Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 117
Текст из файла (страница 117)
8.2 как Г. В предельном случае очень высокой частоты точка колеблется около центра вдоль одной «замороженнойз адиабаты,.обозначенной через П'. И в том и в другом случаях неравновесные процессы не протекают, энтропия газа не меняется и поглощения звука нет. Работа, о) совершенная над газом за цикл, численно А .т А Ю равная площади фигуры, описываемой точкой На диаграмме р, ['„ равна нулю, что и свидетельствует об отсутствии по- СА Л Ю глощения. В том, что во втором случае эвтропия газа, как и в первом, термоди- Ф~ С С' намически равновесном, не меняется, легко убедиться на примере колебательной ре- 7~,р, лаксации. Как видно из формулы (8,12), скорость изменения энтропии в неравно- А весном процессе пропорциональна ско- Ю Ю рости изменения энергии колебаний.
Но при строго замороженных колебаниях их р Рвс. 8.3. Акустическая волна в энергия вооб1це не меняется, зк = сопзС ролзкскруыщем газе со отупекчзи НЯ/сну = О. тым профилем плоткоств: Рассмотрим теперь звуковые волны ю ко«филь олотна«то; ю пРофиль текоературн. промежуточных частот, при которых существенно протекание релаксационных процессов (для определенности снова рассматриваем колебательную релаксацию).
Для простоты представим себе, что звуковая волна имеет своеобразный, ступенчатый профиль плотности, иаображенпый на рис. 8.3, а*). *) Этот весьма наглядный пример рассматрввался к ранее, например з книге Г. С. Горелика [7]. ««1 АНОМАЛЬНЫЕ ДИСПЕРСИЙ И ПОГЛОЩЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА 431 Этот график можно рассматривать как распределение плотности но координате в данный момент времени или же как закон изменения плотности в данной частице газа во времени. То же относится и к рис. 8.3, б, на котором показан соответствующий профиль температуры (или давления; профили температуры и давления в данном случае подобны друг другу).
Будем следить за изменением состояния газовой частицы в волне как на диаграмме р, 'у' рис. 8.2, так и на рис. 8.3, а и б. При очень быстром сжатии газа от точки А до точки В состояние его меняется вдоль «замороженной» адиабаты 11. При этом энтропия не меняется, над газом совершается ноложительная работа, численно равная площади Л'АВЛХ. Температура и давление газа реако воарастают, а колебательная энергия остается неизменной, соответствующей старой, низкой температуре.
Затеи в течение некоторого времени плотность газа остается неизменной (переход  — 1- С). Происходит возбуждение колебаний, часть анергии отбирается от поступательных и вращательных степеней свободы, температура и давление понижаются, энтропия возрастает (см. формулу (8А2): Т„~. Т, «)е„)сИ > О, «)В! сИ > 0). Поскольку объем газа не меняется, работа в период перехода  — С не совершается.
Далее, газ очень быстро расширяется (переход С-»-Р) вдоль «замороженной» адиабаты 11. Температура и давление надают, энтропия не меняется, колебательная энергия также не меняется, сохраняя свое значение, приобретенное к моменту С. Газ совершаот работу, численно равную площади МСРХ (над газом совершается отрицательная работа). И, наконец, при медленном переходе Р -+. А при постоянном объеме колебания частично дезактивируются, так как их энергия превышает значение, соответствующее упавшей температуре, колебательная энергин частично переходит в поступательную и вращательную, температура и давление возрастают, энтропия также возрастаот (Т„ > Т, де„!Ж ( О, ИЯ/д» > 0). Работа при этом не совершается.
Тани»«образом, в стадии расширения С «- Р гааовая частица совершает над окружающим газом меньшую работу, чем была совершена окружающим газом над нею в стадии сжатия А -» В; частица «возвращает назад» работу не полностью. Часть затраченной в период сжатия энергии «навсегда» остается в ней. Эта энергия, численно равная равности работ, т. е. площади фигуры АВСР, и представляет собой механическую энергию, необратимо перешедшую в тепло. В соответствии с диссипацией механической энергии ослабляется (поглощается) и звуковая волна, причем поглощение энергии звука за период (или на длине волны) как раз равно площади АВСР. С другой стороны, необратимое выделение тепла связано с приростом энтропии за цикл: ояо равно Т«ЛЗ.
Эта величина, как видно из рис. 8.2, пропорциональна Лу' Лр (Лр)'. Отсюда следует, что смещение точки конечного состояния А' относительно точки начального состояния А бр = (др!дЯ)у ЛЯ (Лр)» есть величина второго порядка малости относительно амплитуды Лр. Поскольку (др!дЯ)» > О, бр > О, т. е. давление после окончания цикла чуть выше начального. Точно так же чуть Гет- ГАЛ т,М выше и температура: б'1' = ( -. ) ЛЮ = — -- — †. Приращение темпе= М.).
«-- ратуры равно энергии, которая диссипируется за цикл, поделенной на теплоемкость при постоянном объеме. 432 КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ [гл. Ртгт В синусондальной (гармонической) звуковой волне точка на диаграмме р, 'г' описывает сглаженную кривую. Все параметры состояния: плотность, давление, температура меняются с течением времени по гармоническому закону.
Однако вследствие замедленных возбуждения и дезактивации колебаний в молекулах изменения температуры илн давления не успевают следовать за изменениями плотности, и синусоида давления сдвинута по фазе по отношению к синусоиде плотности (объема). Можно р,/ показать, что точка на диаграмме р, Р описывает при этом эллиптическую трал екторию, причем оси эллипса наклонены / но отношению к осяы координат р, $'. 8 При малых частотах т (или «круговых» частотах го =- 2ят) эллипс вытянут вдоль равновесной адиабаты (см.
рг / фигуру 1 па рис. 8.4). Толщина его в пределе малых частот пропорциональна частоте (кервому члену разложения по р малой величине го). Энергия звука, по- глощаемая за период, пропорциональна у ю, а за единицу времени — еще и числу Рис. Е,4 Р,р-диаграмма длн циклов циклов, т. е. ю .
При больших частотах 2 в гармонических внуковых волнах эллипс вытянут около «замороженной» различной частоты. адиабаты (фигура 2). Толщина его про- порциональна 1/го (первому члену разложения но малой величине 1/ю), а поглощение в единицу времени пропорционально ю.1/го, т. е.не зависит от частоты. Наибольшее поглощение за период происходит в промежуточном случае, когда частота— порядка обратного времени релаксации. Эллипс прн этом имеет наибольшую толщину (фигура 3); зта толщина порядка вертикального расстояния между равновесной и «замороженной» адиабатами кри максимальном изменении давления, равном амплитуде волны (расстояние между точками (г и ~' на рис. 8.4). Если относительная разность равновесного и «замороженного» показателей адиабаты велика (именно ею характеризуется угол между адиабатами А и 11, т.
е. расстояние Я>'), то толщина эллипса может даже стать порядка его длины. Этому соответствует большой сдвиг, порядка я/2, по фазе между давлением и плотностью (если бы эллипс превратился в круг, сдвиг по фазе стал бы точно равным я/2). й 4. Закон дисцерсип и коэффициент поглощения ультразвука Изложенные в предыдущем параграфе качественные соображения относительно дисперсии и поглощения звука при наличии релаксационных процессов в веществе облекаются в изящную математическую форму.
В общем виде это было сделано Л. И. Мандельштамом и М. Л. Леонтовичем (8] в); формулы для дисперсии и ноглощення, включатошие в себя время релаксации т, служат обычно для экспериментального определения этого времени по измеренным на опыте кривым дисперсии или поглощения в зависимости от частоты ультразвука. *) Изложение атой теории мо~кно найти в книге Л. Д, Ландау в Е. М. Лнфшнна ]й], $ 41 3АНОн диспеРсии и НОЗФФипиент поглощения УльтРАзвУкА 433 дэ' ди' — — +й,— — =о, д8 дх з'= ~ АТ'+ек дГ ОО дх Р' т' + Ро Го Яо (8 А 4) двк е„Т' — ек дС т Ро дэ дЮ кое д1 1 Здесь в уравнении энергии (8.4) вместо удельного обьема введена плотность, а обе части уравнения состояния разделены на ро = АреТо.
Время релаксации т считается постоянным и равным т = т (Т„оо). Будем искать решение системы (8А4) в виде. гармонической плоской волны, записывая все штрихованные величины в форме (8А 5) Г =/'* -ц '-ы). Волновое число й в общем случае является комплексным: й = — /е~ + + Из. Действительная часть й, пропорциональна обратной длине волны, й, = 2я/Х, и определяет фактическую скорость звука — фазовую скоРость РаспРостРанениЯ волны а, =- ео//3, 'мнимаЯ часть /ез дает коэффициент поглощения звука: (8.16) Величину а =- "/А можно назвать комплексной скоростью звука. Амплитуды /'к в общем случае также комплексны: /'е == ~ /'к ~ ееи, Комплексный характер амплитуд свидетельствует о сдвиге по фазе одних величин относительно других (на разности углов ~р). Подставляя в уравнения (8А4) все величины в форме (8А5) и замечая что — = — 1Ф/' — — = И/' получим систему алгебраических уравнед/' ., д/' де д* ний для штрихованных величин (или же амплитуд, если сократить на 28 я в.
зельдович, ю. и. Рейвер Покажем, как можно вывести закон дисперсии и коэффициент поглощения звука в релаксирующей среде. При этом для простоты и наглядности все вычисления проделаем на конкретном примере гааа с неравновесными колебаниями, для которого в 4 1 была сформулирована полная система уравнений газодинамики (8.1), (8.2), (8.4), (8.6), (8.7), (8.8). Запишем все переменные величины в звуковой волне: давление, нлотность и т. д. в виде / .= /е + /', где /е — среднее значение, соответствующее невозмущенному газу, а /' — переменная часть, которую будем считать малой величиной (скорость и = ио + и' = и', так как невозмущенный газ покоится: ио .— — 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
