Методические указания (1161391), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

При этом эмпирическая компонента, в свою очередь, вычисляется как линейная комбинация функций, удовлетворяющих определённым требованиям и построенных на реализациях выборки:

(12),

где -априорная компонента;

-составляющая эмпирической компоненты, связанной с i -ой

реализации выборки;

- вес априорной компоненты.

Различным методам оценивания соответствуют разные значения коэффициентов из интервала [0:1] и разные виды функции .

В качестве примера можно привести следующие методы построения оценок по малой выборке:

метод прямоугольных вкладов ;

метод уменьшения неопределенности ;

метод сжатия области существования функций распределения.

Оценка плотности распределения , построенная методом прямоугольных вкладов, определяется следующим выражением:

(13),

где

-ширина функции вклада .

В качестве дополнительной априорной информации предполагается значение интервала изменения случайной величины Х.

При этом считается , что оцениваемая функция непрерывна , не имеет очень крутых скачков на заданном интервале и при и =0 при .

Оценка, построенная методом априорно-эмпирических функций , определяется выражением :

(13) ,

где - априорное распределение , построенное по априорным данным;

- эмпирическое распределение ,построенное по выборке ;

- коэффициент достоверности информации об априорном распределении .

3.7. Стратегия экспериментирования.

3.7.1. Классификация экспериментов

Способы накопления информации в процессе экспериментального исследования объекта можно разделить на активные и пассивные. В соответствии с этим выделяются активный и пассивный эксперименты.

Рис.1. Классификация экспериментов

Пассивным называется эксперимент , при котором уровни факторов в каждом опыте регистрируются исследователем , но не задаются.

Активный эксперимент - эксперимент , в котором уровни факторов для каждого опыта задает исследователь.

Пассивный эксперимент заключается в наблюдении и регистрации параметров в режиме нормального функционирования объекта без внесения преднамеренных возмущений .

Активный эксперимент основан на преднамеренных возмущениях , вводимых в исследуемый объект по заранее спланированной программе.

Активно-пассивный эксперимент характеризуется тем, что при его проведении часть данных просто регистрируется ,а другая часть ,кроме того, обрабатывается в процессе эксперимента и участвует в выработке управляющих воздействий.

Различают статистическое и последовательное планирование эксперимента.

Статистическое планирование эксперимента - это априорное планирование всего эксперимента в целом.

Последовательный эксперимент может быть определен как эксперимент ,реализуемый в виде серии опытов , при этом условия проведения каждой серии определяются результатами предыдущей серии.

В настоящее время выделяют два основных направления в математической теории планирования экспериментов : планирование экстремальных экспериментов и планирование экспериментов по выявлению механизма явлений.

Планирование первого типа применяется в тех случаях, когда необходимо найти оптимальные условия протекания процессов в объекте исследования , когда механизм явлений слишком сложен. Экстремальный эксперимент заканчивается определением оптимальных условий протекания процессов в объекте исследования.

Планирование второго типа связано с получением математических моделей исследуемых объектов по экспериментальным данным в виде различных функциональных зависимостей. В этом случае статистические методы планирования эксперимента выступают в качестве одного из эмпирических способов получения математического описания сложных объектов. Математическое описание обычно представляется в виде функции регрессии.

Регрессионная модель устанавливает количественные соотношения между величиной отклика и вектором контролируемых или только управляемых факторов.

Задача нахождения математического описания исследуемого объекта по экспериментальным данным сводится к оценке вида и параметров функции регрессии.

Эксперимент, реализованный для определения оценок неизвестных параметров регрессии или для оценивания значений неизвестной функции отклика в некоторой области факторного пространства, называют регрессивным. Регрессивный анализ применим для обработки результатов наблюдений , получаемых как в результате активного , так и пассивного эксперимента .

3.7.2. Понятие о регрессионном анализе. Регрессионный анализ результатов активного эксперимента

При изучении взаимосвязи между различными величинами , характеризующими исследуемый объект , различают две формы связи : функциональную и стохастическую.

Строго функциональная зависимость характерна тем, что каждому допустимому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой переменной.

При стохастической связи с изменением одной величины меняется распределение другой.

Полную характеристику стохастической зависимости между двумя величинами и дает условное распределение зависимой от случайной величины .

Однако его отыскание как правило , оказывается весьма трудной задачей. Поэтому на практике обычно рассматривают условное математическое ожидание этой величины . Если каждому значению х величины соответствует одно значение условного математического ожидания случайной величины , то условная средняя есть функция от х. Эту функцию называют функцией регрессии.

Точное уравнение регрессии

можно написать только зная условное математическое ожидание как функцию от х . На практике такая ситуация встречается весьма редко. В связи с этим различают теоретическую функцию регрессии, подразумевая под таковой истинную функциональную зависимость и эмпирическую функцию регрессии .

Таким образом , на практике мы можем искать лишь уравнения приближенной регрессии , оценивая тем или иным способом величину и вероятность этой приближенности.

Определение . Регрессивный анализ есть статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных, основанный на оценивании параметров заданной функциональной модели объекта и проверке гипотез о ее статистических свойствах.

Пусть переменная зависит от K факторов и линейна относительно неизвестных параметров

(1) ,

где - вектор с компонентами ,

принадлежащей некоторой области в

факторном пространстве , т.е. области , в

которой возможны наблюдения;

- вектор параметров модели ;

-известные функции, являющиеся компонентами вектора

.

Используя векторные обозначения вместо (1) , можно написать

(2)

Пусть эксперимент состоит из опытов в которых факторы принимают фиксированные значения

.

В результате действия случайных возмущений при эксперименте наблюдается реализация функции

,

где - случайная погрешность.

Предположим , что при каждом из данного опытов значения - независимые в совокупности случайные величины, независящие от , , и распределенные нормально с параметрами . Выбирая некоторые значения факторов , получим значения

.

Итак , проведенный эксперимент можно характеризовать совокупность значений

При введенных допущениях результаты наблюдений являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с математическим ожиданием и одинаковой для всех наблюдений дисперсией .

Задача состоит в нахождении оценок неизвестных параметров регрессивного уравнения (1).

Поставленная задача наиболее часто в настоящее время решается методом наименьших квадратов. При сделанных предположениях этот метод , при котором оценка находится из условия

(4)

приводит к получению лучших линейных оценок параметров .

Под наилучшей линейной оценкой здесь понимается оценка , принадлежащая классу оценок , образуемых линейными комбинациями результатов наблюдений , являющаяся несмещенной и имеющая минимальную дисперсию

Введем обозначения :

- - мерный вектор-столбец наблюдений

(5)

- прямоугольная матрица размерности , задающая значения функций в наблюдениях ;

- вектор, определяющий значение функции в -ом наблюдении ;

- вектор погрешностей .

Тогда наряду с (3) имеем

(6)

Сопоставим теперь друг с другом экспериментальные результаты

и результаты ,

рассчитанные с помощью эмпирической функции регрессии (регрессионной модели исследуемого объекта)

(7)

где - вектор оценок параметров модели .

Имеем (8)

или соответственно (9)

В соответствии с методом наименьших квадратов оценку вектора параметров выбираем так , чтобы

В силу (8) можно записать или

. (10)

S является расширенной квадратичной формой, которая в случае невырожденной матрицы имеет единственный минимум при

(11)

Матрица не вырождена, т.е. , если матрица имеет ранг .

Матрица (информационная матрица Фишера) квадратная, положительно определённая и невырожденная в случае, если и хотя бы наблюдение проведено в различных точках факторного пространства (пространства входных переменных) .

Оценки можно найти путём решения системы нормальных уравнений

Характеристики

Список файлов книги