main (1160446), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Как мыуже упоминали, эти значения обычно вычисляют с помощью метода Рунге–Кутта.§37Понятие устойчивости разностного методаИзвестно, что на практике вычисления проводятся приближенно, то есть при задании исходных данных и в процессе самих вычислений допускаются погрешности. Численный метод называется устойчивым, если погрешности, допущенные на каком-то этапе вычислений, не оказывают существенного влияния на результат. Разумеется, такого описательногоопределения недостаточно для исследования устойчивости конкретных алгоритмов.
Существуют математически строгие и более узкие определения устойчивости, некоторые изних будут приведены в следующих параграфах. Сейчас ограничимся тем, что рассмотримнесколько характерных примеров.Явление неустойчивости часто возникает в процессе решения разностных уравнений.Так, если решать уравнение+1 = ,где ∈ Z+ , ∈ C — некоторая константа, а 0 — задано, то при || > 1 погрешность будет возрастать при переходе от шага к шагу ( + 1). Действительно, пусть вместо врезультате ошибок округления получено значение̃︀ = + .Тогда при вычислении +1 получим значение̃︀+1 = ̃︀ = + = +1 + ,то есть погрешность +1 = на новом шаге увеличится. В этом случае метод неустойчив,и при проведении расчетов на ЭВМ при достаточно большом может произойти переполнение разрядной сетки.
Если же || 6 1, то погрешность, допущенная на каком-либо шагевычислений, не будет возрастать на следующих шагах.Процесс численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений также может оказаться неустойчивым. Поясним это на примере простого уравнения⎧⎨ ()+ () = 0, > 0, > 0,(1)⎩(0) = .0Его решение () = 0 − монотонно убывает с ростом .
В частности, для решения этогоуравнения справедливо следующее неравенство:|()| 6 |0 |, > 0,(2)означающее непрерывную зависимость (иначе говоря, устойчивость) решения уравнения (1)от начальных данных.§37. Понятие устойчивости разностного метода125Естественно требовать, чтобы и для разностных схем, аппроксимирующих уравнение (1),выполнялись оценки, аналогичные (2). Однако такие оценки для разностных схем выполняются далеко не всегда.Пример 1.чи (1):Рассмотрим, например, явную разностную схему Эйлера для решения зада-+1 − + = 0, > 0,где > 0, ∈ Z+ , 0 = 0 , и перепишем ее в виде+1 = , ∈ Z+ ,|+1 | 6 | |, ∈ Z+где = 1 − .Тогда оценка2будет выполняться тогда и только тогда, когда || 6 1, то есть при 6 . В этом слу2чае схема называется условно устойчивой, а само неравенство 6 называется условиемустойчивости. Если оно нарушено, то || > 1, и погрешности, допущенные в процессе вычислений, будут возрастать с ростом . Таким образом, требование устойчивости явнойсхемы Эйлера вынуждает проводить счет с достаточно малым шагом по времени.
Например, если = 2000, то < 0.001 и чтобы провести счет до = 1 необходимо сделать 1000шагов по времени.Пример 2.Приведем пример абсолютно устойчивой разностной схемы. Для уравнения′ () = (, ()),(3)рассмотрим неявную схему Эйлера+1 − = (+1 , +1 ),где ∈ Z+ , 0 = 0 .Эта схема называется неявной потому, что для нахождения +1 приходится решатьуравнение+1 − (+1 , +1 ) = .Это уравнение можно решить, например, с помощью метода Ньютона, описанного в §23главы §20. Для уравнения (1) неявная схема Эйлера принимает вид+1 − + +1 = 0, > 0,откуда получаем+1 = , = (1 + )−1 ,причем || < 1 при любых > 0.Приведенные выше примеры являются типичными, потому что, как правило, явныесхемы устойчивы лишь при достаточно малых шагах , а среди неявных схем существуютабсолютно устойчивые.Исследуем на устойчивость двухшаговый разностный метод, построенный в примере 331+1 − = − −1 .22(4)126Глава .
Методы решения ОДУ и систем ОДУМетод является явным, поэтому следует ожидать, что он будет условно устойчивым. Покажем, что это действительно так. В применении к модельному уравнению+ () = 0, > 0 (постоянная), > 0, (0) = 0(5)метод (4) принимает вид+1 − 31+ ( − −1 ) = 0,22 = 1, 2, . . . ,т.е. представляет собой разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами+1 + + −1 = 0,(6)где3 = −1 + , = −0.5, = .2Разностное уравнение (6) имеет частные решения вида = 1 , = 2 , = 0, 1, .
. . ,(7)где 1 , 2 — корни характеристического уравнения 2 + + = 0.(8)По аналогии с разностным уравнением первого порядка +1 = считают, что разностное уравнение второго порядка (6) устойчиво, если оба корня не превосходят по модулюединицу, т.е. |1,2 | ≤ 1.При этом условии линейно независимые частные решения (7) ограничены при → ∞.Если же хотя бы один из корней, 1 или 2 уравнения (8) больше единицы по модулю, торазностное уравнение (6) считается неустойчивым.При оценке корней уравнения (8) не обязательно искать их в явном виде. Здесь можетоказаться удобной следующаяОба корня уравнения (6) с действительными коэффициентами , лежатвнутри или на границе единичного круга || ≤ 1 тогда и только тогда, когда выполненыусловия1 + + ≥ 0, 1 − + ≥ 0, ≤ 1.(9)Лемма 1.Рассмотрим сначала случай, когда 2 − 4 < 0, т.е.
уравнение (8) имеетдва комплексно сопряжённых корня. Тогда |1 | = |2 |, 1 2 = и |1 |2 = |2 |2 = .Перепишем неравенства (9) в видеДоказательство.|| − 1 ≤ ≤ 1.(10)Следовательно, если выполнены условия (9), то ≤ 1, |1 |2 = |2 |2 ≤ 1. Обратно, из условия|1 |2 = |2 |2 ≤ 1 следует ≤ 1.√Кроме того 4 > 2 , т.е. > 0 и || < 2 ≤ 1 + , следовательно, выполнены неравенства (9).В случае 2 − 4 ≥ 0 оба корня уравнения (8)1,2 = 0.5(− ±√︀2 − 4)(11)§37. Понятие устойчивости разностного метода127действительны. Из условий (10) получаем√︀√︀|| ≤ 1 + ≤ 2, 2 − 4 ≤ (1 − )2 , 2 − 4 ≤ 1 − , − + 2 − 4 ≤ − + 1 − ≤ 2,√т.е.
|1 | = 0.5| − √− 2 − 4| ≤ 1.√Далее, − − 2 − 4 ≤ − ≤ 2, т.е. |2 | = 0.5| − − 2 − 4 ≤ 1.Обратно, если |1,2 | ≤ 1, то из (11) получаем неравенства√︀√︀−(2 − ) ≤ 2 − 4 ≤ 2 + , −(2 + ) ≤ 2 − 4 ≤ 2 − ,которые эквивалентны неравенствам√︀√︀−(2 − ) ≤ 2 − 4 ≤ 2 − , −(2 + ) ≤ 2 − 4 ≤ 2 + .√√Отсюда получаем || ≤ 2, 2 − 4 ≤ 2 + , 2 − 4 ≤ 2 − .Возведя последние два неравенства в квадрат, приходим к первым двум неравенствам (9).Неравенство ≤ 1 следует из условия 2 ≥ 4 и доказанного выше неравенства || ≤ 2.Лемма 1 доказана.Возвращаясь к схеме (4), видим, что нам надо проверить условия (9), где3 = −1 + , = −0.5, = .2Отсюда следует 1++ = > 0, 1−+ = 2(1−), а это означает, что схема устойчива приусловии ≤ 1 т.е. ≤ 1 .
Следовательно, рассмотренная двухшаговая разностная схема (4)условно устойчива.Общий -шаговый линейный разностный методПерейдем теперь от частных примеров к общему -шаговому методу∑︁=0− =∑︁ − ,(12)=0где > 0, 0 , 1 , . . . , −1 — заданы. Будем считать, что коэффициенты , , = 1, независят от .Пример.В применении к уравнению (1) метод (12) принимает вид:∑︁( + ) − = 0.(13)=0Решение этого разностного уравнения с постоянными коэффициентами будем искать в виде = , ∈ Z+ .Подставив эту форму решения в уравнение (13) и сократив на − , придем к уравнению (, ) =∑︁( + ) − = 0.(14)=0Уравнение вида (14) называется характеристическим уравнением разностной схемы (13).Определение.128Глава . Методы решения ОДУ и систем ОДУМожно было бы искать условия, при которых все корни уравнения (14) лежат внутриили на границе единичного круга.
Однако это оказывается достаточно сложным даже дляквадратного уравнения. Поэтому в случае общего -шагового разностного метода (12)поступают по-другому.Предположим, что шаг достаточно мал. Тогда корни уравнения (14) будут близки ккорням уравнения (, 0) = 0,то есть уравнения∑︁(15) − = 0,=0которое также называется характеристическим. Заметим, что последнее уравнение определяется только способом аппроксимации производной ′ () и не зависит от того, какимспособом аппроксимируется правая часть исходного уравнения (3).При анализе -шаговых разностных схем для нелинейного уравнения (3) обычно ограничиваются рассмотрением упрощенного характеристического уравнения (15).Говорят, что схема (12) удовлетворяет условию (), если все корни характеристического уравнения (15) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе единичного круга нет кратных корней.Определение.Таким образом, выполнение условия () соответствует устойчивости разностного метода для уравнения ′ () = 0.
Однако часто схему и для общего уравнения (3) называютустойчивой, если она удовлетворяет условию (). Такая терминологическая неточностьоправдана тем, что из условия () следует сходимость решения разностной задачи (12) крешению исходной дифференциальной задачи (3). Приведем без доказательства следующую теорему (см. [2]).Пусть разностная схема удовлетворяет условию () и |′ | 6 на отрезке0 6 6 . Тогда при 0 6 = 6 и всех достаточно малых выполняется оценка⎛⎞∑︁| − ( )| 6 ⎝ | | + max | − ( )|⎠ ,Теорема.066−1=где | −( )| — погрешности в задании начальных данных, = 0, ( − 1), — константа,зависящая от , и не зависящая от , — погрешность аппроксимации на решенииисходного уравнения (3): = −∑︁=0(− ) +∑︁ − .=0Таким образом, исследование сходимости метода (12) сводится к анализу погрешностиаппроксимации и проверке условия ().Замечание 1.Методы Адамса − −1 ∑︁= −=0всегда удовлетворяют условию (), так как для них 0 = −1 = 1, то есть = 1 = 1,что следует из уравнения − −1 = 0.§38.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
