Методические указания (1161391), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Особенностью векторной оптимизации является более сложное, чем при скалярной оптимизации, содержание понятия неоднозначности решения. Поскольку неоднозначность решения может проявляться не только в том, что одно и тоже качество могут иметь два и более решения, но и в том, что одному и тому же критерию оценивания качества могут удовлетворять два и более значения вектора . Это следует из того, что мы рассматриваем как сумму, и могут существовать несколько комбинаций частных показателей, образующих одинаковую сумму.

Определение области компромисса

Каждому решению из области допустимых решений соответствует его образ в области допустимых значений векторного показателя .

Области согласия и компромисса и решений также связаны с областями и - согласия и компромисса показателя качества.

К примеру, если векторный показатель является двумерным , то определение области компромисса можно интерпретировать геометрически. Пусть известно, что качество решения улучшается как при увеличении , так и при увеличении . Что же тогда мешает придать этим показателям сколь угодно большие значения? Ясно, что это невозможно из-за неизбежных реальных ограничений!

Самым простым может быть случай абсолютных ограничений. При этом ограничение частного показателя не зависит от значений других показателей, т.е. имеется набор таких, что , для всех . Для -мерного случая область возможных значений будет представлять гиперпараллелипипед, для двумерного случая – прямоугольник на плоскости .

В этом случае единственной эффективной векторной оценкой является верхняя правая вершина прямоугольника. Т.е. решение, которому она соответствует – оптимально.

Это редкий случай для практики. Чаше всего показатели взаимно связаны друг с другом и область их взаимных ограничений не прямоугольник – относительные ограничения. Кроме того имеются такие значения , которые определяют недопустимо низкое качество, например:

Точки, лежащие на ограничительной линии, обуславливающей взаимную связь показателей, принадлежат эффективной векторной оценке. И областью компромисса является дуга , так как именно здесь увеличение одного из частных показателей можно произвести за счет уменьшения другого. Оставшиеся части дуги – области согласия. Если область компромисса выпуклая, как в этом примере, то ее нахождение – задача более простая, чем когда она вогнутая.

Рассмотрим пример. Проектируется радиолокатор, Задана его общая стоимость – . Антенна радиолокатора – фазированная антенная решетка. Для нее каждый излучающий элемент должен составлять половину длины волны. Задано, что частным показателем качества радиолокатора являются его площадь - и средняя мощность передатчика - . Известно, что стоимость передатчика в первом приближении пропорциональна квадратному корню из его средней мощности. Известны минимальные значения дальности и минимальный пространственный сектор обзора . Требуется найти вид ограничительной линии и область компромисса частных показателей качества.

Если длина заданной волны , а площадь одного элемента ФАР по условию , то общее число элементов в антенне . Стоимость антенны - пропорциональна количеству элементов антенны, а следовательно площади антенного полотна .

таким образом стоимость радиолокатора можно рассматривать как сумму стоимостей антенны, стоимости передатчика и стоимости остальной аппаратуры. Стоимости антенны и передатчика представляем через коэффициенты стоимости отдельного элемента антенны и единицы мощности.

где - коэффициент стоимости антенного элемента

- коэффициент стоимости передатчика

- стоимость остальной аппаратуры

Отсюда выражение для ограничительной линии, на которой лежит область компромисса:

- линия графика.

Минимальные же приемлемые значения и определяются внешними характеристиками радиолокатора. Из теории радиолокации известно, что в режиме обзора пространства между дальностью обнаружения , сектором , средней мощностью передатчика и площадью раскрыва антенны существует следующая связь:

, где - коэффициент пропорциональности.

Отсюда выразим :

- линия графика.

Область компромисса

После определения области компромисса конкретное решение зависит от принятого принципа или схемы компромисса. Число возможных схем велико. Если уже решена проблема нормирования. то есть частные показатели имеющие один и тот же масштаб измерения, можно привести примеры некоторых принципов.

Выбор схемы компромисса.

1) Принцип равномерности.

Этот принцип предполагает, что все показатели одинаково важны и стремится к равномерному и гармоническому повышению качества по всем частным показателям.

У этого принципа имеется несколько разновидностей:

Принцип равенства.

Компромиссным считается такое решение, при котором наступает равенство всех частных показателей.

Этот жесткий принцип может приводить к выходу за зону компромисса.

Принцип максимума.

Здесь идея равномерности проявляется в стремлении повышать уровень всех показателей за счет максимального «подтягивания» наихудшего из показателей (имеющего минимальное значение).

Принцип квазиравенства.

Здесь идея равенства производится приближенно с точностью до некоторой величины . Т.е. решение считается оптимальным, если значения отдельных частных показателей отличаются друг от друга не более чем на величину .

2) Принцип справедливой уступки.

Понятие справедливости с трудом можно принять абсолютно как в жизни так и в математических методах.

Принцип справедливой уступки имеет две разновидности, основанных на оценивании и сопоставлении прироста и убыли уровня частных показателей.

Принцип справедливой абсолютной уступки.

Если все частные показатели имеют одинаковую важность, то логично справедливым считать такой компромисс, при котором абсолютный уровень снижения одного показателя не превышает суммарного абсолютного уровня увеличения других показателей.

, если , то 2 лучше чем 1

При этом принципе в аддитивном показателе возможна взаимная компенсация частных показателей, что неправильно, а также он не отражает объективную роль частных показателей.

Принцип справедливой относительной уступки.

Справедливым считается такой компромисс, когда суммарный уровень относительного снижения одного или нескольких частных показателей не превышает суммарного уровня относительного увеличения остальных показателей.

Различную значимость частных показателей при формировании обобщенного показателя учитывают путем введения весовых коэффициентов. В последнем случае аддитивный и мультипликативный показатели превращаются в показатели вида:

где - весовые коэффициенты.

Последние называются средневзвешенными арифметическими и геометрическими показателями. Существует еще т.н. средневзвешенные гармонические и квадратичные показатели:

3) Принцип выделения главного показателя.

Этот принцип может быть применен при наличии дополнительной информации о возможности частных показателей качества, задаваемой в виде ряда приоритетов – множества индексов , упорядочивающих частные показатели качества в порядке убывания их важности. Принцип выделения главного показателя состоит в том, что из векторного показателя выделяется один частный показатель , называемый главным. Этот показатель максимизируется, а на остальные частные показатели , накладывается ограничения, например вида .

В результате задача векторной оптимизации сводится к задаче скалярной оптимизации

, где - часть области компромисса , в которой выполняются условие

4) Принцип последовательной уступки.

Сущность этого принципа состоит в том, что в начале все частные показатели , ранжируются по важности в порядке ее убывания: . Затем максимизируется первый по важности показатель и определяется его максимальное значение .

После этого назначается величина допустимого снижения (уступки) первого показателя и в области компромисса ищется решение , максимизирующие значение второго по убыванию важности показателя при условии, что значение первого показателя должно быть не меньшим, чем . Затем назначается уступка и так далее.

, . . . , , . . . ,

Как уже говорилось ранее, некоторые классы задач векторной оптимизации отличаются тем, что частные показатели имеют различную физическую природу и размерность. Возникает проблема нормирования показателей, сведения их к безразмерному масштабу измерения. Эту сложную и творческую проблему мы рассматривать не будем — задача для экспертов.

Вывод: Таким образом, рассмотрена общая характеристика задач векторной оптимизации, где особое внимание уделено области компромисса и выбору схемы компромисса.

1.3.2. Способы задания приоритета частных показателей.

При задании приоритета частных показателей, входящих в состав векторного показателя, используют следующие его характеристики: ряд приоритета , вектор приоритета и вектор весовых коэффициентов .

Ряд приоритета представляет собой упорядоченное множество индексов частных показателей: и отражает чисто качественные отношения доминирования частных показателей, то есть показатель важнее показателя , а важнее и т.д.

Вектор приоритета представляет собой m-мерный вектор, компонентами которого являются бинарные отношения приоритета. Они определяют степень превосходства по важности двух соседних показателей из ряда приоритета , а именно величина определяет, во сколько раз показатель важнее показателя .

Характеристики

Список файлов книги