Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 115
Текст из файла (страница 115)
будет, грубо говоря, в 7/5 = 1,4 раза меньше. Уже из этого простейшего рассуждения видно, какое значительное влияние может оказать неравновесность газа на динамику процесса. Необходимость учета кинетики установления равновесия возникает всякий раз, когда мы имеем дело с быстропеременными процессами или *) При расширении плотность газа уменьшается, кннетические процессы замедляются, и переход колебательной»нергии в энергию поступательного теплового динжения молекул, который кеобходнм для последующего превращения последней в энергию направленного, гндродинамического движения, затягивается надолго.
424 кинетикА В ГидРодинАмических пРОцессАх (гл. чш с процессами, характерные масштабы которых сравнимы с «длинами» релаксации. Одной из важнейших практических задач такого типа является аадача обтекания тела сильно разреженным газом, в котором времена релаксации сравнимы с временем обтекания тела, т. е. «длина» релаксации сравнима с характерными размерами тела. При входе в атмосферу баллистических ракет с большой сверхзвуковой скоростью перед телом образуется так называемая головная ударная волна, как показано на рис, 8.1.
Расстояние отхода ударной волны от передней точки тела обычно в несколько или раз в десять меньше радиуса кривизны передней части тела. Если газ настолько разрежен, что на расстоянии отхода укладывается не очень болыпое число газокинетических пробегов, то в частицах газа за фронтом ударной волны не успевают возбуждаться медленно релаксирующие степени свободы, например, не успевает устанавливаться химическое равновесие. Благодаря атому температуры в сжатом ударной волной газе оказываются более высокими, чем при условии термодннамического равновесия, что меняет режим нагревания тела.
По существу, мы имеем дело здесь со случаем, когда важен характер газодинамических распределений в неравновесной зоне ударной волны, возникающей за скачком уплотнения. В ряде задач оказывается возможным прибли- женное описание динамики неравновесного газа путем использования некоторого эффективного значения показателя адиабаты, соответствующего той или иной степени замороженности части теплоемкости, например, когда изменением анергии в тех или иных степенях свободы за характерные гидродинамические времена вообще можно пренебречь. В общем же случае приходится рассматривать газодинамический процесс одновременно с кинетикой неравновесных процессов, что вносит усложнение в систему уравнений, описывающих явление.
Динамика невязкого и нетеплопроводного термодинамически равно- весного газа описывается уравнениями непрерывности, движения и адиабатичности: —,+ей( =О, «е (8.1) е ~„+ур=о, (8.2) —,=о, к которым присоединяется термодинамическая связь энтропии с давлением и плотностью: Я (р, Е) (например, в газе с постоянной теплоемкостью Я = с1 )п (рЕ У)+сопзг). Будем интересоваться движением газа, состояние которого отклоняется от термодинамического равновесия.
При этом мы по-прежнему, не будем учитывать вязкость и теплопроводность, считая, что неравновесность связана исключительно с замедленным протеканием внутренних процессов, не выходящих за рамки данной частицы вещества, скажем, замедленным возбуждением молекулярных колебаний. $ г) УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПРИ ОТСУТСТВИИ РАВНОВЕСИЯ 425 В неравновесном случае вместо уравнения адиабатичности (8.3), которое теперь несправедливо, следует польаоваться более общим уравнением, выражающим закон сохранения энергии; оно справедливо всегда. Полагая, что внешние источники энергии отсутствуют "), запишем вместо (8.3) — +р---=О. лг и ое Л' (8.4) '""гОВ состоянии термодинамического равновесия уравнения (8.4) и (8.3) в силу термодинамического тождества Т ИЯ = с(е — ,'— р гЛг (8.5) эквивалентны.
Если в равновесном случае внутренняя энергия е определяется только давлением и плотностью, е = е (р, Е), то в отсутствие равновесия она зависит еще и от других параметров, характеризующих состояние системы, которые не являются равновесными (например, от степени диссоциации). Е1е конкретизируя эти параметры, назовем их Л.
Чтобы замкнуть систему уравнений гааодинамики, к уравнениям (8.1), (8.2), (8.4) следует присоединить соотношение, связывающее внутреннюю анергию с давлением, плотностью и параметрами состояния Л: е=а(р, Е, Л), а также уравнения кинетики, которыми описываются изменения параметров Л в газовой частице с течением времени: лЛ вЂ” „=1(Л р, е). Обычно функции е (р, Е, Л) и ) (Л, р, Е) выражаются не непосредственно через плотность и давление, а при помощи температуры е = е (Е, Т, Л), —, =- ) (Л, Е, Т) .
При этом дополнительно вводится уравнение состояния р=р(т, е, л)- Под температурой Т везде, где это не оговаривается особо, подразумевается температура, соответствующая поступательным степеням свободы молекул (атомов, ионов), которые обычно равновесны даже в самых быстрых гааодинамических процессах, так как максвелловское распределение молекул по скоростям устанавливается чрезвычайно быстро. Рассмотрим в качестве примера неравновесной системы двухатомный газ без диссоциации, но с замедленным возбуждением молекулярных колебаний (будем интересоваться не слишком высокими температурами, при которых степень диссоциации еще ничтожно мала).
Роль параметра Л при этом играет неравновесная энергия колебаний ек (на 1 г газа). Упомянутые выше соотношения, которые следует добавить к системе уравнений (8.1), (8.2), (8.4), в данном случае можно записать в виде е= е1 — 'ее = ~ АТ+ел, (8.6) р=АеТ, (8.7) Лек ек(т) -- „. (8.8) )г т (т, е) *) Тепловой эффект обратимой химической реакции не является внешннм источником энергии; он учитывается путем введения соответствующего слагаемого в выражение для внутренней энергии газа. 426 кинктикл В Гидгодинлмичвских пгоцвсслх ~гл.
Ч111 Здесь е, — сумма энергий поступательных и вращательных степеней свободы молекул (вращательная энергия предполагается равновесной, т. е. соответствующей поступательной температуре Т); е„(Т) — энергия колебаний, находящихся в термодинамическом равновесии с поступательными степенями свободы молекул; т (Т, о) — время релаксации для установления колебательного равновесия. Аналогичные, но по форме более сложные уравнения можно выписать и для всех других случаев, когда имеются неравновесные диссоциация, химические реакции, ионизация или когда отличаются поступательные температуры электронного и атомного (ионного) газов. Все эти случаи были разобраны в предыдущей главе при рассмотрении структуры неравновесного слоя во фронте ударной волны. 3 2.
Возрастание энтропии Чрезвычайно важной особенностью газодинамических процессов, в которых газ неравновесен, является возрастание энтропии газа и диссипация механической энергии. Как и внутренняя энергия е, энтропия неравновесного газа уже не определяется только двумя величинами: давлением и плотностью или температурой и плотностью, но зависит от других параметров, характериаующих неравновесное состояние: Я =- .=. Я (р, о, ),) или Я(Т, й, Х). Приращение энтропии Ытеперь не равняется притоку тепла от внешних источников, поделенному на температуру, как в равновесном случае (ИЯ Ф Щ)Т), Энтропия растет с течением времени даже в отсутствие притока тепла (когда д() = 0), только за счет неравновесных внутренних процессов.
Поясним это на том же примере неравновесных колебаний. Полная удельная энтропия газа 5' складывается из энтропий, соответствующих поступательным и вращательным степеням свободы, которые в силу равновесности можно объединить вместе, и энтропии колебаний *). Обозначим эти две части энтропии через Я~ и Юк: С=А+ ск. (8.9) Для энтропии поступательных и вращательных степеней свободы можяо ааписать термодинамическое тождество: Тоо', =де,+рд)г. (8ЛО) Обычно обмен колебательной энергией у молекул происходит гораздо быстрее, чем обмен между колебательной и поступательной энергиями.
Поэтому больцмановское распределение по колебательным вовбуждениям у молекул устанавливается довольно быстро, и колебаниям можно приписать определенную температуру Тк. Эта температура отвечает фактическому запасу колебательной энергйи молекул е„= е„(Т„); если обозначить колебательную теплоемкость с„, то йек = с гхТк При этом, конечно, колебательная температура Т„может сильно отличаться от поступательной температуры молекул Т, в чем и заключается неравновесность газа *е). Если колебаниям можно приписать определенную темпера- *) При неравновесных диссоцвации или иоииззции следует ззписызэть выражение для зктропии через числа частиц разкых сортов ~молекул и атомов, например), которые ке предполагаются рззковесиыми.
**) О подобным положением мы уже встречались при рассмотрении плазмы. Мзксзеллозские распределения и температуры з злектрокком к ионном газах устаказлкззются очень быстро. Однако электронная и ионная теьшературы отличаются друг от друга вследствие замедленности обмене энергией между электронным в иоякыт газами.
427 ВОЗРАСТАНИЕ ЭНТРОПИИ туру Тк, то для колебательной части энтропии также можно записать тсрмодинамическое тождество: Тк Оок = Оек. (8.11) (Энергия и энтропия колебаний не зависят от объема газа.) Легко видеть, что энтропия неравновесной системы только растет с течением времени, независимо от того, какие превращения претерпевает газ. В самом деле, в силу уравнений (8.9), (8.10), (8.11), (8.4), (8,6) имеем: кЯ кЯ1 ИХ„1 /4Е1 к'к' '~, $ Ык„кк~ Г 1 — = — + —" = — ( — + р — ') + — " = ' ~~ — — — ') .
(8.12) а= и й=т(.п ч,) тк ш= ш(,т„т,)' Принимая во внимание уравнение кинетики (8.8), в котором ек= ~ ск(Т') гХТ', а е„(Т) = ~ ск(Т') г(Т', видим, что при Т„( Т колебания отбирают энергию от поступательных Лкк лл и вращательных степеней свободы, —,к) О и -„— ', )О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
