Методические указания (1161391), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

При равнозначности показателей и компонента . Для удобства и . Любая компонента вектора приоритета , совокупности частных показателей, упорядоченных в смысле ряда приоритета , удовлетворяет соотношению .

Вектор весовых коэффициентов представляет собой m-мерный вектор, компоненты которого связаны соотношениями:

• Сумма всех равна 1 при , .

• Каждая компонента определяет относительное превосходство -го показателя над остальными, причем .

• Компоненты векторов и связаны соотношением: .

• При задании векторов используется следующий порядок:

1. Показатели качества упорядочиваются в смысле приоритета вектора .

1. Затем определяются отношения приоритетов соседних показателей, то есть вектор .

2. Затем рассчитываются компоненты вектора :

, где - сумма, - произведение.

Пример: пусть

Выбор оптимального решения производится на основании одного из возможных принципов оптимальности:

• принцип максимина

  ; где — область компромисса показателей качества

• принцип абсолютной уступки

• принцип относительной уступки

Вывод: Таким образом, при задании приоритета частных показателей используют следующие характеристики векторного показателя:

• ряд приоритета;

• вектор приоритета;

• вектор весовых коэффициентов.

1.3.3. Функция полезности в задаче векторной оптимизации.

Пусть и — значения векторного показателя качества в точках и , принадлежащих области компромисса .

Согласно определению эффективности решения, векторные показатели и не удовлетворяют принципу доминирования и являются противоречивыми, т.е. для и для , где и , и , .

В этом случае выбор одного из векторных показателей и в качестве лучшего будет зависеть от индивидуальных предпочтений лица, принимающего решение.

Для отражения этого факта вводится бинарное отношение предпочтения , которое позволяет проводить попарное сравнение противоречивых векторных показателей качества. Т.е. запись означает, что предпочтительнее (лучше), чем . Если для лица, принимающего решения, оба показателя одинаково предпочтительны, то они считаются эквивалентными между собой: ~ .

Из отношения предпочтения между векторными показателями качества однозначно следует соответствующее отношение предпочтения для решений, оценками которых являются эти показатели. Т.е. если

~ , то ~ , (*)

где знак ~ означает предпочтение или эквивалентность.

Введенное соотношение не отражает, на сколько полезнее один показатель другого. Для того, чтобы ответить на этот вопрос, от отношения индивидуального предпочтения ~ необходимо перейти к скалярной функции Для нее справедливо условие: тогда и только тогда, когда ~ .

Введя функцию полезности , мы каждому векторному показателю можем поставить в соответствие число, отражающее численное значение полезности этого показателя, и можно провести упорядочение показателей.

Функция полезности связывает между собой полезности частных показателей качества: .

Применяя принципы оптимальности задачи скалярной оптимизации для функции полезности в силу условия (*) можно найти эффективное решение , принимаемое за оптимально-компромиссное:

.

Решение задачи позволяет найти такую точку , что соответствующая ей векторная оценка будет иметь максимальное значение полезности. Т.е. вектор будет предпочтительнее любого другого векторного показателя на области значений показателей .

На вопрос о том, существует ли такая функция , которая отображает множество векторных показателей на действительную ось с выполнением условия (*), отвечает теория полезности — «да!».

Кроме того, эта функция обладает свойствами:

1. — свойство линейности;

2. — свойство единственности с точностью до положительного линейного преобразования (т.е. различие между двумя функциями полезности определяется различием в начале отсчета и в единицах масштаба измерения).

Поскольку доказательство теоремы существования функции полезности не позволяет построить конкретную функцию , то на практике ее выбирают (из физических или других соображений) в виде непрерывной функции, сохраняющей порядок в области показателей : , где W — монотонно возрастающая функция.

Процедура образования функции полезности называется свертыванием векторного показателя качества .

Вывод: Таким образом, функция полезности позволяет получить численное значение полезности этого показателя, что позволяет произвести упорядочивание показателей.

1.3.4. Выбор системы на основе функций их полезности и платы за полезность.

Существование некоторой объективной функции (функции полезности технической системы), характеризующей зависимость степени выполнения системой своего назначения от значений частных показателей можно увидеть на таком примере.

Пусть проектируется антенна типа фазированной антенной решетки. Рассмотрим зависимость полезности антенны от числа фазируемых элементов. Пока их мало (<4) — это не антенна, и полезность равна нулю. Когда элементов 4, 8 или 16, антенна обеспечивает возможность многоимпульсной пеленгации по двум угловым координатам и придает наличию элементов некоторую полезность. При еще большем числе элементов решетки уже можно обеспечить покачивание диаграммы направленности и определять координаты по целеуказаниям или с поиском в секторе. Это увеличивает полезность элементов. При дальнейшем увеличении количества элементов возможности сканирования тоже увеличиваются, а при достижении определенной величины (отношение сектора к квадрату диаграммы) появляется новое свойство: возможность мгновенного зондирования во всем секторе ответственности. Дальнейшее увеличение количества элементов радиолокационной полезности не добавляет (область насыщения), но увеличивает живучесть антенны.

Метод исследования, основанный на объективной полезности систем, заключается в следующем: исходя из назначения и сущности системы, путем логического анализа формируется понятие полезности системы как некоторого обобщенного объективно существующего ее свойства. Затем устанавливается, какие частные показатели качества системы явно определяют степень ее полезности, и ищется функциональная связь полезности с частными показателями.

Для установления связи между полезностью и частными показателями сначала устанавливается главное свойство системы, определяющее ее полезный эффект, затем отбираются те частные показатели, которые непосредственно влияют на полезность, затем выявляются аналитические зависимости (функции полезности) полезности от частных показателей.

Для этого не существует универсального способа, но предлагается ряд методов и приемов.

Сущность метода варьирования заключается в том, что если уменьшение некоторого частного показателя до величины обращает полезность системы в нуль независимо от значений других показателей, то данный частный показатель входит в аналитическое выражение для полезности в виде множителя в положительной степени. Или если при функция полезности , то при функция полезности имеет вид: , где — аналитическая зависимость от других частных показателей; > 0; — показатель степени.

Это можно подтвердить рассуждениями от противного. Пусть частный показатель входит в выражение для функции полезности в виде слагаемого с весовым коэффициентом . Тогда должна быть равна нулю по определению метода при . Но это приводит к тому, что и = 0, а мы задались условием > 0 !

Представление в виде множителя в положительной степени отражает его фактическую роль с учетом упрощения ситуации.

Если снижение величины показателя до нуля не обращает полезность системы в нуль, то это обусловлено воздействием на функционирование системы другого частного показателя . В этом случае оба показателя находятся в аддитивной связи друг с другом: , где функция не зависит от частных показателей и .

Наряду с полезностью системы обычно рассматривают еще и плату за полезность. Если полезность отражает потребительскую стоимость системы, то плата за полезность — более общее понятие стоимости системы (затраченный труд, или габариты, или масса и т.п.).

В общем случае полезность является нелинейной функцией платы за полезность. При выбранной плате за полезность существует такое сочетание значений частных показателей, при котором полезность системы достигает своего максимума.

Алгоритм решения задачи с помощью метода функции полезности:

1. Формулирование понятий «полезности» и «платы за полезность» для конкретной системы.

2. Выбор частных показателей полезности и частных показателей платы за полезность.

3. Составление матрицы оценок — таблицы, строками которой являются частные показатели, а столбцами — альтернативы.

4. Представление полезности и платы за полезность как функций частных показателей.

5. Вычисление полезности и платы для каждой из альтернатив j и построение поля выбора.

6. Дальнейший анализ пар чисел, характеризующих альтернативы, целесообразно проводить в координатной сетке — , где каждая альтернатива представляется изображающей точкой в поле выбора.

Для оптимальной системы полезность должна наиболее круто возрастать с увеличением платы за полезность.

W

Характеристики

Список файлов книги