Методические указания (1161391), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

, где - диагональная матрица веса размера (N x N), элемент которой, стоящий на пересечении i-строки и i-столбца, есть .

Если W - единичная матрица, то получается выражение как для метода наименьших квадратов.

Пример.

2.4.3. Математическое моделирование.

Метод исследования, связанный с определением количественных характеристик законов вооруженной борьбы, приводит к созданию математических моделей боевых действий, с помощью которых можно будет решать задачи прогнозирования.

Построение математической модели проводится с участием специалистов по ведению боевых действий и управлению ими. При этом на первом этапе построения модели вводится система допущений, являющаяся отражением основных представлений о существенных сторонах исследуемого процесса, выявленных при его изучении. Проверка качества полученной математической модели производится при глубоком логическом анализе результатов моделирования. Такой анализ производится опять же специалистами по ведению боевых действий и управлению ими.

Пример из Динамики средних.

Наибольшая сложность при прогнозировании представляет случаи скачкообразных изменений в развитии процесса. С математической точки зрения скачки в развитии процессов связаны с понятием разрыва функции, характеризующей детерминированную основу процесса, или ее производной.

Во втором случае скачки в развитии процессов можно подразделить на две группы :

- после подобного скачка сохраняется качественное соотношение между параметрами системы (с ростом одного из них другой по-прежнему возрастает или убывает),

- после скачка нарушается существовавшее ранее качественное соотношение между параметрами.

Скачки непосредственно связаны с изменением детерминированной основы либо через изменение самого вида функции (например, изменения в военном деле в связи с появлением ядерного оружия), либо через скачкообразное изменение ее параметров (коэффициентов).

Например, переход от баллистического движения летательного аппарата к управляемому, связанному с включением ракетных двигателей (реактивная тяга).

Большое количество процессов, описываемых моделями расширенного воспроизводства, подвержены скачкообразным изменениям, связанным с изменением константы воспроизводства.

фотография

В ремя перехода от телефон

л абораторных иссле- радио

д ований к массовому транзистор

п роизводству ядерный реактор

солнечная батарея

годы

Значительное количество процессов описываются зависимостью вида , характеризующей связь между двумя в общем случае разнородными величинами у и х . Эту зависимость называют законом неравномерного (аллометроческого) роста.

В принципе скачок в развитии процесса может рассматриваться как переход из одного устойчивого состояния в другое, например, при потери устойчивости системы в ее прежнем виде. Естественным математическим аппаратом для прогнозирования скачков являются качественные методы мат.анализа, позволяющие определить области структурной устойчивости системы и границы таких областей.

2.5. Комбинированное прогнозирование.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2.5.1. Логический анализ при прогнозировании.

Комбинированный эвристико-математический прогноз формируется в результате совместной обработки результатов эвристического и математического прогнозирования.

Логический анализ является процессом выявления и ликвидации противоречий, возникающих по мере проведения исследовательского процесса прогнозирования, с тем чтобы его результаты и рекомендации не противоречили установившимся к настоящему времени теоретическим положениям и здравому смыслу.

Логический анализ позволяет :

- установить возможные пределы изменения тех или иных величин,

- предсказать тенденцию развития процесса,

- установить факт превалирования в будущем одного процесса над другим,

- предсказать скачкообразное изменение в процессе и др.

При логическом анализе используется расчленение прогнозируемого процесса на части и их анализ. При этом строятся т.н. «дерево целей» и «дерева относительной важности» некоторых параметров.

С помощью математических и эвристических методов оцениваются сроки реализации событий на каждой ветви и итоговый срок.

2.5.2 Совместное использование результатов эвристического и математического прогнозирования.

Логический анализ используется для определения «противоречивости» и «непротиворечивости» параллельно проводящихся эвристического и математического прогнозирования.

Пусть мы имеем данные прогнозирования некоторой величины, характеризующей исследуемый процесс, двумя различными методами :

- точечные, и - интервальные прогнозы при данном уровне вероятности Р.

Требуется найти комбинированный прогноз - и .

Решение задачи состоит из двух самостоятельных этапов :

- сравнение результатов прогнозирования для определения

«противоречивости»,

- вычисление значения комбинированного прогноза в случае

«непротиворечивости» исходных прогнозов.

Сравнение результатов.

Что вкладывается в понятие «противоречивости»? Ясно, что точечные прогнозы практически совпадать не будут. Могут иметь место различные соотношения доверительных интервалов разных прогнозов :

- охватывает , тогда общая область ,

- доверительные интервалы частично перекрываются,

- не имеется общей области .

Тогда «непротиворечивостью» можно считать:

- прогнозы принадлежат общей области ,

- величина общей области такова, что .

В случае симметричного распределения ошибок прогнозов, второе условие для К=0.5 и при выполнении первого условия - выполняется всегда.

Другое определение «противоречивости» базируется на методе проверки нулевой гипотезы.

Рассматривается величина , где - оценки дисперсий комбинируемых прогнозов.

При нормальном распределении прогнозов величина t распределена по закону Стьюдента с степенями свободы, а - соответственно степени свободы Х-квадрат распределений оценок дисперсий прогнозов. Условие «непротиворечивости» в этом случае эквивалентно выполнению неравенства относительно табулированного q - процентного предела для распределения Стьюдента , с k - степенями свободы.

Вычисление значения комбинированного прогноза.

Если результаты двух методов прогнозирования непротиворечивы, то комбинированный метод дает несмещенную оценку будущего значения прогнозируемой величины. И хотя комбинируемые прогнозы не являются равноточными (в смысле дисперсии ошибки прогноза), однако комбинирование имеет смысл, так как ошибка комбинированного прогноза может быть сделана меньше, чем меньшая из дисперсий прогнозов. Т.е. в статическом смысле комбинированный прогноз обладает большей точностью, чем любой из комбинируемых прогнозов.

Комбинируемый прогноз формируется в виде :

, где - веса прогнозов.

Из рассмотренного видно, что задача получения комбинированного прогноза сводится к задаче отыскания весов, обеспечивающих минимальное значение дисперсии ошибки комбинированного прогноза, которая может быть записана , где неизвестные дисперсии прогнозов, а r - коэффициент их корреляции.

Из условия минимума комбинированной дисперсии получаются выражения для оптимальных весов

Выражение для минимальной дисперсии комбинированного прогноза примет вид

В часто встречающемся на практике случае отсутствия корреляции, а также при равноточности комбинируемых прогнозов, комбинированный прогноз находится как среднеарифметическое прогнозов и дает выигрыш в 30% в точности.

2.5.3.Прогонзирование и принятие решения.

Лицо, принимающее решение на основании прогноза руководствуется следующими факторами :

- значимость (полезность) результатов прогноза,

- насколько легко осмыслить эти результаты,

- степень прояснения будущей ситуации прогнозом,

- количественность прогноза (наличие конкретных цифр),

- наличие графического оформления и т.д.

Для подготовки решения широко применяются методы исследования операций, дающие оптимальное (с точки зрения математики) решение проблемы. В их основе лежит построение модели операции, выбор критериев, по которым производится оптимизация, определение исходной информации для модели и поиск решения с помощью математических методов.

Раздел 3. Методы оценки показателей эффективности сложных систем военного времени

3.1. Эффективность сложных технических систем.

Показатели и критерии эффективности.

3.1.1 Цели и задачи технических систем

Характерным признаком сложной технической системы является наличие целей функционирования, которые достигаются одновременным и последовательным выполнением (решением) ряда достаточно чётко очерченного класса задач. Цели и задачи системы могут быть представлены в виде определенной иерархической структуры. Из целей функционирования системы определяются её задачи, а также цели для подсистем первого уровня. В свою очередь, из целей подсистем первого уровня вытекают их задачи, а также цели подсистем второго уровня и т.д.

Разработка целей для создаваемой системы требуют анализа целей и задач более высокой по уровню системы, в которою разрабатываемая система может войти в качестве подсистемы первого, а иногда и второго уровня.

Задачи чаще всего задают в количественной форме. Задача -- желаемый результат деятельности, достижимый за заданный интервал времени и характеризующийся набором количественных данных или параметров этого результата.

Например, задача системы управления заключается в том, чтобы обеспечить наименьший средний квадрат ошибки процесса управления.

Цель выступает как более общая категория, чем задача. В общем случае цель – это декларация с требуемым результатом, обладающим определенной полезностью. Цели обычно имеют качественный характер, а степень их выполнения характеризуют показателями системы. Целью системы является достижение определенного заданного результата (эффекта).

Характеристики

Список файлов книги