Методические указания (1161391), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1.3. Векторная оптимизация при проектировании сложных технических систем военного назначения.

1.3.1. Общая характеристика задач векторной оптимизации.

При разработке сложных технических систем, как правило приходится учитывать много различных требований, предъявляемых к системе. А поскольку качество системы оценивается обычно по ряду показателей качества, то для сравнения конкурирующих вариантов построения сложной системы необходимо иметь механизм такого сравнения, принимая во внимание всю совокупность частных показателей качества.

Эта задача оказывается векторной задачей. Поэтому наиболее общей математической моделью принятия решения при проектировании систем считается задача векторной оптимизации, в которой требуется найти экстремум одновременно по всем компонентам векторного показателя качества.

В общем случае произвольный объект оценивания характеризуется векторным показателем качества , где – частные показатели качество при . Например, разрабатываемое изделие оценивается по двум показателям: – степень выполнения поставленной задачи и – стоимость разработки изделия. Между этими частными показателями возникает противоречие: увеличение одного приводит к уменьшению другого и наоборот.

Значение каждого частного показателя определяется некоторыми факторами (параметрами). Пусть – факторы, от которых зависят значения частных показателей. Тогда каждый из показателей можно представить функцией .

Факторы принадлежат некоторой допустимой области существования, то есть выбираются с учетом реальных ограничений. Поэтому значения вектора принадлежат области -мерного векторного пространства .

При изменении вектора факторов в пределах области – вектор частных показателей будет изменятся в некоторой области -мерного пространства векторного показателя качества . То есть есть отображение области в пространстве частных показателей и является областью возможных значений.

Вектор называется еще векторной оценкой, так как характеризует качество решения, то есть вектора .

Задача оптимизации со сравнением альтернативных решений по предпочтительности при помощи заданных на область скалярных функций называется задачей векторной оптимизации. Иногда эту задачу называют оптимизацией нескольких целевых функций, например можно записать так:

Оптимальное решение задачи в общем случае не являясь оптимальным для частных показателей, должно быть компромиссным для векторного показателя вцелом.

Задачи векторной оптимизации в зависимости от того, в каком виде проявляется действие различных показателей, делятся на 5 классов:

1. Задачи оптимизации на множестве свойств. Обычно частные показатели качества в таких задачах имеют различную размерность и физическую природу. Например, разрабатывается грузовой самолет, оцениваемый по – весу полезной нагрузки, – дальности полета, – скорости полета, – стоимости летного часа и – стоимости самолета. Оценка по которой будет выбран оптимальный вариант содержит показатели разного свойства, из которых одни желательно увеличить , а другие – уменьшить .

2. Задачи оптимизации на множестве объектов. Например задача распределения ресурса многоканального радиолокатора управления воздушным движением самолетов (в районе аэропорта) между несколькими объектами-самолетами, имеющими различные потребности в ресурсе РЛ-управления (так как одни из них взлетают, другие садятся, третьи приближаются, одни пассажирские, другие порожняком, третьи сожгли почти все горючее и так далее).

3. Задача оптимизации на множестве условий функционирования. Например, требуется разработать РЛС управления сближением ИСЗ на трех наиболее используемых орбитах: 250..350 км, 2000..2500 км и на геостационарной орбите. Необходимо оптимально выбрать ширину РЛ луча, обеспечивающего наименьшие погрешности определения координат при заданной мощности излучения.

4. Задачи оптимизации на множестве этапов функционирования, где качество на каждом этапе характеризуется своим частным показателем (биатлон).

5. Задачи оптимизации на множестве вариантов постановки задачи. Например когда известны области определения параметров, но неизвестны законы их распределения, поэтому качество системы будет выражаться векторным показателем, составляющими которого будут частные показатели для всех возможных значений неизвестного параметра.

Возможны также комбинации различных классов задач векторной оптимизации.

Основной проблемой векторной оптимизации является выбор принципа оптимальности, определяющего свойства оптимального решения и дающего ответ на главный вопрос – в каком смысле оптимальное решение лучше всех других решений. Из-за противоречия частных показателей одновременное достижение ими всеми наилучших значений обычно не возможно. Выход возможен в поиске компромисса.

при сравнении векторного показателя качества принято считать следующее:

Пусть требуется для достижения оптимальности максимизировать все частные показатели качества (противоречащие этому показатели заменим на обратные по знаку). Тогда говорят, что решение безусловно лучше решения , если для всех имеет место отношение , и хотя бы при одном существует строгое неравенство .

В этом случае также говорят, что векторный показатель удовлетворяет принципу доминирования относительно векторного показателя .

Два решения и называют сравнимыми по векторному показателю качества , если для них выполняется одно из следующих условий: или или .

Для первого условия это значит, что каждый показатель для решения не больше (не лучше), чем у решения , в том числе по меньшей мере один из этих показателей меньше (хуже), чем у решения , Для второго условия – наоборот.

Таким образом, одна из особенностей задач векторной оптимизации состоит в том, что в них два произвольных допустимых решения и в зависимости от конкретных значений векторов и могут быть либо векторно сравнимы, либо векторно несравнимы.

Множество решений, для которых справедлив принцип доминирования, образуют подмножество входящее в , называемое областью согласия. В этой области противоречий между частными показателями нет, так как каждое решение может быть изменено так, что новое решение по всем показателям будет не хуже предыдущего.

Если область допустимых решений состоит только из области согласия , то существует единственное решение принадлежащее , для которого все частные показатели согласованы между собой в том смысле, что при приближении к решению все компоненты одновременно улучшаются. при этом все значения частных показателей достигают максимума в одной и той же точке .

Однако на практике такая ситуация встречается редко. Обычно максимум по каждому показателю достигается в различных точках, в которых компоненты векторного показателя являются противоречивыми. Такая область. где улучшение качества любого решения по одним показателя неизбежно ухудшает качество решения по другим, называется областью компромисса .

Область согласия и компромисса обладают следующими свойствами: , , (где знаки и означают объединение и пересечение областей).

Очевидно, что оптимальное решение может принадлежать только области компромиссов.

Такое решение из области компромисса называют эффективным решением. Для эффективных решений не выполняется принцип доминирования относительно любой точки . Другими словами, решение называется эффективным, если не существует ни одного решения такого, что для всех и хотя бы для одного это неравенство было строгим, то есть .

Решение задачи векторной оптимизации представляется двумя этапами:

1. определение множества эффективных решений, то есть области компромисса;

2. выделение среди эффективных решений оптимально-компромиссного, наиболее предпочтительного с точки зрения лица, принимающего решения.

Второй этап осуществляется по некоторой схеме компромисса, переводящей задачу векторной оптимизации к задаче оптимизации с некоторым единственным оптимизируемым скалярным показателем:

, где

Обычно ,

где - некоторая скалярная функция от вектора частных показателей . Вследствие этого проблему выбора схемы компромисса называют проблемой скаляризации. Примером скаляризации является свертывание векторного показателя в скалярный показатель , называемый обобщенным показателем, где - весовые коэффициенты.

Характеристики

Список файлов книги