Методические указания (1161391), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

В этих условиях вполне естественно проверить гипотезу :

о тождественности законов распределения выборок, характеризующих результаты моделирования , ... , и результаты комплексных испытаний , ... , . Если гипотеза оказывается справедливой, то можно считать, что модель воспроизводит правдоподобный ансамбль реализации и может быть использована для оценивания показателей эффективности исследуемой системы.

На практике из-за малого числа комплексных испытаний системы проверку гипотезы : часто дополняют серией аналогичных проверок, осуществляемых для внутренних процессов системы. Если эти проверки также дают положительный результат, то доверие к результатам имитационного моделирования существенно повышается.

Рассмотрим теперь оценочную ситуацию, когда гипотеза : не справедлива. Если рассчитанный уровень значимости превышает заданный уровень незначительно и есть убежденность в достаточной точности данного варианта построения модели, то на модель можно получить большую статистику и заново проверить исходную гипотезу. Когда проверка дает опять отрицательный результат, то нужно проводить более глубокие исследования.

Цель этих исследований состоит в определении величины смещения относительно Е, которое возникает из-за эффектов нелинейного преобразования моделью погрешностей расчета вероятностных мер , . Если операция по расчету величины смещения реализуемы без значительных затрат на моделирование, то смещение в оценках необходимо устранить и снова перейти к проверке гипотезы .

Если и в этом случае гипотеза отвергается, то нужно перейти к решению задач:

• проверки гипотезы о достаточной точности моделей, выбранных для описания процессов в реальных элементах;

• оценки правильности функциональных и логических схем сопряжения элементов и подсистем в единую модель сложной системы;

• обоснованности методов, используемых при оценке законов распределения параметров моделей элементов.

Фактически решение этих задач означает, что мы должны заново пересмотреть концепции, которые были приняты при разработке первого алгоритма системы.

В зависимости от точности измерителей, используемых при проведении реальных испытаний, а также физической природы анализируемых процессов меры близости моделируемых и реальных процессов можно выбрать различными. Так, для высокоточных измерений и непрерывных процессов метрику выбирают в классе непрерывных функций, которая характеризует максимальное расстояние между функциями на выбранном участке их непрерывности. При наличии случайных погрешностей в измерениях близость функций характеризуют в терминах среднеквадратических приближений.

После установления причин несоответствия модели реальной системе моделирующий алгоритм системы дорабатывается и весь цикл проверок повторяется. Он завершается тогда, когда гипотеза оказывается справедливой, а модель считается пригодной для оценивания показателей эффективности сложной системы.

3.3. Проверка адекватности моделей исследуемых систем.

3.3.1 Понятие адекватности.

Основная логическая сложность суждения о свойствах реального объекта по результатам исследований его модели состоит в том, что по результатам исследований одного объекта модели необходимо сделать вывод о свойствах объекта-оригинала.

Основанием для выводов о свойствах реального объекта-оригинала по результатам исследований его моделей могло бы служить утверждение о том, что поведение эквивалентных систем идентично. Отметим, что отношение R, которое рефлексивно, симметрично и транзитивно, называется эквивалентностью. Эти свойства символически записываются в виде . Однако эквивалентность является весьма сильным отношением и в строгом математическом смысле для реальных объектов некогда практически не может быть достигнута.

Таким образом, эквивалентность между реальным объектом и его моделью весьма условна. Уместно говорить лишь об их сходстве или об их адекватности. Но такие нестрогие понятия, как сходство и адекватность, требуют определенной формализации, чтобы можно было их использовать для сопоставления модели и реального объекта-оригинала.

Для решения задач моделирования большие удобства представляет структура окрестностей (из понятий множеств), поскольку естественно предполагать, что элементы окрестности некоторого элемента обладают общими с ним свойствами и эти свойства убывают по мере удаления от этого элемента. Именно на понятии такой окрестности и базируется понятие адекватности.

Системы называются адекватными, если для каждой пары «вход-выход» одной системы А найдется по крайней мере одна такая пара «вход-выход» другой системы В, элементы которой входят в один и тот же класс качественных различий, что элементы первой системы.

Класс качественных различий есть совокупность всех элементов некоторого множества, о которых выносится определенное качественное суждение, например, что все эти элементы обладают свойством q .

Адекватность означает идентичность, неразличимость двух предметов, явлений, процессов в определенном смысле и по определенным признакам, показателям.

3.3.2 Меры адекватности

Допустим, что имеется возможность ввести метрической пространство математических образов, описывающих модель и объект. Обозначим через точку пространства, соответствующую объекту, а через М -- точку, соответствующую модели. Тогда в качестве меры близости модели к объекту целесообразно использовать расстояние между точками и М.

Как известно, неотрицательная действительная функция , определенная для любых и из некоторого допустимого множества Х, является расстоянием (метрикой) в метрическом пространстве (Х, ), если она удовлетворяет трем условиям:

1. =0 Тогда, и только тогда, когда = -- аксиома тождества;

2. -- аксиома треугольника;

3. -- аксиома симметрии.

Определить расстояние в множестве Х можно не единственным образом. Часто оказывается, что на одном и том же непустом множестве можно задать несколько метрик. Использование различных метрик приводит к созданию различных метрических пространств.

Если и -- некоторое положительное вещественное число, то подмножество называется открытым шаром радиуса с центром в точке . Открытый шар радиуса с центром называется также -- окрестностью точки и обозначают .

Говорят, что последовательность точек метрического пространства Х сходится в точке , если каждая окрестность точки содержит все точки , начиная с некоторой, т.е. если для всякого найдется такое число , что содержит все точки с .

Точка называется пределом последовательности . Это определение можно сформулировать еще и следующим образом: последовательность сходится к , если .

Последовательность точек метрического пространства Х называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для каждого существует такое целое , что при любых .

Если в некоторых метрических пространствах Х любая фундаментальная последовательность Х сходится к некоторому пределу (принадлежащему X), то пространство Х называется полным.

Можно было бы считать, что модель М адекватна объекту , если мера близости равна нулю, т.е. . (1)

Но на практике в силу ряда причин вероятность получения условия является нулевой. Поэтому реально условие адекватности должно иметь вид: . (2)

При выполнении условия (2) говорят, что модель адекватна объекту с точностью до или просто -адекватна. Выполнение условия (2) называют -адекватностью. Выполнение же условия (1), которое имеет чисто теоретическое значение, можно называть абсолютной адекватностью.

Рассмотрим пространство Х непрерывных на отрезке вектор – функций . Вектор – функция считается непрерывной, если каждая ее компонента является непрерывной функцией на отрезке Т. Введем расстояние между различными элементами и данного пространства по формуле

(3).

Справедливость первой и второй аксиом расстояния для функции (3) очевидна. Аксиома треугольника также удовлетворяется, но доказательство достаточно трудоемко и в лекции мы его рассматривать не будем.

Метрическое пространство Х с метрикой (3) не является полным.

Полное метрическое пространство получится в том случае, если в Х ввести расстояние по формуле

(4).

Однако функция (4) является менее удобной с прикладной точки зрения.

3.3.3 Критерий адекватности в пространстве параметров состояния.

Рассмотрим реальную систему S и ее математическую модель G.

Пусть действительное поведение исследуемой системы S на отрезке времени характеризуется n-мерной вектор-функцией . Будем полагать, что значение этой функции в каждый момент времени однозначно определяет состояние системы. Функция есть траектория состояния системы или фазовая траектория.

Дать точное представление действительного поведения системы в математической форме обычно очень сложно (или вообще невозможно). Приближенная математическая модель G дает описание этого поведения.

Среди всевозможных траекторий состояния модели G может не существовать такой траектории, которая полностью совпала бы с действительной траекторией состояния системы S.

Характеристики

Список файлов книги