Методические указания (1161391), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Поэтому вектор параметров состояния модели G в отличие от будет обозначаться буквой , . Значение вектора есть начальное состояние. Априорная информация о векторе начальных состояний может быть задана или в виде множества К возможных начальных состояний, К или в виде функции плотности многомерного распределения вероятностей .

На практике часто в качестве модели динамической системы используется система дифференциальных уравнений n-го порядка G:

, , .

В случае стохастической модели правая часть этого уравнения содержит вектор случайных возмущений.

Наряду с векторами параметров состояния и реальной системы S и ее модели G соответственно рассматривают наблюдаемые выходы и системы и ее модели.

Функциональное соответствие между параметрами состояния и измеряемыми параметрами называют уравнениями измерений или уравнениями измеряемых выходных переменных.

Уравнения измерений для модели G можно представить в виде , где m-мерный вектор – столбец измеряемых параметров. Для сравнения модели и реальной системы необходимо выбрать сопоставляемые элементы и переменные, характеризующие поведение этих элементов.

Рассмотрим критерии адекватности в пространстве траекторий параметров состояния.

Если траектория параметров состояния реальной системы S (точной ее модели) и ее математической модели G (упрощенной модели) считать непрерывными на отрезке Т вектор-функциями, т.е. и , то расстояние (3) можно использовать в качестве меры близости между S и G.

Назначим величину и введем ряд определений.

Определение 1. Математическая модель G называется -адекватной реальной системе S с начальными условиями , если существует такая точка , где К - множество начальных состояний, в которой

(5) .

Определение 2. Математическая модель G называется частично -адекватной реальной системе S с начальными условиями , если существует такая точка , в малой окрестности которой выполняется условие (5).

Определение 3. Математическая модель G называется глобально -адекватной, если она -адекватна (частично -адекватна) реальной системе S в каждой точке .

Наконец, математическую модель G называют эквивалентной реальной системе S, если на всем множестве начальных условий К величина .

С использованием введенных определений можно устанавливать близость и различных математических моделей между собой. Если известно, что модель -адекватна реальной системе S и расстояние между моделями , то модель уже не может быть -адекватна системе S. Действительно, в этом случае из неравенства треугольника следует

.

Заметим, что понятие -адекватности определяет близость моделей G и системы S только в пространстве параметров состояния и не затрагивает их структурную близость.

Величина представляет собой среднеинтегральное расстояние между траекторными состояниями реальной системы и ее модели. Она может быть назначена из чисто практических целей.

Определение 1-3 можно непосредственно использовать в качестве критериев -адекватности только в том случае, если в нашем распоряжении имеется наиболее точная модель реальной системы S, которая по причине ее сложности может быть заменена в задаче оценивания характеристик системы более выгодной и простой в вычислительном отношении моделью G. В противном случае установить -адекватность можно только с помощью измерительной информации, получаемой в процессе проведения реального эксперимента. Для этого необходимо сначала найти соответствующие условия -адекватности в пространстве измеряемых параметров.

3. 4. Методы повышения эффективности процедур оценки характеристик сложных систем при имитационном моделировании.

3.4.1. Возможные пути повышения эффективности процедур оценки характеристик сложных систем

Если в качестве показателя эффективности сложных систем выбрано математическое ожидание Е функционала , определенного на множестве переменных системы , то его значение равно интегралу

(1)

где -- некоторая заданная вероятностная мера, определяющая распределение переменной .

При вычислении интеграла (1) методом статистических испытаний эксперименты на модели системы осуществляют так, чтобы они были независимы по ансамблю реализаций. Результаты моделирования, представляемые в виде выборки , используют для вычисления среднего арифметического

(2)

принимаемого за оценку математического ожидания Е – истинного значения показателя эффективности. Основанием для этого служит тот факт, что среди линейных несмещенных оценок среднее арифметическое имеет наименьшую дисперсию.

Несмещенность оценок вытекает из того, что при увеличении N оценка сходится к истинному значению E.

Для контроля текущей точности оценок вычисляют оценку дисперсии среднего арифметического параллельно с основными вычислениями.

Скорость убывания дисперсии оценки пропорциональна . Такая малая скорость сходимости оценок к Е является одним из основных недостатков метода Монте-Карло в его простейшем виде. Этот недостаток является следствием того, что при получении оценок не используются априорные сведенья о свойствах интегрируемой функции и о вероятностной мере .

Для ускорения сходимости оценок к истинным значениям разрабатываются и применяются различные приемы уменьшения дисперсии оценок. Они базируются на преобразованиях случайных величин, сохраняющих их среднее значение, но изменяющих дисперсию. Располагая определенным набором преобразований случайной величины, сохраняющих ее математическое ожидание, но изменяющих дисперсию, можно строить модификации метода Монте-Карло более эффективные, чем исходная.

Возможность указанного преобразования случайных величин вытекает, например, из равенства

,

где -- абсолютно непрерывна по отношению к ;

-- производная Радона-Никодима мера по мере .

Это представление дает возможность вычислять вместо среднего значения по мере среднее значение по мере .

Если , то , вообще говоря, .

С вычислительной точки зрения недостаточно выбрать таким образом, чтобы была меньше, чем , так как моделирование случайной величины может оказаться значительно сложнее, чем моделирование исходной. Поэтому следует использовать преобразования, уменьшающие вычислительную работу, необходимую для достижения заданной точности при заданной надежности.

Применение методов уменьшения дисперсии при имитационном моделировании по сравнении с методом Монте-Карло вызывает ряд новых проблем. Это связано с существованием различия между имитационным моделированием и методом Монте-Карло в двух аспектах.

1. Наблюдения в методе Монте-Карло независимы, рассматриваемые функции статистические. В имитационном моделировании процесс протекает во времени (функции динамические), и, как правило, между последовательными наблюдениями есть корреляция.

2. В задачах Монте-Карло входную переменную можно выразить как относительно простую функцию от случайных входных переменных и параметров. При имитационном моделировании обычно это очень сложная функция, которую нельзя сформировать иначе, как только с помощью всей моделирующей программы (функция выражается явно через входные переменные только с помощью самой моделирующей программы).

Из-за указанных различий методы уменьшения дисперсии, которые применяются в исследованиях Монте-Карло, нужно приспосабливать для имитационного моделирования.

Рассмотри более подробно сущность и содержание отдельных методов повышения эффективности процедур оценивания вероятностных характеристик сложных систем.

3.4.2.Метод выделения главной части.

Пусть требуется оценить показатель эффективности, определяемый интегралом

(3)

где -- плотность вероятности.

Если достаточно близкая к функция, и такая, что интеграл

(4)

известен или может быть легко вычислен аналитически или с помощью простой квадратной формулы, то значение целесообразно принять за главную часть исходного интеграла (3) и оценивать обычным методом Монте-Карло интеграл

(5)

с помощью среднего арифметического ,

где независимы и распределены с плотностью . Тогда в качестве оценки показателя эффективности Е можно взять величину

, (6)

ибо ее математическое ожидание равно истинному значению этого показателя:

,

Поскольку является главной частью интеграла (3), то следует ожидать, что погрешность в вычислении интеграла (5) методом Монте-Карло, определяющая погрешность оценки Е, будет меньше, чем если бы интеграл (5) находился только методом Монте-Карло без выделения главной части . Дисперсия оценки в этом случае равна

,

где . Условия, для которых этот прием выгоден, устанавливаются для каждой конкретной задачи. Для этого необходимо предварительно оценивать дисперсию аналитически или по данным выборки умеренного объема.

Если в качестве выбрать линейную комбинацию некоторых заданных функций : , то может быть поставлена задача о выборе коэффициентов , при которых достигает минимума. В данном случае функция должна быть отрезком ряда Фурье по системе функций, полученной из системы процессом ортогонализации.

Общие правила выделения главной части указать трудно: в различных задачах это делается по-разному.

Характеристики

Список файлов книги