main (1160446), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задача§30101Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задачаРассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона:⎧ 22⎨ + = ( , ), ( , ) ∈ ,1 21 22 22⎩ 1(1 , 2 )|Γ = (1 , 2 ),(1)где — прямоугольная область: = {(1 , 2 ) : 1 ∈ R, 0 < 1 < 1 ; 2 ∈ R, 0 < 2 < 2 } ,а Γ — граница этой области.Решением первой краевой задачи называется функция (1 , 2 ), удовлетворяющая системе уравнений (1), для которой выполнены следующие условия:(︀ )︀(1 , 2 ) ∈ , = ∪ Γ, (1 , 2 ) ∈ 2 ().Введем на области сетку с шагами ℎ1 = 11 и ℎ2 = 22 , где 1 , 2 ∈ N (узлы этойсетки обозначены на рисунке окружностями):{︁(︁)︁}︁() ()()()ℎ =1 , 2 : 1 = ℎ1 , 2 = ℎ2 , = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1).Добавим к этой сетке узлы на границе Γ (обозначены на рисунке квадратами) и обозначим2 −11 −11 −12 −1Γℎ = {0, }=1 ∪ {1 , }=1 ∪ {,0 }=1 ∪ {,2 }=1 .Обозначим ℎ = ℎ ∪ Γℎ .22ℎ211ℎ1()()Пусть , (1 , 2 ) — сеточная функция, определенная на сетке ℎ .
Определим для этойфункции разностные производные второго порядка по 1 и по 2 в узле ∈ ℎ :1 1 , =+1, − 2, + −1,,ℎ212 2 , =,+1 − 2, + ,−1ℎ22102и поставим в соответствие задаче (1) разностную схему(︁)︁{︃() ()1 1 , + 2 2 , = , = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = ,(2)где , — значения функций (1 , 2 ) и (1 , 2 ) в узлах ∈ ℎ . Этой разностной схемесоответствует пятиточечный шаблон типа «крест»:,+1−1,+1,,−1Введем погрешность решения численной задачи:(︁)︁() () = − 1 , 2 = − .Погрешность удовлетворяет следующей разностной схеме:(︁)︁{︃() ()1 1 , + 2 2 , = − , = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = 0.где — погрешность аппроксимации на решении исходного уравнения (1): = − + 1 1 , + 2 2 , .Показать, что справедлива следующая оценка погрешности аппроксимации на решении исходной задачи (1):(︀)︀ = O ℎ21 + ℎ22 .Задача.§31Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи ДирихлеПродолжаем рассматривать задачу Дирихле⎧ 22⎨ + = ( , ), ( , ) ∈ ,1 21 221 22⎩(1 , 2 )|Γ = (1 , 2 )Запишем разностную схему (2) из §30 в виде:⎧⎨ −1, − 2 + +1, + ,−1 − 2 + ,+1 = ,ℎ21ℎ22⎩ |Γℎ = .(1) = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),Напомним, что , — значения непрерывных функций (1 , 2 ) и (1 , 2 ) в узлах сеткиℎ .
Разрешим эту схему относительно центрального узла :)︂⎧(︂⎨ 2 + 2 = −1, + +1, + ,−1 + ,+1 − , = 1, ( − 1), = 1, ( − 1),12ℎ2 ℎ22ℎ21ℎ22⎩ 1 |Γℎ = .(2)§31. Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле103Для того чтобы эта система имела решение при любых значениях функций (1 , 2 ) и (1 , 2 ),необходимо и достаточно, чтобы однородная система линейных уравнений имела толькотривиальное решение.Пусть 1 −1,2 −1 — пространство сеточных функций, определенных на сетке ℎ и обращающихся в нуль на границе Γℎ .
Введем норму в этом пространстве:‖‖ =max1661 −11662 −1| |, ∈ 1 −1,2 −1 .Однородная система линейных уравнений)︂⎧(︂⎨ 2 + 2 = −1, + +1, + ,−1 + ,+1 , = 1, ( − 1), = 1, ( − 1),12ℎ2 ℎ22ℎ21ℎ22⎩ 1 |Γℎ = 0Теорема 1.имеет единственное решение, и оно является тривиальным: = 0, ∈ ℎ .Будем проводить доказательство методом от противного. Пусть существует узел ∈ ℎ , в котором достигается ненулевое значение функции: ̸= 0. Тогданайдется узел 0 ,0 , для которого выполнены два условия:Доказательство.A) 0 ,0 = ‖‖ =max1661 −11662 −1| |.B) Хотя бы для одного из оставшихся узлов (0 , 0 ) шаблона выполнено| | < |0 ,0 |, ∈ {0 − 1, 0 + 1}, ∈ {0 − 1, 0 + 1}.Такой узел существует, поскольку в противном случае значения во всех узлах совпадути будут равны нулю, так как функция обращается в нуль на границе Γℎ .Рассмотрим уравнение системы в узле 0 ,0 :(︂)︂ −1,0 + 0 +1,0 , −1 + 0 ,0 +122+ 2 0 ,0 = 0+ 0 022ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ22и оценим по модулю:(︂)︂| −1,0 | + |0 +1,0 | |0 ,0 −1 | + |0 ,0 +1 |22+|0 ,0 | 6 0+.ℎ21 ℎ22ℎ21ℎ22Значения функции из правой части неравенства не превосходят |0 ,0 | в силу условия A)и, кроме того, в силу условия B) хотя бы одно из значений функции строго меньше 0 ,0 .Таким образом, справедлива оценка)︂(︂)︂(︂2222++|0 ,0 | <‖‖ .ℎ21 ℎ22ℎ21 ℎ22Заменив |0 ,0 | на ‖‖ , получим противоречие: ‖‖ < ‖‖ .
Следовательно, предположение о существовании хотя бы одного ненулевого значения функции неверно, и ≡ 0.Следствие.Разностная задача(︁)︁{︃() ()1 1 , + 2 2 , = , = 1 , 2 ∈ ℎ , |Γℎ = имеет единственное решение при любых значениях и , ∈ ℎ .104Введем разностный оператор(︂)︂−1, + +1,,−1 + ,+122ℎ =+ 2 −−,22ℎ1 ℎ2ℎ1ℎ22 ∈ ℎи запишем разностную схему для погрешности = − решения задачи (2) с помощьюэтого оператора:{︃ℎ = , ∈ ℎ ,(3) |Γℎ = 0,где погрешность аппроксимации на решении задачи (1) = − + 1 1 , + 2 2 , .Рассмотрим вопрос сходимости разностной схемы. Сходимость означает наличие оценки(︀)︀‖‖ 6 ℎ21 + ℎ22 ,где — константа, не зависящая от ℎ1 и ℎ2 .
Такая оценка означает, что разностная схемаимеет второй порядок точности по ℎ1 и ℎ2 .(принцип максимума). Пусть для сеточной функции , определенной на сеткеℎ , выполнены неравенства > 0, ∈ Γℎ ,Леммаℎ > 0, ∈ ℎ .Тогда справедливо следующее неравенство: > 0, ∈ ℎ .Проведем доказательство методом от противного. Пусть существуетузел ∈ ℎ , в котором функция отрицательна: < 0.
Тогда найдется узел 0 ,0 ,для которого выполнены два условия:Доказательство.A) 0 ,0 =min1661 −11662 −1 .B) Хотя бы для одного из оставшихся узлов шаблона выполнено условие > 0 ,0 , ∈ {0 − 1, 0 + 1}, ∈ {0 − 1, 0 + 1}.Такой узел существует, так как в противном случае ≡ 0 и лемма доказана. Рассмотримдействие оператора ℎ на значение функции 0 ,0 :ℎ 0 ,0 =0 ,0 − 0 −1,0 , − +1,0 , − , −1 , − , +1+ 0 0 2 0+ 0 0 2 0 0 + 0 0 2 0 0 .ℎ21ℎ1ℎ2ℎ2Все слагаемые в правой части этого равенства неположительны, и, кроме того, хотя быодно из слагаемых в силу условия B) отрицательно. Таким образом,ℎ 0 ,0 < 0.Это неравенство противоречит условию леммы, следовательно, предположение о существовании хотя бы одного узла, в котором функция отрицательна, неверно.§31.
Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи ДирихлеСледствие.105Рассмотрим две разностные задачиℎ = , ∈ ℎ , |Γℎ — заданы,ℎ = Φ , ∈ ℎ , |Γℎ — заданы.Если выполнены неравенства| | 6 , ∈ Γℎ ,| | 6 Φ , ∈ ℎ ,то справедливо следующее неравенство:| | 6 , ∈ ℎ .Доказательство.Рассмотрим сеточные функции и , определенные на сетке ℎ : = − , = + .По условию: |Γℎ > 0, |Γℎ > 0 и | | 6 Φ . Тогда получим :ℎ = Φ − > 0, ∈ ℎ , |Γℎ > 0, > 0, ∈ ℎ .ℎ > 0, ∈ ℎ , |Γℎ > 0, > 0, ∈ ℎ .Из неотрицательности функций и следует искомая оценка для модуля функции .()()Для дальнейшего потребуется сеточная функция = (12 + 22 − (1 )2 − (2 )2 ), где1 , 2 — длины сторон прямоугольника , > 0 — постоянная, которая будет выбрананиже.
Ясно, что > 0 во всех точках сетки ℎ , в том числе и на границе.Задача.Показать, что удовлетворяет разностной задачеℎ = 4, ∈ ℎ , > 0, ∈ Γℎ .(4)Разностную задачу (2) запишем в виде:ℎ = − , ∈ ℎ , = , , ∈ Γℎ(5)Исследуем сходимость решения разностной задачи (5) к решению исходной задачи (1).Пусть решение задачи (1) четыре раза непрерывно дифференцируемо в .Тогда решение разностной задачи (5) сходится к решению исходной задачи в сеточнойнорме , и имеет место оценка⃦(︁)︁⃦(︀)︀⃦() () ⃦⃦ − 1 , 2 ⃦ 6 ℎ21 + ℎ22 ,Теорема 2.где > 0 — константа, не зависящая от ℎ1 и ℎ2 .106Рассмотрим две задачи: задачу для погрешности разностной схемы (3)и для мажоранты (4). Положим 4 = ‖‖ . Тогда задачи (3), (4) будут удовлетворятьвсем условиям доказанного выше следствия.
Поэтому во всех точках сетки ℎ выполняетсянеравенство| | 6 Доказательство.Из вида функции , которая называется мажорантой, следует, что0 6 6 (12 + 22 ) =12 + 22‖‖ .4Тем самым доказана оценка12 + 22‖‖ .4Так как ‖‖ 6 1 (ℎ21 + ℎ22 ), где 1 > 0 и не зависит от ℎ1 и ℎ2 , то окончательно имеем‖‖ 6()()‖ − (1 , 2 )‖ 6 (ℎ21 + ℎ22 ),где = 1§3212 +224— положительная постоянная, не зависящая от ℎ1 и ℎ2 .Методы решения разностной задачи ДирихлеРассмотрим разностную задачу Дирихле:⎧(︂)︂−1, + +1,,−1 + ,+122⎪⎪+− ,⎪2⎨ ℎ2 + ℎ2 =ℎ1ℎ2212⎪⎪⎪⎩ | = . Γℎ = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),(1)Для нахождения решения этой разностной схемы нужно решить СЛАУ с матрицей порядка(1 − 1) × (2 − 1). Заметим, что матрица системы разрежена, то есть среди элементов этойматрицы содержится большое число нулей.
Очевидно, что использование классическогометода Гаусса для решения такой системы не будет оптимальным. Существуют значительноболее эффективные как прямые, так и итерационные методы решения системы (1) (см. [4]).Рассмотрим несколько итерационных методов, решающих поставленную задачу: методыЯкоби, Зейделя и попеременно-треугольный итерационный метод.Метод ЯкобиИтерационный процесс задается схемой⎧(︂)︂()()()(),−1 + ,+1−1, + +1,⎪22(+1)⎪⎪+− ,=⎪⎨ ℎ2 + ℎ2 ℎ21ℎ2212⎪⎪⃒⎪⎪⎩ (+1) ⃒⃒ = , = 1, (1 − 1), = 1, (2 − 1),Γℎ(0)где ∈ Z+ , — задано.В методе Зейделя итерации определяются по правилу:(︂)︂)︁ 1 (︁)︁221 (︁ (+1)(+1)()()(+1)+=++++1,,−1 − , = 1, 1 − 1, = 1, 2 − 1, = 0, 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
