Методические указания (1161391), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

, в котором

Если для заданной доверительной вероятности и данных и величина , где предельное значение берется из таблиц, различие между и является не случайным, в противном случае оно признается случайным.

5. Оценку коэффициента корреляции проводят в случаях, когда нужно проверить гипотезу о степени зависимости показателя качества от определенных факторов или зависимость одного показателя качества от другого. Значение коэффициента корреляции изменяется в пределах и оценивается по выборочному коэффициенту корреляции

(3)

Если коэффициент корреляции близок к нулю, то рассматриваемые показатели и факторы можно считать некоррелированными, если он близок к -1 или 1, то между указанными величинами существует функциональная зависимость, в остальных случаях эта зависимость вероятностная.

При небольшом числе исходных данных (n<30) рассчитанное по формуле значение коэффициента корреляции оказывается завышенным. В самом дел, если взяты всего две точки, то линия регрессии пройдет по ним совершенно точно, и коэффициент корреляции окажется равным единице. В действительности при большем объеме выборки можно обнаружить лишь небольшую корреляцию или даже её отсутствие. Поэтому рекомендуется корректировать рассчитанное по формуле (3) значение коэффициента корреляции следующим образом:

(4)

где - скорректированный коэффициент парной корреляции;

k=m+1 – число параметров в функции регрессии (при линейной связи k=2; если связь нелинейная, то теснота связи характеризуется корреляционным отношением и его оценка корректируется по формуле, аналогичной формуле (4)). Причем, если под знаком корня в выражении (4) окажется отрицательное число, то следует брать ноль в качестве уточненной скорректированной величины.

В связи со случайностью выборки выборочный коэффициент корреляции может быть отличен от нуля, даже если между наблюдаемыми величинами нет корреляции. Следовательно, для проверки гипотезы об отсутствии корреляции ( ) необходимо с помощью соответствующего статистического критерия проверить, значительно ли выборочный коэффициент корреляции отличается от нуля. Если это отличие значительно, то принимается гипотеза .

3.2. Проверка точности моделей сложных систем и определение их пригодности для проведения исследований.

3.2.1. Общие принципы оценки характеристик систем при натурных испытаниях и моделировании

Проблема обоснованного выбора метода оценивания характеристик сложной системы связано с анализом точности получаемых оценок. Поэтому применение методов имитационного моделирования для исследования сложных систем считается обоснованным, если обеспечивается достаточная точность расчета показателей эффективности исследуемой системы.

С целью конкретизации задач, решаемых при разработке модели и доводки их до состояния, обеспечивающего качественное проведение исследования, кратко рассмотрим общие принципы оценивания характеристик сложных систем путем натурных испытаний и имитационного моделирования.

Показателем эффективности сложной технической системы Е может быть математическое ожидание функционала , определенного на множестве выборочных функций , которое при фиксировании характеризуют выходные переменные системы в данной единичной реализации. Здесь функция , рассматриваемая как функция времени и точки (элементарного события ) из пространства элементарных событий является случайным процессом. Пусть -- пространство элементарных событий с вероятностной мерой P(A), где A – произвольное измеримое подмножество . Тогда показатель эффективности системы может быть определен как математическое ожидание функционала следующим образом:

.

Пусть Х – множество входных переменных , а -- пространство элементарных событий с вероятностной мерой . Каждому соответствует входная переменная системы .

Всякая сложная система осуществляет преобразование входных переменных в выходные. Свойства системы можно описать с помощью случайного оператора Н , для чего необходимо задать вероятностную меру , соответствующую пространству с элементами .

По определению случайный оператор Н представляет собой некоторую совокупность неслучайных операторов Н , определенных для каждого и реализующих для всевозможных отображение множества Х в множество У. Это означает, что всякую реализацию можно рассматривать как результат преобразования неслучайным оператором Н некоторой входной переменной . В операторной форме процесс преобразования входной переменной в выходящую переменную записывается так .

При известной структуре случайного оператора Н элементы множества порождаются элементами и , причем каждой паре соответствует одна точка пространства . Такое соответствие позволяет представить показатель эффективности в виде

В реальных условиях структуру случайного оператора Н и вероятностные меры получают на основании комплексного использования априорной информации и информации, полученной при натурных испытаниях элементов и всей системы в целом.

Поэтому задачу вычисления Е можно рассматривать как статистическую задачу синтеза решающих правил, обеспечивающих получение оценок с некоторыми наперед заданными свойствами.

Для решения задачи расчета показателя эффективности системы при натурных испытаниях для нормальных условий ее работы необходимо:

1. Рассчитать ряд значений , ... , ;

где -- выходные процессы в виде измеренных функций для различных , ... .

1. Определить статистическое свойство случайных величин опираясь на известные законы распределения погрешности измерения.

2. Выразить априорные сведенья о величине Е в виде априорной плотности Р(Е).

3. Выбрать критерий оптимальности оценок .

При наличии этих сведений для получения оценок можно применить байесову процедуру и в компактной форме объединить указанные выше априорную и реальную информации. Если априорная плотность Р(Е) неизвестна, а все остальные сведенья имеются, то расчет оценок можно осуществить методом максимального правдоподобия. В тех случаях, когда определение статистических свойств случайных величин требует значительных затрат, оценки можно найти с помощью метод наименьших квадратов.

Из сказанного следует, что в принципе задача нахождения оценок для условий нормального функционирования системы с использованием выборки , ... , учитывает особенности сложившейся оценочной ситуации. Однако при таком прямом способе получения оценок используется незначительная часть информации, которую регистрируют в процессе проведения различных видов испытаний сложных систем. Это происходит из-за того, что большое число внутренних измерений и вся априорная информация об элементах системы не участвует при формировании оценок . Этот недостаток весьма существенен, поскольку оценки при малом объеме данных обладают невысокой точностью. Ограниченность объема данных обусловлена тем, что при реально существующих ограничениях на материальные затраты испытания системы удается провести в чрезвычайно малом объеме.

По этой причине оценки на уровне сложных систем не могут рассматриваться как решение задачи по определению их показателей эффективности даже для нормальных условий функционирования. Поэтому на практике приходится обращаться к способу оценивания характеристик сложных систем, основанному на применении идеи методов имитационного моделирования.

Для определения показателя эффективности методами имитационного моделирования необходимо:

1. Разработать модель, позволяющую воспроизводить процессы для различных , .

2. Определить последовательность постановки экспериментов на модели при условии, что вероятностные меры , заданы.

3. Разработать алгоритмы обработки результатов моделирования.

Пусть планирование экспериментов на модели осуществляется на основании метода статистических испытаний. Для этого метода порядок вычисления таков:

1. Выборка с помощью вероятностных мер , независимых точек , .

2. Прогон модели с целью получения совокупности реализации , .

3. Расчет выборки значений , .

4. Нахождение оценок .

Оценки, найденные по последней формуле, получаются несмещенными при неограниченном увеличении числа реализаций n, полученных по модели, стремятся к истинному значению Е, если модель адекватна реальной системе.

Однако при моделировании реальных систем оценочная ситуация оказывается значительней сложнее, так как структура случайного оператора Н и вероятностные меры , определяют в результате обработки априорной информации и информации, полученной при натурных испытаниях элементов и всей системы в целом. Ограниченность реальной статистики и априорных сведений обычно приводит к тому, что наши суждения о виде оператора Н и мерах , будут содержать погрешности, которые в общем случае имеют вероятностный характер.

Отсюда следует, что в оценках показателей эффективности сложных систем будут присутствовать составляющие, погрешностями определения оператора Н и погрешностями расчета вероятностных мер и . Кроме того, погрешности моделирования возникают из-за неточности реализации оператора Н на вычислительных машинах и ограниченности статистики, получаемой при экспериментировании на модели.

3.2.2. Основные принципы определения обоснованности применения методов имитационного моделирования при исследовании сложных систем.

Процесс проверки точности моделей сложных систем и определения их пригодности для проведения исследований по своему характеру является итерационным и тесно переплетается с процессом доводки модели до требуемого состояния.

В принципе, располагая точным исходным моделирующим алгоритмом системы и рабочим моделирующим алгоритмом, мы могли сравнить результаты, полученные в соответствии с этими алгоритмами, и затем вынести суждение о пригодности оцениваемого рабочего алгоритма для решения задач имитационного моделирования исследуемой системы. Однако в реальных условиях существуют жесткие ограничения на материальные затраты и время моделирования. Для сложных систем эти ограничения приводят к тому, что мы вынуждены отказаться от идеи сравнения результатов моделирования, получаемых с помощью рабочего и нереализуемого исходного моделирующего алгоритма системы, а должны тщательно изучать разумность и целесообразность того комплекса мер, которые были приняты при разработки модели системы. По названной причине применимость методов имитационного моделирования считают обоснованной если удается доказать истинность следующих гипотез:

1. Гипотеза о достаточной точности и реализуемости моделирующих алгоритмов элементов и всей системы в целом.

2. Гипотеза о несмещенности оценок показателей эффективности при условии, что рабочий моделирующий алгоритм системы удовлетворяют заданным требованиям по точности.

3. Гипотезы о тождественности распределений выборок, полученных при моделировании , ... , и при проведения комплексных натурных испытаний , ... , .

На этапе проверки гипотезы о тождественности выборок при формулировании проверяемых гипотез обычно считают, что модель программно реализована на основании согласованного рабочего моделирующего алгоритма системы, при создании согласованного алгоритма видимых существенных ошибок не допущено, а принятые методы определения вероятностных мер , не вызывают серьезных возражений.

Характеристики

Список файлов книги