Методические указания (1161391), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Матрица планирование ПФЭ типа 
.
| | Вектор | |||||||
| | План | | наблюдений | |||||
| | | | | |||||
| | -- | -- | + | | ||||
| + | + | -- | -- | | ||||
| + | -- | + | -- | | ||||
| + | + | + | + | | ||||
Матрица планирования
+
В первом столбце матрицы планирования указываются значения искусственной переменной 
, которая тождественно равна единице. Два столбца управляемых параметров 
и 
образуют план эксперимента, а остальные столбцы (в данном случае четвёртый) матрицы получаются перемножением соответствующих значений управляемых переменных. Вместе с матрицей планирования указывается столбец вектора наблюдений, состоящий из его компонент.
Представление матрицы в табличной форме не всегда удобно, особенно при большом числе факторов. Чтобы не применять громоздкую табличную форму представления матрицы планирования, вводят условные буквенные обозначения строк. Это делается следующим образом. Каждому фактору в порядке их номеров ставится в соответствие строчная буква латинского алфавита: 
a, 
b и т.д. Если теперь для строки матрицы планирования выписать латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях обозначают (1). Наличие одной или нескольких букв в коде строки говорит о том, что в данном варианте варьирования одна или несколько соответствующих переменных должны находиться на верхних уровнях. План ПФЭ типа в буквенных обозначениях запишется следующим образом: (1) , a , b , ab.
Номеру позиции в строчной записи соответствует номер строки табличной формы представления матрицы планирования.
Матрица планирования , для которой выполняются условия ортогональности, нормировки и симметричности, называют ортонормированной матрицей, а соответствующий ей план - ортогональным.
Путем анализа матрицы планирования ПЭФ можно убедится в том, что она удовлетворяет перечисленным выше условиям, т.е. является ортонормированной. Поэтому для расчета оценок параметров регрессионной модели (1) можно использовать формулу (5). Ортогональность матрицы позволяет оценить все параметры модели независимо друг от друга, т.е. величина любого параметра не зависит от того, какие величины имеют другие параметры.
С ростом числа факторов для построения матриц используют приёмы, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности.
ПЕРВЫЙ ПРИЁМ основан на правиле чередования знаков. В первом столбце плана знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через два, в третьем - через 4 и т.д. по степеням двойки.
ВТОРОЙ ПРИЁМ: план ПФЭ типа 
в буквенных обозначениях может быть получен из плана типа 
следующим образом. Записывается план ПФЭ типа в буквенных обозначениях. Затем строка продолжается путём переписывания новых символов, получаемых последовательным умножением исходной строки на буквенное обозначение нового фактора. Например, переход от плана ПФЭ типа к плану типа 
выглядит так (фактору 
соответствует буква c) : (1), a, b, ab (план типа ), (1), a , b ,ab ,c ,ac , bc , abc (план типа ).
Проведение эксперимента.
После построения матрицы планирования приступают непосредственно к эксперименту. Изменение отклика 
из-за наличия неконтролируемых факторов имеет случайный характер. Для уменьшения погрешности определения отклика план эксперимента часто реализуют несколько раз, проведя при каждом сочетании уровней факторов параллельные опыты и получая m параллельных значений переменной : 
. Полученные результаты усредняют
Для того, чтобы избежать появления некоторой неслучайной связи между реализациями каждого эксперимента или серии экспериментов, рекомендуется опыты рандомизировать во времени. Рандомизация означает случайный порядок проведения опытов, т.е. случайную реализацию плана эксперимента. Порядок проведения опытов в случайной последовательности следует выбирать по таблице равномерно распределённых случайных чисел. Рандомизация обычно проводится следующим образом. В таблице случайных чисел берут числа от 1 до N в порядке их следования, начиная с любого столбца таблицы. Если предполагаются параллельные опыты, то тогда выбирают числа от 1 до mN, т.е. нумеруют не только строки матрицы планирования , как в первом случае, но и параллельные опыты. Каждое число от 1 до N или mN из таблицы случайных чисел берут только один раз.
При проведении в каждой точке плана m параллельных опытов в каждой из m серий полностью реализуется план эксперимента, состоящий из N точек. Выбранные из таблицы числа определяют последовательность реализации этих N опытов в каждой серии. Таким образом, параллельные опыты - это рандомизированные во времени опыты, в которых сочетания уровней всех факторов одинаковы.
Таблица 2.
Матрица планирования ПФЭ типа с параллельными
наблюдениями.
| Матрица планирования | Вектор наблюдений | |||||||
| | План | | | | . . . | | | |
| + | -- | -- | + | | | . . . | | |
| + | + | -- | -- | | | . . . | | |
| + | -- | + | -- | | | . . . | | |
| + | + | + | + | | | . . . | | |
Проверка воспроизводимости.
Хорошо известно, как даже одна грубая ошибка может исказить результаты исследования, проводимого с помощью небольшого числа опытов. Этим и обуславливается необходимость в контроле воспроизводимости результатов исследования.
Погрешность опыта является суммарной величиной, состоящей из погрешностей при измерении факторов, отклика и погрешности при проведении опыта. Знание ошибки воспроизводимости необходимо для анализа данных эксперимента.
Проверка воспроизводимости есть не что иное, как проверка выполнения предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий 
.
Задача состоит в проверке гипотезы о равенстве дисперсий
соответственно в точках
плана эксперимента. Проверка осуществляется на основании статистических оценок этих дисперсий.
Воспроизводимость обычно оценивают по результатам параллельных опытов.
где m - число параллельных опытов в j-ой точке плана.
Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев. Простейшим из них является критерий Фишера, предназначенный для сравнения двух дисперсий. Если сравниваемое количество дисперсий больше двух и число параллельных опытов во всех точках плана одинаково, можно воспользоваться критерием Кохрена. Этот критерий основан на законе распределения отношения наибольшей оценки дисперсии к сумме всех оценок дисперсий. Рассчитывается наблюдаемое значение статистики
где 
- наибольшая из рассчитанных оценок дисперсии;
- оценка дисперсии, характеризующая рассеяние результатов опытов на j-ом сочетании уровней факторов.
Если выполняется условие 
то гипотеза об однородности дисперсий принимается. Критическое значение статистики 
находят по таблицам критерия Кохрена для чисел степеней свободы 
=m-1 и 
=N и уровня значимости 
.
Принятие гипотезы об однородности дисперсий позволяет найти более точную оценку 
дисперсии отклика
(6)
с числом степеней свободы 
=N(m-1).
Неоднородные дисперсии так усреднять нельзя.
В случае воспроизводимого эксперимента рассчитывают оценки параметров регрессии
(7)
Последовательность обработки результатов эксперимента при неравном числе параллельных опытов не нарушается, однако алгоритм расчета меняется вследствие нарушения ортогональности матрицы планирования. Вследствие неортогональности необходимо решать систему нормальных уравнений и оценки параметров регрессии рассчитывать по формуле:
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
