Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Фактическую энергию колебаний также можно представить в форме зк = з«о т з„', где з,р — колебательная энергия в невозмущенном газе, которая, естественно, равновесна. Переменную часть равновесной колебательной энергии запишем в виде е„' (Т) = скТ', где с„— колебательная теплоемкость, соответствующая средней температуре Т, (если при температуре То колебания классические, ск = А, в противном случае ск выражается квантовой формулой (см.
з 2 гл. 111)). Подставим в уравнения все величины в укааанной форме и пренебрежем членами второго порядка малости, т. е. линеаризируем уравнения, как это делается в акусткке (см. $ 3 гл. 1). Получим в одномерном плоском случае систему уравнений для переменных частей величин: КИНЕТИКА В ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ 1гл. ч111 экспоненциальный множитель): — йое'-)-еейи' = О, 5 ск7 — е К вЂ” иозк = — иои'+ — йр' = О, ее (8.17) — иоз' + —, ио ъ =- О, Ре .
е« Последнее уравнение, будучи разрешенным относительно з„', дает (8.18) Именно благодаря этой комплексной связи переменных частей фактической колебательной энергии и температуры и возникают дисперсия и поглощение. Уже отсюда видно, что в предельных случаях «от — >О, и шт-ь со, когда з„'=скТ' и з„'=О, мнимая единица полностью вынадает из системы уравнений (8.17), все величины действительны (если под р', Е' и т. д. понимать амплитуды р", Есе и т. д.). Нн««акнх поглощений и сдвигов по фазе при этом нет. Первые два уравнения системы (8А7), которые получились из уравнений непрерывности и движения после исключения скорости, дают обычную связь: «ОЗ Р = — Е'=а«9, (8.19) где а — комплексная скорость звука. Исключая из остальных четырех уравнений з', з„', Т', найдем еще одну связь р' и 7 ск 2 А+1— Р=У 9 У= (8.
20) Ое ' 5 + с 2 1 — 1ют Величину Ч можно назвать комплексным показателем адиабаты. 5 ВвоДЯ обозначениЯ: с1.с= —,А+си, с,= — А+с„— Равновесные теплое 7 емкости при постоянных объеме и давлении и су = — А, ср. — — — А— 2 ' Р 2 теплоемкости при полностью замороженных колебаниях, запил«ем ком- плексный показатель адиабаты и выражение для комплексной скорости звука, которое следует из уравнений (8.19), (8.20), в виде с с — (ют ," *) иотсг а'=Ч вЂ”, ее (8. 21) к) В книге Л. Д.
Ландау и Е. М. Лифшица (З) выводится несколько отличная формула (гл. Ч!11, 1 78, формула (78.3)), которая дает 1 Г РС 'р -) у= . ) — — 1ют — ) . 1 ЙОт сне сг Это расхождение связано с различном в определениях времени релаксации т, которое фигурирует в уравнении кинетики. Величина ек (Т) в кешки уравнении (8.8) представляет собой равновесную энергию колебаний, которая соответствует поступательной температуре Т, Отметим время релаксации в нашем уравнении кинетики индексом «Тк Если объем геке постоянен и поступательная температура также поддержи- 1»1 зАНОн дисперсии и кОэФФициент поглощения ультРАзВукА 435 ~<1, У= — "=Уэ, а«=Ус — ' —— »ус оо адиабаты и скорость звука.
В предельном случае малых частот ют = а„', получаем равновесные показатель В пределе высоких частот ют» 1, у= =у~~~ с, ,» з ое получаем показатель адиабаты и скорость звука, соответствующие замороженным колебаниям. В обоих предельных случаях скорость звука и, следовательно, волновое число )с = ю/а — действительны, т. е. поглощения нет. В промежуточной области частот скорость звука а и волновое число й=юса комплексны.
Если составить выражение для й=оь!а с помощью формулы (8,21) и отделить в нем действительную и мнимую части, получим закон дисперсии а, (ю) = — и коэффициент поглощения йс (ю) )сз (ю) ) вается постоянной: Т = сопз1, то уравпение (8 8) дает экспопенциальный закон прибли- жения к равновесию с харантерным временем тт.. можно перейти от одного уравнения кинетики к другому, При этом получается, что тз = (су /су ) сг.
В формуле для у, приведенной в начале сноски, под т следует понимать тэ, в нашей формуле (8.21) — тт. Легко проверить с помощью связи тз и тт, что обе формулы в точности совпадают. Метод «тя», принятый Л. И. Мандельштамом и М. А. Леонтовичем [8), позволяет получить общую формулу для у, приведенную выше, независимо от конкретного релаксационного механизма. При рассмотрении же частного случаи колебательной релаксации представляется более наглядным использование метода «тт», что и было сделано в тексте.
Заметим, что именно так и рассматривалась колебательная релаксация в ультразвуке в старых работах (Кневер [8 [, Ландау и Теллер [10)), ") Заметам, что между функциями йс (ю) и йз (ю) существует совершенно общая связь, неаависимо от механизма дисперсии и поглощения. Эта связь была вынедена В. Л. Гинзбургом [11[. 28" с е« вЂ” — е„(Т)+Пса)с з — ск(Т)[ехр( —— ЭнеРгил газа е = су Т + ее пРк этом не постоЯнна.
Если же считать постоянной энергию е (и, конечно, объем) и пользоваться урав- нением (8.8), то мы получим вместо простого экспоненциального более сложный закон приближения к равновесию. В книге [9( уравнение кинетики типа (8.8) записывается таким образом, что под равновесной следует понимать энергию колебаний, ноторая соответствует равновесной температуре 7'р, общей для поступательных и колебательных степеней свободьг и отве- чающей данным объему У и энергии с газа. Обозначим время релаксации, которое фигурирует в уравнении кинетики (по [9 [) через тя.
Уравнение дает экспоненциальный закон приближения к равновесию: с еа=- зз(тр) — , 'Ие„)с с — се (тРВ ехР ( — -- ), тя если постоянны обьем, энергия газа, т. е. равновесная температура Тр, и время тя (фактически тз зависит от поступательной температуры, но предполагается, что откло- нение от равновесия мало, так что при Тр = сопзь яоступательная температура Т меняется мало, При малом отклонении от равновесия условие У =- сольц е = сопзс можно рассматривать как условие приближенного постоянства энтропии Ю зе сопзс).
Будем рассматривать малые иаменения всех величин в звуковой волне около средних значений Воспользовавшись определением з'= — «„Т'+е'„=.с, 7" +с,'(Тр)=с. Т„', 436 кииитикА в гиднодиплмичиских пгоцвссах ~гл. уыг В общем случае зта операция приводит к весьма громоздким выражениям. В пределе малых частот вт «1 яриближенпо получим: оо,.вот г у /о = Й1+ оЙ2= — +~ - — — — -" — — 1) оо 2оо о1 о '. уо (8.22) Коэффициент поглощения Йо в', поглощение ка расстоянии, равном длине волны, ЙоХ в. В пределе больших частот вт )) 1 имеем о„ (8.23) Коэффициент поглощения Й, — сопз$ пе зависит от частоты, яоглощепие на длине волны Й;~„ 1/в. Кривая дисперсии а, (в) и частотная зависимость поглощения па длине волны ЙоХ == Йоа,2я/в =- 2яЙ,/Й, схематически изображены на рис.
8.5. Нетрудно показать, что величина Йо/Й, имео г етмаксимум привт = ] сгосро/сг ср 1. д При близком, но отличном значении вт кривая дисперсии имеет перегиб. Из формулы (8.19) следует, что давлеао иие в звуковой волне сдвинуто по фазе относительно плотности. В самом деле, /э д если скорость звука — комплексная величина, то р' = аод'.=]ао]е'эй'. В предельных случаях вт (( 1 и вт )) 1, когда мнимая часть скорости звука стреаул г/в мится к нулю, сдвиг цо фаае ср исчезает. При вт 1, когда действительная и мнимая части сравнимы, сдвиг по фазе у Рко.
3.5. Зависимости скорости распространения а, н кооффнпкента поглощенна на длине зол- Если в веществе цротекаот несколько ны Й Х ультразвука з области ре- неравновесных процессов с сильно раэлаксацкк. личающимися временами релаксации, силь- ные поглощение и дисперсия возникают каждый раэ, когда вт 1, и эти частотные области четко разделены. В случае же близких времен релаксации области сливаются и эксяериментальио разделить их, т. е. извлечь из опытных данных времена релаксации, весьма трудно. Дисперсия и поглощение звука, связанные с яеравновеспыми процессами, определяются колебаниями плотности вощоства, т.
е. в силу уравнения иецрерывиости 89Ыг + деВчи = 0 связаны с дивергенцией скорости. Формально их можно описать коэффициентом второй вязкости Ь. который характеризует днссипативяый член в уравнении движения, пропорциональный дивергеиции скорости (см. з 20, 21 гл, 1). Коэффициент второй вязкости можно формально связать с величиной вт и предельными скоростями звука ао и а (см., пацрпмер, ]9]). Однако описать аномальное поглощение путем введения коэффициента второй вязкости можно только при ие слишком болыпих частотах.
Коэффициент поглощения за счет вязкости растет прокорциопальяо Йз во (см. з 22 гл. 1). Поэтому при в о- оэ поглощение, связанное с вязкостью, неограниченно возрастает, тогда как в действительности коэффициент $ «3 ОКИСЛЕНИЕ АЗОТА ПРИ СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ В ВОЗДУХЕ 437 аномального поглощения при «1 -+. Оо стремится к постоянной величине: )«з = сонары (см. формулу (8.23)). Некоторые экспериментальные данные по временам релаксации для возбуждения колебаний и вращений в молекулах, полученные путем изучения дисперсии и поглощения ультразвука, уже приводились нами вз2И4гл, »11.
2. ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ $5. Окисление азота при сильном взрыве в воздухе Атмосферный воздух состоит из молекул азота и кислорода; химически он равновесен и очень устойчив. Для диссоциации молекул на атомы или частичного превращения их в молекулы окиси азота )ЧО необходимо нагреть воздух до нескольких тысяч градусов. реакция окисления азота требует большой энергии активации. Несколько меньше, но тоже велика энергия активации, необходимая для распада молекул окиси на кислород и ааот. Поэтому, несмотря на энергетическую выгодность превращения окиси азота в кислород и азот при низких температурах, молекулы окиси 1ЧО чрезвычайно устойчивы по отношению к распаду.
В 4 8 гл. 111 было показано, что если нри температуре 4000' К время установления равновесной концентрации окиси азота в воздухе нормальной плотности составляет 10 ' сек, то нри 2000' К оно равно примерно 1 сек, а нри 1000' К имеет колоссальную величину порядка 10'«с«к, т. е. примерно 30 тысяч лет! Однажды образовавшаяся и охлажденная до нормальной температуры окись азота пребывает в воздухе неопределенно долгое время. В действитольности, окисленный азот продолжает свое длительное существование в аиде двуокиси ХО» (или даже комплексов г)»ОО в которые предпочитают объединяться молекулы г(О«), так как окись азота весьма быстро реагирует с кислородом воздуха и окисляется до двуокиси. Эта экзотермическая реакция требует очень небольшой энергии активации и легко протекает даже при комнатной температуре (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
