Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Координату х будем отсчитывать от точки, где расположен скачок уплотнения. Для определения потока излучения к уравнениям гндродинамики (7.40) необходимо присоединить уравнение переноса излучения. Будем рассматривать угловое распределение квантов в диффузионном приближении, заменяя строгое кинетическое уравнение для интенсинности двумя уравнениями для плотности и потока излучения (см. 5 10 гл, П). Подчеркнем, что в диффузионном приближении формально не содержится никаких предположений о близости плотности излучения к равновесной и диффузионное приближение отнюдь не эквивалентно приближению лучистой теплопроводности.
С его помощью мы описываем и существенно неравновесное излучение, лишь приближенным образом учитывая угловое распределение квантов (см. об атом 3 13 гл. П). Будем оперировать только интегральными по спектру величинами плотности и потока излучения (7 и О для чего введем некоторую среднюю по спектру длину пробега света 1. Как отмечалось в гл. П, такое 412 1гл. Ры СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ приближение, строго говоря, возможно лишь в определенных предельных случаях.
Однако оно не искажает качественных закономерностей лучистого переноса и для наших целей является достаточным. Перепишем уравнения для излучения в указанных приближениях (см. формулы (2.62), (2.65)): о4.с с (о4р — с4) 4) 3 лл Здесь ТТр — — 4ОТ47с — плотность знеРгии Равновесного излУчениЯ, соответствующего температуре вещества в данной точке х. Уравнения гидродинамики и переноса иалучения не содержат В явном виде координату х, поэтому в них можно перейти к новой координате— оптической толщине т, которую будем отсчитывать от точки х= О в положительном направлении оси х: ох т=~— о 4(т =— ех 1 (7.41) — с (Гр г7) ЫЯ (7.42) (7.43) Уравнения гидродинамики (7.40) и переноса излучения (7.42), (7.43) вместе с естественными граничными условиями, выражающими отсутствие излучения в холодном газе перед волной и термодинамически равновесный характер излучения за фронтом волны*), т= — со, Я=О, (7=0, Т=О, (7.44) 4ОТ4 = + со 4 Я = О, с) = 77р4 —— ", Т = Т„ (7.45) полностью описывают структуру фронта ударной волны в изложенной постановке.
Система дифференциальных уравнений имеет второй порядок. Порядок можно понизить, если исключить из системы координату с, поделив уравнения (7.42) и (7.43) одно на другое: ~Ы се ~ ~р Д7= З Для пояснения физического смысла аакономеряостей структуры фронта очень удобны диаграммы р, т"; Т, т'; О, 'р', рассмотренные в 1 3, Вводя, как и там, относительный удельный объем т) = У/Ре, равный *) Иа этих условий неэазнснны только два, остальные есть следствия уравнений Если длина пробега 1 иавестна как функция температуры и плотности газа, в окончательном решении легко с помощью уравнений (7.41) перейти от распределений различных величин по оптической координате к распределениям по х (при 1=сонно оба типа профилей, очевидно, совпадают), В терминах оптической толщины уравнения переноса приобретают такой вид: ч га) пРивлиженнАЯ ФОРИУлиРОЕИА зАдачи О стРУктУРе ФРОнтА 413 обратной величине сжатия и безразмерной скорости Ос и г) 1 Ус Е /7 ' найдем из первых двух уравнений (7.40), что в областях, где газодинамические величины непрерывны, давление меняется вдоль прямой Р=йеО (1 7)).
(7.47) Температура и поток зависят от сжатия по формулам, аналогичным (7.13) и (7.14). Эти формулы получаются из уравнений (7.40) в случае Рис. 7.2б. Т, и- и Я, Ч-диаграммы для ударной волны с учетом лучистого теплосбмена. Рис. 7.27. р, и-диаграмма для ударной волны с учетом лучистого теплообмена. таза с постоянной теплоемкостью. Введем в формулы (7.13) и (7.14) вместо числа Маха температуру за фронтом ударной волны Т,. Получим Т= — — ° а' ч(1 ч) (7.48) ч1(1 — гн) Я = — — —,—— ОенАT~ (( — ч) (ч — ти) (7.49) 2Ч1 Π— чд где т), = (у — 1)/(у + 1).
Излучение в ударной волне играет существенную роль только при высоких температурах, когда газ сильно ионизован. Зффективный показатель адиабаты в области ионизации для численных оценок можно принять равным у = 1,25. Соответствующее сжатие за фронтом волны 1/т), = 9, 7), = 0,111. Функции Т (г)), Я (Ч), р (9) изображены на рис. 7.26„7.27. Функция Т (Я), которую можно получить из уравнений (7.48), (7.49), как зто видно из.рис. 7.26, имеет две ветви: одна из них, которая в пределе Я -э 0 дает Т вЂ” +-0 (г) -+ 1), соответствует состояниям, близким к начальным, т.
е. зоне прогревания перед разрывом, другая — с пределом Я -е- О, Т -+. Т„ (г) -+- г),), соответствует состояниям, близким к конечным, т. е. области за разрывом. В последующих двух параграфах мы найдем приближенные решения уравнений режима для двух крайних случаев, описанных в з 14: для ударных волн докритической н сверхкритической амплитуд. Следует отметить, что переход от одного случая к другому является непрерывным. Просто для промежуточных значений амплитуд, близких к критическим, 414 СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ 1ГЛ. Ч11 не удается найти решения в аналитическом виде. Численное интегрирование для промежуточных амплитуд не составляет труда. Однако в нем нет особой необходимости, так как найденные предельные аналитические решения справедливы вплоть до амплитуд, весьма близких к критической с той и с другой стороны.
3 16, Ударная волна докрнтической амплитуды Рассмотрим ударную волну небольшой амплитуды, в которой все эффекты, связанные с излучением, невелики. Температура за скачком уплотнения при этом близка к конечной температуре и с поверхности разрыва выходит поток излучения, равный по абсолютной величине ~ Яз, ж ОТ',.
Проследим за состоянием частицы гааа, втекающей в волну, Текущая точка на диаграммах Т, тб Я, тб р, 1) движется от начального положения А в сторону сжатия вплоть до положения В, в котором поток равен Ю,. Плотность газа, температура, давление и поток излучения в частице монотонно растут при приближении к разрыву.
Иэ формул (7.48), (7.49) следует, и зто видно из рис. 7.26, что на тех ветвях кривых, которые выходят из начальной точки А, т. е. в зоне прогревания, сжатие очень мало. Даже при Т = Т~ на атой ветви сжатие составляет только 1/(1 — 1)~) = 1,13 (если Ч = 1,25, 1)1 — — 0,111), а при температурах перед разрывом Т меныпих, чем Т1, сжатие в зоне прогревания е1це меньше.
Если приближенно исключить ц иэ уравнений (7.48), (7.49) и выразить Я через Т с точностью до малых второго порядка относительно п„получим — о = = Рамзе. /1дзАТ (7.50) ч — 1 Это уравнение, которое получается из интеграла энергии (7.40), если опустить в нем члены р/9, /7э/2, из/2, имеет простой физический смысл. Оно означает, что энергия поглощающегося излучения в зоне прогревания тратится только на повышение температуры газа. И действительно, легко показать, что работа сжатия р/д и изменение кинетической энергии /)з/2 — иэ/2, которые в основном пропорциональны и, с точностью до малых второго порядка, пропорциональных ц,', компенсируют друг друга.
Уравнение сохранения энергии в отсутствие торможения и сжатия газа, записанное в форме (7.51) — л =/)ЬЗ (Т. йо) справедливо и в общем случае, когда теплоемкость зависит от температуры. Если отнести его к точке х = 0 непосредственно перед раарывом, найдем максимальную температуру прогревания Т (7.52) ~ Я, / - ОТ', = Ррзэ (Т ). В газе с постоянной теплоемкостью Х~ — )/ Т, и Т Т, '', т. е. прогрев быстро растет с возрастанием амплитуды волны. По уравнению (7.52) можно приближенно оценить и ту температуру эа фронтом, при которой температура перед скачком уплотнения Т достигает величины Т1 (мы назвали такую волну критической). Приближение заключается в том, что поток с поверхности разрыва, по-прежнему, предполагается равным ОТ4„тогда как в действительности он несколько больше, ибо температура за разрывом несколько выше, чем То Приближенное уравнение для опре- 415 УДАРНАЯ ВОЛНА ДОКРИТИЧЕСКОЙ АМПЛИТУДЫ В 4В1 деления критической амплитуды Т, = Т„р есть ОТ'„, = Р (Т„р) роз (Т„,).
(7.53) В таблице 7.2 приведены рассчитанные по формуле (7.52) значения температуры перед скачком уплотнения в воздухе нормальной плотности при учете реальной зависимости е (Т). Из таблицы видно, что критическая температура в воздухе равна примерно 300 000' К (285 000' К по уравнению (7.53)). Как следует из определения (7.53), критическая температура есть такая температура,, при которой становятся примерно одинаковыми потоки энергии вещества и излучения (вспомним замечание в начале 3 14). Таблица 7.2 ' молекрла ' ) ' еек 'молекрла к.к О,— ' еек 4 000 9 000 12 000 25 000 50000 3,7 65000 8,4 75 000 13, 1 100 000 32, 7 23,3 28,5 32,1 40,6 56Д 81,6 86,2 88,1 150 000 250 000 275 000 285 000 122 635 910 1020 60 000 175 000 240 000 285 000 Воавращаясь к исходным уравнениям для гааа с постоянной тепло- емкостью, найдем приближенное решение в зоне прогревания докритической волны.
Если температура в зоне прогревания мала по сравнению с температурой за фронтом (Т ( Т4), то равновесная плотность излучения,пропорциональная четвертой степени температуры газа (Рр — Те), гораздо меньше фактической плотности 1л'е которая определяется пронизывающим газ излучением, выходящим из-за поверхности разрыва и имеющим температуру Т, (Р' — ' Во ~ Т,'). Излучение, рожденное в самой зоне прогревания, при этом дает малый вклад в полные поток и плотность, Плотность иалучения, таким образом, существенно неравновесна в зоне прогревания.
Пренебрегая в уравнениях (7.42), (7.46) Рр по сравнению с Р, найдем решение перед разрывом при т ( 0: — В - ~~ = —.У,е- Р в~е~ ) 3 (7.54) Т=Т е-~ В%, (7.55) (7.56) 9 — ао ~- — Ио ~ р ВИ0 90 90 р=р е РВИ. (7. 57) Все величины зкспоненциально падают по оптической толщине при удалении от разрыва (рис. 7.28).
Значения Т, О, р легко вычислить с помощью формул (7.52), (7.48) и уравнения состояния. В точке ударного раарыва плотность и поток излучения остаются непрерывными. В самом деле, разрыв в плотности излучения соответствовал бы по формуле (7.43) бесконечному потоку, который в действительности ограничен законами сохранения анергии, а раарыв в потоке приводил бы к нестационарному накоплению или убыли энергии излучения в точке разрыва.
Следовательно, текущая точка на диаграммах Т, В) и Ю, Ч при прохождении вязкого скачка перескакивает иа положения В на одной ветви кривых на другую ветвь в положение С, соответствующее 416 [гл. Тп СТРУКТУРА ФРОНТА УДАРНЫХ ВОЛН В ГАЗАХ с (Сг г)) .с, — Узт з (7.59) Т вЂ” Т, = (Те — Т,) е Узг (7 60) где Т~ — Тг -— — )(3 — у)l(у+1))Т 0,78 Т при у =1,25. Значение плотности излучения в точке разрыва найдем, сшивая в'точке т = 0 две ветви кривых П (Я), которые даются формулами (7.54), (7.59). Получим *) Рис. 7.28. Профили потока и плотности излучения и температуры в ударной волне донритнчесной амплитуды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
