Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Пэ — — 2- Пр, -— — 2ОТ',. (7.61) Профили плотности и потока излучения в докритической волне изображены на рис. 7.28, где для сопоставления приведен также профиль температуры. Посмотрим, каковы пределы применимости приближенного решения уравнений в зоне прогревания. Формула (7.50) имеет большую точность даже в волне критической амплитуды, так как при у =- 1,25 сжатие перед РазРывом мало: Ц /Ос <1,13. Что же касается решения уравнения переноса излучения (7.54), то оно получено в приближении 5)р < П и теряет силу, когда плотность ивлучения 5г становится сравнимой с равновесной. Из формул (7.54), (7.50) следует, что зто происходит при температуре Т„, удовлетворяющей *) Эаметюг, что при этом появляется новое аначение потока — Юс — — (2)У 8) ОТ'„ немного отличающееся от прежнего: — эо — — аТ). Эта небоаьпгая несогласованность явлнется следствием несовершенства диффуанопного приближения и исчеаает при испольаовашпг точного уравнения переноса излучения; см.
об етом в работе )47). тому же самому потоку Яэ. (Производная потока при етом, конечно, терпит разрыв.) То же происходит и с точкой на диаграмме р, гб газ схгимается в скачке уплотнения в соответствии с ударной адиабатой СВ, проходящей через точку В. После ударного сжатия состояние частицы монотонно приближается к конечному, и точке 7). Температура и поток излучения при атом уменьшаются, а плотность газа и давление — воврастают. В волне небольшой амплитуды превышение температуры за разрывом Те над температурой за фронтом Т„как видно из диаграммы Т, т), так же как и изменение объема за разрывом, ос невелики. Исключая, как и раньше, т) из уравнений (7.48), (7.49), для второй ветви найдем с точностью до малых второго порядка относительно О связь потока и температуры за раарывом: Ор~ 8 †0,~ — 7)йоА (Т вЂ” Тг).
(7.58) Ос=в э= г тп Чтобы приближенно решить )7 уравнение переноса излучения в области аа разрывом, заметим, что температура здесь меняется мало и можно положить 7,'р 5грг — — 4ОТ,!с =- сопя). Получим при т ) 0: 417 удАРнАя ВолнА сВВРхкРитичкской Амплитуды $ !71 уравнению 4аТв 77оьАТ„ ) З = — т — -1-" (7. 62) Сравнивая зто уравнение с выражением (7.53), в котором полагаем 1 теплоемкость постоянной (е = — АТ), и замечая, что П слабо завит — 1 сит от тематературы (1'.7 )~Та при у = сопз1), мы видим, что температура Т„весьма близка к критической температуре Т .
Отсюда следует, что плотность излучения в зоне прогревания Всегда неравновесна при температурах ниже критической и наше приближенное решение справедливо для волн с амплитудами вплоть до критической. Существенно, что плотность излучения становится порядка равновесной, когда сравниваются потоки энергии излучения и гидродинамический. Как видно иа формул (7.54) — (7.57), оптическая толщина зоны прогревания в волне докритической амплитуды имеет порядок единицы. Геометрическая ширина зоны, следовательно, порядка среднего по спектру пробега излучения. В воздухе нормальной плотности ага ширина порядка 10 ' — 10 ' см.
Она тем больше, чем выше температура за фронтом, так как пробег растет с увеличением энергии квантов. Такой же примерно порядок имеет и ширина зоны за скачком уплотнения, где происходит приближение к конечным состояниям газа и излучения. 3 17. Ударная волна сверхкритической амплитуды Рассмотрйм ударную волну большой, сверхкритической амплитуды, когда температура аа фронтом Т, Т„р. '1'емпература в зоне прогревания возрастает от нуля до величины Т , которая равна конечной Та и, следовательно, тоже больше, чем Т„р.
Поскольку температура Т„, определенная формулой (7.62), близка к критической Т„р, Т больше, чем Т„. Сжатие в зоне прогревания невелико и уравнение (7.50) остается в силе. На переднем краю зоны, где температура ниже Тв, излучение по-прежнему неравновесно и справедливо решение типа (7.54), (7,55), в котором Т, Б и Г7 экспоненциально спадают с оптической толщиной. В точке, где теьшература достигает величины Т„, плотность излучения становится порядка равновесной и поток о порядка стефан-больцмановского потока СТ'. При дальнейшем продвижении по направлению к разрыву поток излучения растет в силу закона сохранения (7.50) пропорционально температуре (о' Т), т.
е. становится меньше стефанбольцмановского потока СТ'. Это означает, что в области температур, где Т ) Т„, односторонние потоки противоположного направления (которые порядка аТ4) в значительной степени компенсируют друг друга, генерация излучения в каждой точке сравнима с поглощением и, следовательно, плотность излучения близка к термодинамически равновесной. Другими словами, в указанной области зоны прогревания излучение находится в локальном равновесии с веществом и перенос излучения имеет характер лучистой теплопроводности. Поток о' теперь определяется градиентом температуры и малость его по сравнению со стефан-больцмановским соответствует тому, что температура мало меняется на расстоянии порядка длины пробега света.
т1тобы получить решение в зоне лучистой теплопроводности, следует заменить в уравнении диффузии (7.43) плотность 27 Я. В. зельдович, ю. и. Райзер структуРА ФРОнтА удАРных Волн В ГАЭАх 1ГЛ. Чп излучения 17 равновесной величиной Пр ж 5!: с с!!!р !6с«Т» 4Т Я= — — — = — —— 3 с!с 3 Нс (7.63) Решая это уравнение совместно с алгебраическим уравнением (7.50), найдем профили температуры, потока и плотности излучения в равно- весной области воны прогревания. Они должны быть сшиты с решением на переднем краю в неравновесной области в точке с температурой Т = Т„, эффективно разграничивающей обе области. Оптическую координату атой точки обозначим через тк. После элементарного вычисления получим решение в неравновесной области, при т < тк, ', т ~ )! тк ~, — —, =е Уз к~; т .~~ Узг (7.64) Тк 4сТк 4оТк в равновесной области, при тк < т < О, 0 <,' т ) < ( т„~, ! ! (7.65) причем тк выражается через температуру перед разрывом )т„)= — ( (=) — 1~ (7.
66) Поскольку температура в неравновесной зоне падает экспоненциально, уменьшаясь в несколько раз на оптическом расстоянии, равном единице, величина !т„~ в случае очень сильной волны, когда Т' >> Т„*, представляет собой оптическую толщину аоны прогрева. Следует отметить, что в равновесной области длина пробега света усредняется по Росселанду (см. 3 12 гл. 11). Температура перед разрывом в сверхкритической волне Т почти совпадает с температурой за фронтом Т,. Температура перед разрывом Т никогда не может стать выше, чем конечная температура за фронтом Т,.
В самом деле, если Т ) Т„то плотность излучения в зоне прогревания перед разрывом, которая равна 4еТ« примерно 17 ж = , становится больше плотности иалучения за фронс 4аТ4 том Пр! — — — --'. Следовательно, в зоне между разрывом и областью конечного состояния (О < т < + со) плотность излучения уменьшается при удас«! ленииотразрыва. Потоке' —, положителен и направлен в сторону 4« ' движения газа, Но это противоречит формулам (7.48), (7.49), которые являются следствием законов сохранения и которые свидетельствуют о том, что поток в ударной волне везде отрицателен и направлен противоположно движению газа.
Таким образом, температура Т ограничена сверху величиной Т,. Принципиальная невозможность нагревания газа перед скачком уплотнения до температуры, превышающей температуру за фронтом Т„ одновременно свидетельствует и о необходимости возникновения раарыва в решении (текущая точка на диаграммах Т, «) и о', ц, чтобы достичь конечного положения Й, обяаательно должна «перепрыгнуть» из положения В' на другую ветвь кривых). Изложенные физические соображения о невоаможности превышения температуры Т над Т! и необходимости $ 173 УДАРНАЯ ВОЛНА СВЕРХКРИТИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДЫ 419 возникновения раарыва находят свое подтверждение в строгом исследовании уравнений режима (см. работу [42)).
Поскольку в сверхкритической волне Т вЂ” Т„а плотность излучения перед раэрывом бличка к равновесной, она еще перед разрывом почти достигает своего конечного значения. Таким образом, 4СТ«4аТ,' (7.67) и в области за раэрывом плотность излучения остается практически постоянной: 4ОТ«1 П(т) -Т7р, — — — ' при т) О.
(7. 68) Иэ формулы (7.65) следует, что поток в точке разрыва равен 4ОТ«Т7 «= Т (7.69) На диаграммах Т, 77 и 8, 9 текущая точка в сверхкритической волне дви- жется вдоль кривых от точки А до точки В', а затем перескакивает в точ- ку С', где поток тот же самый. Температуру эа раэрывом ТА можно вычис- лить по формулам (7.48), (7.49). Она равна Т,=(8 — у)Т,. (7. 70) Если пользоваться приближением лучистой теплопроводности в области эа разрывом, то, в соответствии с полученным условием постоянства плотности излучения в этой области, постоянной оказывается и температура газа. Температура на скачке уплотнения непрерывна и равна конечной ТР Текущая точка на диаграммах Т, ц и Я, 7) иэ положения В' непосредственно перед раарывом попадает прямо в конечное положение 77. Поток при этом, конечно, испытывает разрыв, так как перед скачком уплотнения он отличен от нуля и равен Я«, а в конечном состоянии (точка 77) он равен нулю.
Таким обраэом, мы имеем дело с типичным случаем «изотермического скачка», с которым мы уже сталкивались в $ 3 и 12. Возникновение «иаотермического скачка» есть следствие математического приближения, в котором поток считается пропорциональным градиенту температуры. Это исключает возможность существования скачка температуры, так как при разрыве температуры поток становится бесконечнымм. На самом же деле в силу стационарности процесса в скачке уплотнения непрерывен поток, а температура испытывает разрыв.
Противоречия здесь никакого нет: просто в области эа разрывом излучение неравновесно (плотность ниже равновесной, так как плотность соответствует температуре Т Т „а температура газа Т+ ) Т,) и поток, который определяется градиентом истинной плотности иэлучения, не выражается через градиент температуры. За ударным разрывом по-прея«- нему имеется пик температуры и профиль температуры в сверхкритической волне имеет вид, иэображенный на рис. 7.25. Оценим оптическую толщину пика температуры эа раэрывом иэ простых физических соображений.
Геометрическая толщина пика Лх такова, что рожденное в атой зоне излучение дает поток Я«, выходящий с поверхности разрыва и идущий на прогревание втекающего в волну газа. 27« СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ [гл. Тп Энергия, излучаемая в 1 сек в слое Лх (на 1 са««поверхности разрыва), порядка ОТ1 ОТ« — Лх — ' Лх. Эта величина приближенно равна потоку Ю«, который по формуле (7.69) порядка ОТ"„ТР Отсюда получается толщина пика температуры: (7. 71) Она быстро уменьшается с увеличением амплитуды волны и в очень сильной волне пик гораздо тоньше пробега излучения. Поэтому он и «срезается» в приближении лучистой теплопроводности, из которого выпадают детали, связанные с расстояниями, меньшими пробега излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
