+да=)сз. Сначала мы дадим нестрогий вывод, а затем приведем полное обоснование. Разобьем всю окружность точками хг=(г сов Вг, дг=(с яп Вг на достаточно мелкие части, а на каждой из этих частей выберем точку х, =)гсозО г -)-— 2 ~+— 2 д, =(гяпО ~ /Вг(0, (Вь,г).
Рассмотрим на окружности непрерывг+ — г+ — ') г+— 3 2 ную функцию [(О), Ясно, что [(0,)ю(х, д, Оп Вьм) принимает на дуге (Вг, Вг+,) значение [/В ~г), а на дополнительной к ней ~ с~- — ( 2/ дуге — нуль. Сумма ~[(6,)ю(х, д, Оп 0„,)= с+в з',) представляет собой гармоническую внутри круга функцию, кусочно постоянную иа границе.
На дуге (Оп Ог,) она принимает значение ( ('3 Гармоничность конечной сульиы внутри круга следует из лйнейности уравнения Лапласа. В точках х=(г сов Вн д=)г яп Вг эта функция, конечно, разрывна. Совершим формальный предельный переход при неограниченном измельчении окружности, а именно, рассмотрим функцию и (х, д) = — ~ [(8) о ~Асс(й Г д — )(з1п 8 0) и 3 ! х-йсозВ 2 ~' У нас есть основания ожидать, что она будет гармонической внутри круга хз-)-да~с)сз, а в его граничных точках х=)ссозеь д=гсзшы будет принимать значения [(ы). В дальнейшем этот факт будет обоснован, а пока мы эту формулу, преобразовав, приведем к более красивому виду. Имеем ой — )с соз 0 (х — Й гоз 6) — )с з1п 0 (д — Й Яп 6) г(8 (д — Я ап 6)з+(х — Аг соз В)а 2 2 [йз — х)( соз 0 — д)( соз 6) — (хз+ дз) — йе+ 2дй мп О+ йхй соз 0 2 [(д — )( з~п 6)з+ (х — (6 соз 0)з[ г(6 Агз — (х'+ д') 2 [йз — 2)( (х сов 8+0 яп О)+ха+да) Заметим здесь, что при вычислении дифференциала безразлично, какие именно ветви Агс(й были выбраны, так как значения Агс(йг на разных ветвях отличаются на постоянную величину.
В 21 ЗАлАЧА пиРихле для уРАансния лхплхсА а кРуГе 25 Мы показали, как можно придумать формулу 2А )12 — х' — уо (0 2я .) ' ' ' Йо — 2)1 (х сое В+у Мо В) + хо+ у' о которая носит название форхеулв! Пуассона. Запишем ее еще в двух формах. Во-первых, положив х=р сов в, у = р з(п в и заметив, что х соз 0 + у з (п 0 = р (соз 0 соз о! + з (п 0 з)п в) = р соз (0 — в), получаем и(рсозв, рз(пв)= — — Г~)(0) 1 ! )22 ро )1о — 2йр сое( — в) 1 ро о Во-вторых, можно разложить ядро нашего интеграла на простые дроби й' — х' — у' 1+ яме )(е ое Рее — (х+ !у) )!е "'е — (х — !у) + )1о — 2И (х соо В+ у Мп В) + хо+ у' и записать оо оо и (х, у) = — — 1 ) (0) с(0 + 2Яе — 1 1(0) 2а ) 2н,) )Ее е (х -(- (у) ох оо = — — '1 ) (О) с(0+2ое-1- (
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
