Методические указания (1161391), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

переменных,

- в логическом анализе результатов прогнозирования.

Наиболее старым и широко используемым математическим методом обработки статистических данных является метод наименьших квадратов.

При реализации метода оценки неизвестных коэффициентов, входящих в экстраполяционную зависимость, , находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений :

, (*)

где N - число точек статистики - число точек наблюдений за прогнозируемым процессом (j=1 . . N).

Если детерминированная основа прогнозируемого процесса линейна относительно неизвестных коэффициентов, и процесс, отражающий влияние разного рода неопределенностей имеет вид

, где -

нормально распределенный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и априорно неизвестной дисперсией, то имеется возможность аналитического решения задачи прогнозирования.

С ростом количества наблюдений N , при усложнении вида детерминированной основы процесса (n>3) вычислительные трудности резко возрастают.

При заданном виде детерминированной основы задача прогнозирования сводится к тому, чтобы по информации о N наблюденных значений сделать следующее :

- оценить значения неизвестных коэффициентов ,

- оценить математическое ожидание значения процесса при

(прогноза) в точке прогноза (точечный прогноз),

- оценить дисперсию помехи ,

- построить доверительный интервал (по некоторой вероятности Р,

например Р=0.95) значений прогноза в точке в прогноза (интервальный

прогноз),

- произвести математическую оценку значимости (степени влияния на y )

отдельных переменных и всего уравнения в целом.

Оценки неизвестных коэффициентов для процессов вышеприведенного вида могут быть определены из выражения : ,

где - столбец независимых N наблюдений

прогнозируемого процесса,

- матрица размера (n, N) значений независимых переменных

при различных наблюдениях ( элемент , стоящий на

пересечении i строки и j столбца, означает значение i

составляющей при j наблюдении),

«Т» - операция транспонирования матрицы, а «-1» - обращение.

Из теории известно, что при сделанных допущениях о характере помехи, оценки неизвестных коэффициентов :

- имеют нормальное распределение,

- не смещены, т.е. мат.ожидание оценок равно их истинному значению,

- состоятельны, т.е. при увеличении объема статистики оценки сходятся к

значениям самих коэффициентов,

- обладают наименьшей дисперсией.

Тогда математическое ожидание значения процесса в точке прогноза (точечный прогноз) определяется из выражения :

.

Оценка дисперсии помехи определяется из выражения :

Ошибка прогноза в точке прогноза характеризуется оценкой :

Интегральный прогноз может быть записан в виде :

, где

t - табулированная величина, зависящая от вероятности Р, по которой строится доверительный интервал, и которая имеет вид распределения ошибки прогноза (в частности, для нормального распределения при Р=0.997, t=3).

В ряде случаев, когда априорно не известно, насколько существенно влияние того или иного параметра ( ) на прогнозируемую величину, может быть проведена математическая оценка значимости соответствующих коэффициентов ( ) и всей детерминированной основы в целом. Физически незначимость коэффициента означает, что соответствующий параметр с точки зрения имеющейся в нашем распоряжении статистики не оказывает (с вероятностью Р=1-q) влияния на прогнозируемую величину у и поэтому может быть исключен из детерминированной основы.

Условие значимости коэффициента запишем в виде :

оценка дисперсии величины ,

равная i - диагональному элементу

Табулированный q- процентный матрицы .

предел для распределения Стьюдента.

Для значений N-n >20 можно пользоваться нормальным распределением.

При оценке значимости детерминированной основы в целом проверяется гипотеза о том, что .

При этом условие дисперсии прогнозируемого процесса у равна дисперсии помехи, так как :

.

Условие незначимости основы в целом записывается в виде

где величина справа - табулированное значение распределения Фишера с N и N-n степенями свободы. А величина F -

В тех случаях, когда детерминированная основа процесса содержит нелинейно-входящие, подлежащие определению коэффициенты, и не может быть сведена к линейной, например : ,

задача прогнозирования, реализующая метод наименьших квадратов, не может быть решена аналитически.

В этом случае может быть использован специальный алгоритм поиска оценок этих коэффициентов и вычисление точечного и интервального прогнозов с помощью ЭВМ.

Алгоритм следующий :

- Исследователь выбирает начальное значение искомых коэффициентов

- Машина вычисляет остаточную сумму квадратов вида (*) ,

, градиент этой функции ,

и делает шаг (делается приращение коэффициентам ) определенной

длины в направлении, противоположном градиенту.

- В новой точке вычисляется и сравнивается с предыдущим

значением.

Если произошло уменьшение , то операция повторяется. При этом за

начальную точку принимается данная.

Если уменьшения S- квадрат не происходит, то делается попытка

уменьшения шага.

Процесс продолжается до тех пор, пока уменьшение не прекратится или не

достигнет заданного предела. Тогда описанный Градиентный метод

считается исчерпавшим себя.

- После этого дальнейшее уменьшение S- квадрат ищется путем

производства случайного шага в некоторую «окрестность» найденного

градиентным методом значения искомых коэффициентов, и при новых

значениях коэффициентов определяется S- квадрат.

Если это значение меньше предыдущего, то производится переход к новым

значениям искомых коэффициентов.

Если в результате ряда подобных случайных шагов удается установить

направление дальнейшего уменьшения функции , то следующие шаги

делаются в этом направлении с использованием градиентного метода до

тех пор, пока процесс уменьшения не прекратится.

Снова с использованием случайных шагов осуществляется поиск нового

направления, и если его найти не удается, то считается, что достигнут

некоторый локальный минимум.

- Следующей операцией является проверка этого минимума на

глобальность, так как в отличие от случая с линейно-входящими

коэффициентами, имеющего единственный минимум, данная функция

может иметь несколько минимумов, и требуется найти самый глубокий из

них.

Для проверки глобальности найденного локального минимума из точки

делается случайный шаг в достаточно широкую окрестность этой

точки и осуществляется поиск минимума описанным выше способом.

Если за несколько таких шагов не находится ни одного локального

минимума, в котором значение ,

то этот локальный минимум - глобальный.

Если же такое значение находится, то новая точка снова проверяется на

глобальность.

Следует подчеркнуть, что выбор нелинейной относительно неизвестных коэффициентов детерминированной основы может быть оправдан только в случае , если исследователь имеет на это твердые физические основания.

2.4.2. Использование критерия минимума «взвешенной» суммы квадратов при решении задач.

До сих пор мы рассматривали статическое прогнозирование процессов при допущении о неизменности их моделей как на участке наблюдения за этими процессами, так и на участке прогнозирования. При принятом допущении вся информация о процессе, в том числе и получаемая в процессе прогнозирования, имеет одинаковую ценность и используется в расчетах с одинаковым весом.

В ряде случаев весьма затруднительно ответить на вопрос, является ли отклонение нового наблюдения от ожидаемого следствием влияния помехи или оно произошло вследствие изменения в модели (изменения характера протекания прогнозируемого процесса).

Если - второе, то новые данные должны иметь большую ценность, чем старые? Желательно, чтобы модель позволяла распознавать изменения в законе протекания процесса и учитывать новые измерения весовым коэффициентом.

Одним из путей решения этой задачи является применение метода наименьшей «взвешенной» суммы квадратов. При реализации этого метода оценки неизвестных коэффициентов находятся из условия :

, где - вес j-го

квадрата разности измерения значения процесса и его оценки.

Закон измерения веса наблюдений может быть принят самый разнообразный :

- убывание веса по геометрической прогрессии со временем,

- одинаковый вес для К последних наблюдений, а для остальных вес

равен 0 (метод движущейся средней).

Для критерия минимума взвешенной суммы квадратов оценки неизвестных коэффициентов могут быть найдены из выражения

Характеристики

Список файлов книги