Я.Б. Зельдович, Ю.П. Райзер - Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений (1161617), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Скорость ионизации по принципу детального равновесия выражается через коэффициент рекомбинации и константу равновесия или равновесную степень нонизации. При этом уравнение кинетики для степени ионизации х = Л',/Л' (Л' — число ядер, т. е. атомов и ионов в 1 см») приобретает внд — "' = ЬА/ (х' -* ). (8.29) здесь Ь вЂ” коэффициент рекомбинации,'который при не слишком высоких температурах, не выше нескольких тысяч градусов выражается формулой (6А06): Ь = — ",—,-, А =-8,75 10 »э см« ° эвп /сев = 5,2 10 88 см«(тыся«еред)«И/сев; (8.30) хр — равновесная степень ионизацин, которая определяется формулой Саха.
При хр, небольших по сравнению с единицей приближенно: го«/«, м« хрж7 10'/ -~+----- — ) е (8,31) «а При известных законах расширения и охлаждения /«' (/), Т (г), которые даются формулами (8.25) и (8.27), выражение (8.29) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение относительно искомой функции х (/). Поскольку нас интересует главным образом качественная сторона дела, будем реглать это уравнение приближенно.
Сначала скорости ионизации и рекомбинации, пропорциональные слагаемым в правой части уравнения (8.29), велики по сравнению со скоростями расширения и охлаждения. (Для сопоставления скоростей различных процессов рассматриваем относительные скорости, измеренные 1аТ 8аФ в обратных секундах, например, —,- .„;., — „†. ) Ионизация и рекомбинация почти полностью компенсируют друг друга; степень ионизации «следит» за расширением и охлаждением, оставаясь близкой к равновесной. Приближенно х (/) ж хр (/) == хр (Т (/), Лг (/)) и разность !х« — х'! « хр'.
Малое отклонение степени йонизации от равновесной, которое неизбежно существует, поскольку температура и плотность меняются во кинвтикА в ГидродинАмичвских пРОцессАх ~гл. Рггг времени, можно оценить приближенно, полагая з левой части уравнения (8.29) Ых!Пг Ыхр/ОГ, заменяя х в выражении для коэффициента рекомбинации (8.31) на хр, а также полагая х'„— х' — 2хр (хр — х). Легко проверить, что относительное отклонение ~рхр — х' /хр растет с течением времени (так как скорость релаксационного процесса становится все меньше и меньше по сравнению со скоростью иаменения макроскопических параметров — температуры и плотности).
Ионизацнонное равновесие заметно нарушается, когда разность скоростей ионнзации и рекомбинации возрастает до величины порядка самих скоростей, т. е. когда величина ~хр — х'~ становится порядка х'. Оценить момент нарушения равновесия г, и величины Тп Лг„х, в этот момент можно, полагая, как и раньше, дх!Ю г(хр/ПГ, х — хр в коэффициенте рекомбинации и приравнивая разность х' — хтр величине хр'. Дифференцируя по времени равновесную степень ионизации по формуле (8.31) с учетом того, что быстрее всего меняется экспоненциальный больцмановский фактор, и воспользовавшись законом охлаждения (8.27), лт т который дает — „= — 3 (у — 1) —, найдем уравнение, определяющее момент нарушения равновесия: Ь,."1г,хр1гг = — (У вЂ” 1) — .
3 1 (8.32) Здесь Ь, = Ь (Т,ог1хр1). Зто уравнение совместно с выражениями для законов расширения и охлаждения (8.25), (8.27) н формулой Саха (8.31), отнесенными к моменту 1П сводится к трансцендентному уравнению для температуры Т,. Найдя Т„легко вычислить и остальные величины гп М, и хр,. (В данном приближении фактическую степень ионизации х, можно считать равной равновесной хр,.) $ 9. Кинетика рекомбинации и охлаждение газа после нарушения ноннзационного равновесия «) — — — — Ьйбхт при 1 ) 1О л (8.33) Если бы коэффициент рекомбинации Ь вообще не зависел или слабо зависел от температуры, то вследствие быстрого уменьшения плотности скорость рекомбинации быстро бы упала и рекомбинация вскоре бы совсем прекратилась. Именно таково положение при рекомбинации атомов в молекулу (см.
т 7). В данном случае коэффициент рекомбинации (8.30), напротив, очень чувствителен к температуре (Ь Т Ма) и уменьшение «) В основу этого параграфа положена работа Н. М. Кузнецова н одного нэ авторов (28). После наруптения равновесия скорость иониэации, пропорциональная х~р, продолжает быстро уменыпаться с течением времени по экспонепциальному закону е нр 0). Скорость рекомбинации, пропорциональная квадрату фактической степени ионизации, падает гораздо медленнее и вскоре становится значительно больпте скорости ионизации: х (~) >> » хр (~). В этих условиях актами ионизации можно пренебречь, полагая, что идет только рекомбинации.
Уравнение кинетики (8.29) тогда приближенно запишется в виде 1 »1 ОхлАждение ГА3А ИОсле нАРушения ионизАционноГО РАвновесия 449 скорости рекомбинации, связанное с падением плотности рас»пиряющегося газа, в значительной мере компенсируется повышением коэффициента рекомбинации за счет охлаждения. Поэтому особую важность приобретает вопрос о законе понижения температуры с течением времени. В самом деле, запишем формальное решение дифференциального уравнения (8.33) с коэффициентом рекомбинации (8.30): х( (8.34) Ч Не ~ 1+2Ах," ~ здесь значения 1„х,' определяются начальными условиями (в порядке приближения можно потребовать, чтобы интегральная кривая х (1) проходила через точку нарушения равновесия; тогда 1; = — 1„х', = х,).
Ьудем, как и раныпе, характеризовать падение температуры с течением времени степенной функцией Т По формуле (8.34) асимптотическое поведение степени ионизации существенным образом зависит от скорости охлаждения, т. е. от показателя 10 Г т. Если газ охлаждается «медленно» и т ( -- ( чему соответствует 9 (, показатель адиабаты у —..— 1 -' —, ( 1,37 ), интеграл в (8.34) при 1-~- оо 3 сходится и степень ионизации стремнтся к постоянному, отличному от нуля значению: рекомбинация не идет до конца. 10 Если же газ охлаждается «быстро» и т) —, интеграл расходится »( 1«) — — (еи — — ) и степень ионизации при 1-+- оо стремится к нулю как х 1 4 10 При т =- .
— она также стремится к нулю, только по логарифмическому 9 10 закону х — (1п 1) — не. Таким образом, при т) — электроны и ионы 9 должны в конце ко»щов полностью рекомбинировать. Но скорость охлаждения газа сама зависит от хода рекомбинации, так как при рекомбинации выделяется потенциальная энергия свободных электронов, ранее оторванных от атомов, которая частично переходит в тепло. Следовательно, решение вопроса о поведении степени ионизации во времени требует совместного рассмотрения кинетики рекомбинации и баланса тепловой энергии газа. При рекомбинации электрона в тройном соударенни электрон сначала захватывается ионом на один из высоких уровнеи атома с энергией связи е порядка йт (см.
гл. 411). затем под действием электронных ударов вто- рого рода, а впоследствии и за счет спонтанных радиационных переходов связанный электрон спускается по энергетическим уровням атома на ос- новной уровень. Процосс дезактивации возбужденного атома обычно происходит быстро по сравнению со скоростями захватов электронов ионами и изменения температуры газа. Поэтому приближенно можно считать, что образовавшийся возбужденный атом дезактивируется немедленно вслед за захватом и потенциальная энергия Т при рекомби- нации немедленно трансформируется в другие виды энергии.
Часть ее Ь'" непосредственно передается свободным электронам при электронных ударах второго рода (а затем распределяется и по всему газу в результате обмена энергией между электронами и ионами). Другая часть энергии 29 Я. Г, Зеиьхееич, Ю. П. Рааеер 450 кипнтикл в гидгодинлмичвскнх пгоцнсслх [гл. у«ы (8.35) Отсюда с учетом закона расширения Х ~ ' получаем уравнение для температуры 2 Е*, лт, г з ь+ (' ь1 ---+ 2.— =— л«««+в, л«~ (8.36) Для вычисления тепловыделения на один акт рекомбинации Е* рассмотрим процесс дезактивации возбужденного атома, образовавшегося при захвате электрона ионом.
Как отмечалось выше, электрон при тройном столкновении, как правило, захватывается яа один из очень высоких уровней атома с энергией связи Е («Т. Расстояния между уровнями в этой области состояний гораздо меньше лТ. При столкновениях со свободными электронами связанный электрон в возбужденном атоме переходит на соседние уровни, причем переходы «вверх» и «вниз» почти рав- *) В работе (28] уравнении составлены с учетом различия»лектронной и ионной температур. связи 1 — Е*, выделяющаяся при радиационных переходах, первоначально переходит в излучение в линейчатом спектре.
Это излучение частично покидает газовый объем, а частично поглощается атомами, причем поглощается главным образом резонансное излучение, соответствующее переходу возбужденного атома прямо в основное состояние. При поглощении резонансного кванта атом возбуждается, затем иалучает, новый квант поглощается другим атомом и т. д. до тех пор, пока квант не выйдет иа газового объема наружу. Происходит так называемая диффузия резонансного излучения. В течение времени диффузии кванта возбужденный атом может испытать удар второго рода и отдать энергию возбуждения в тепло.
Таким образом, некоторая часть энергии связи Х вЂ” Е*, первоначально превращающейся в излучение, со временем также перейдет в тепло. Эта часть тем меньше, чем прозрачнее газ, т. е. чем меньше длится диффузия резонансного излучения. Положим для простоты, что энергия 1 — Е* полностью теряется газом (что соответствует прозрачности газового объема). Зто предположение занижает тепловыделение в газе и приводит к занижению температуры, т. е. расчет кинетики рекомбинации при таком условии приводит к занижению степени нонизации газа, дает ее нижний предел.
Указанное допущение тем более справедливо, чем прозрачнее газ, т. е. чем более позднюю стадию раалета мы рассматриваем, так что асимптотически оно верно. Составляя здесь уравнение баланса энергии газа, будем для простоты считать, что температуры электронов н ионов (атомов) одинаковы.
Оценки показывают, что во многих случаях в течение еще довольно продолжительного времени после нарушения ионизационного равновесия обмен энергией между электронным и ионным газами происходит быстро и температуры этих газов близки друг к другу *). Запишем уравнение энергии газа из расчета на одну тяжелую частицу (на один исходный атом). 3 Тепловая энергия равна с = — (1 + х) )«Т, удельный объем Г = 1!Х, давление газа и = Л' (1 + х) лТ. Тогда $ 91 ОхлАждкние ГА3А посчк ИАРУшения иониздционного РАВновксия 451 новероятны, так что изменение анергии возбужденного атома под действием электронных ударов имеет характер диффузии по энергетической оси; при рекомбинации диффуаионный поток направлен вниз, в сторону основного состояния атома (см.' 1 18 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
