Методические указания (1161391), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

или с учетом (11)

(13)

Так как -- число, то (14).

Обозначим через -- дисперсию компоненты , через -- корреляционную матрицу компоненты и вектора , а через -- корреляционную матрицу вектора , т.е.

(15)

В силу (3) и (4)

(16)

Отсюда с учетом (14)

(17)

Подставляя (16) и (17) в (13), находим

(18).

Беря частные производные от по компонентам вектора и приравнивая их нулю, получаем систему из m уравнений для определения компонент . Эта система может быть записана в виде одного матричного уравнения

(19)

из которого находим (20).

Подставляя найденное значение в (11), получим формулу для оценки :

(21).

Как следует из (21), оценка каждой компоненты вектора может быть произведена независимо от оценки других компонент.

Поэтому будем рассматривать только одну из компонент и для простоты записи опускать индекс . При этом оценка вероятностной характеристики в соответствии с (21) будет

(22)

где -- статистическое значение искомой вероятностной характеристики точной модели; и -- точное и статистическое значение вектора вероятностных характеристик упрощенной модели; и - случайные величина и вектор.

При практическом использовании формулы (22) корреляционные матрицы и могут быть заменены их статистическими оценками

(23)

(24)

Определим выигрыш в точности оценки . Дисперсия оценки в силу (22) будет

(25)

или

(26).

Так как и -- скалярные величины и матрица симметрична, то

,

(27).

Поскольку

(28),

то из (26) с учетом (27) и (28) следует:

(29).

Если ввести коэффициент корреляции величины и вектора

(30),

представляющий собой матрицу-строку с m столбцами, то из (29) можно получить (31).

При m=1 представляет собой обычный коэффициент корреляции двух случайных величин, а есть квадрат множественного коэффициента случайной величины и случайного вектора . Дисперсию оценки целесообразно сравнить с дисперсией статистической оценки . В качестве сравнительной меры точности можно использовать отношение

(32)

Значение определяет выигрыш от применения комбинированного метода оценивания по сравнению с обычным методом статистических испытаний.

Так как (33), то (34).

Таким образом, чем больше квадрат множественного коэффициента корреляции, тем больше выигрыш от использования результатов, полученных на упрошенной модели.

Точность оценки по сравнению с оценкой получается выше, так как при формировании оценки оптимальным образом используются результаты моделирования на упрощенной модели.

В ряде случаев необходимо находить значение вероятностных характеристик с заданной точностью. При этом за счет применения изложенного метода можно получить выигрыш в числе экспериментов. Найдем значение этого выигрыша.

Пусть необходимая точность получения оценки каждой вероятностной характеристики задана дисперсиями . Тогда при обычном методе статистических испытаний для определения -й компоненты вектора вероятностных характеристик потребовалось бы экспериментов, где (35).

Поскольку все n компонент находятся по результатам одних и тех же экспериментов, то необходимое число экспериментов при обычном методе статистических испытаний будет (36).

При применении метода коррелированных процессов для определения -й компоненты с той же точностью необходимо экспериментов, где

(37).

Необходимое же число экспериментов для получения всех компонент равно

(38).

Выигрыш в числе экспериментов при применении метода коррелированных процессов по сравнению с обычным методом статистических испытания составляет (39).

Если определяется одна вероятностная характеристика, то выигрыш в числе экспериментов равен (40).

В данном случае выигрыш в числе экспериментов равен выигрышу в точности дисперсии.

В общем случае исследуемые вероятностные характеристики точной модели могут отличаться по физической сущности и по количеству от вероятностных характеристик упрощенной модели. Можно показать, что с увеличением числа вероятностных характеристик, рассматриваемых в упрощенной модели, эффективность метода повышается.

Поскольку практически в формуле (22) возможно использовать только статистические оценки корреляционных матриц, то вместо оценки приходится применять оценку:

(41).

Можно показать, что оценки и близки по точности даже при сравнительно небольшом числе экспериментов. Поэтому замена корреляционных матриц их статистическими значениями возможно при сравнительно небольшом числе экспериментов. Проигрыш в эффективности метода будет незначительным уже при .

3.5.2. Особенности построения упрощенных моделей

Очень важным свойством метода коррелированных процессов является его универсальность и пригодность для оценивания характеристик систем любой степени сложности. Однако для его реализации необходимо дополнительно разрабатывать упрощенные модели системы. Здесь понятие упрощенной модели трактуется более широко, чем обычно понимаемое. Действительно, если в обычном смысле под упрощенной моделью понимают модель, процессы в которой достаточно близки к процессам в исходной точной модели, то в данном случае требуется только лишь достаточная коррелированность значений процессов в этих моделях, определяющих векторы и . Указанное различие требований к упрощенным моделям оказывается весьма существенным.

Обычно построение упрощенной модели осуществляется путем пренебрежения малосущественными процессами в элементах исходной системы, линеаризации характеристик элементов, принятия допущений о стационарности элементов и процессов, пренебрежение дискретностью процессов и т.д.

К числу весьма важных обстоятельств, расширяющих понятие упрощенной модели, относится то, что в исходной точной и упрощенной моделях в общем случае могут рассматриваться разные вероятностные характеристики, соответствующие различным физическим процессам, и число их для обеих моделей может быть неодинаковым.

Чем большее число вероятностных характеристик упрощенной модели определяется, тем больше эффективен метод корреляционных процессов. Число рассматриваемых вероятностных характеристик в упрощенной модели может быть даже больше, чем в исходной.

Установление степени соответствия исходной и упрощенной модели должно производиться по корреляционным моментам статистических значений вероятностных характеристик, причем эти моменты находятся по тем же экспериментам, что и сами вероятностные характеристики.

Поэтому описанный комбинированный метод оценивания вероятностных характеристик называют методом коррелированных процессов. Название метода подчеркивает, что его эффективность зависит от степени корреляции процессов в исходной и упрощенной моделях.

Сравнительно универсальным методом построения упрощенной модели можно считать метод, при котором упрощенная модель строится из серии отдельных типовых элементарных частей. В ходе статистических испытаний элементарных частей, составляющих упрощенную модель, совместно с исходной моделью можно из них исключить те, которые несут значительную информацию о вероятностных характеристиках исходной системы. Малая информация соответствует малой величине коэффициента корреляции значений процессов в элементарной части и исходной системе.

Необходимое для указанного отбора элементарных частей коэффициенты корреляции находятся по результатам экспериментов.

После исключения указанных элементарных частей число их в упрощенной модели уменьшается и, следовательно, облегчается определение оценок вероятностных характеристик.

3.6 Обработка экспериментальных данных при моделировании

сложных систем

3.6.1. Оценка вероятности наступления события по

экспериментальным данным

В основе эмпирических методов определения вероятности наступления некоторого события лежит закон больших чисел. Из этого закона следует практический вывод о том , что для определения вероятности некоторого события необходимо провести серию опытов при соблюдении определенного комплекса условий и по результатам испытаний вычислить относительную частоту наступления события в этой серии опытов.

Для определения оценки вероятности применяя метод максимального правдоподобия получим = , где - число успешных исходов в независимых испытаниях.

В курсе теории вероятности доказывается , что полученная оценка является несмещенной , эффективной и состоятельной.

Доверительный интервал для вероятности события при испытаниях по схеме Бернулли может быть найден как доверительный интервал для параметра биномиального распределения .

Границы интервала определяются из условия где - доверительная вероятность.

Можно найти бесконечно много чисел и , для которых выполняется последнее условие. На практике обычно берут центрально построенные доверительные интервалы и определяют их таким образом , чтобы вероятность выхода параметра за его границы не превышала некоторой малой величины при одинаковых вероятностях

выхода за каждую из границ.

Верхняя и нижняя доверительные границы могут быть найдены из следующих соотношений :

(1)

(2)

Таким образом, доверительные границы определяются по заданной доверительной вероятности и оценки вероятности = , причем должны быть известны в отдельности и . Решение уравнений затабулировано в соответствующих таблицах. При необходимости доверительные границы могут быть определены как соответствующие В-распределения. В этом случае нижняя и верхняя границы определяются как решения уравнений :

Характеристики

Список файлов книги