main (1160446), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Однако при этоммодифицированный метод Ньютона сходится медленнее классического метода Ньютона.Вопросы сходимости метода Ньютона излагаются в §4.Метод Ньютона для нелинейных систем уравненийРассмотрим систему из двух нелинейных уравнений:{︃1 (1 , 2 ) = 0.2 (1 , 2 ) = 0(3)Пусть точка (*1 , *2 ) — решение этой системы. Разложим значение функции 1 (*1 , *2 ) по формуле Тейлора в малой окрестности точки (1 , 2 ), лежащей в окрестности решения:1 (*1 , *2 ) = 1 (1 , 2 ) + (*1 − 1 )1 (1 , 2 )1 (1 , 2 )+ (*2 − 2 )+ ...1276Заменим в этом разложении на , * на +1, = 1, 2 и учтем, что (*1 , *2 ) — решениепервого уравнения системы (3):1 (1 , 2 ) + (+1− 1 )11 (1 , 2 )1 (1 , 2 )+ (+1− 2 )= 0.212(4)Аналогичным образом, разложив функцию 2 (*1 , *2 ) по формуле Тейлора и произведятакую же замену переменных, получим2 (1 , 2 ) + (+1− 1 )1Введем векторы2 (1 , 2 )2 (1 , 2 )+ (+1− 2 )= 0.212(5) = (1 , 2 ) , = (1 , 2 )и матрицу Якоби системы (3) — матрицу из частных производных функций 1 () и 2 ():⎛⎞11()()⎜ 1⎟2⎜⎟() = ⎜(6)⎟.⎝ ⎠22()()12Перепишем уравнения (4) и (5) в матричном виде: ( ) + ( )(+1 − ) = .(7)Пусть матрица Якоби невырождена.

Выразим ( + 1)-ю итерацию через -ю:+1 = − −1 ( ) ( ), ∈ Z+ .(8)Заметим, что нахождение матрицы не является простой процедурой, так как вычислениепроизводных является, вообще говоря, неустойчивым процессом.При поиске значения каждой следующей итерации +1 можно сначала решить линейную систему:( ) = − ( ), ∈ Z+ ,Замечание.где = +1 − . Теперь значение +1 получается из найденного : +1 = + .Теперь перейдем к рассмотрению системы из > 2 нелинейных уравнений⎧⎪1 (1 , 2 , . . . , ) = 0⎪⎪⎪⎨ ( , , .

. . , ) = 02 1 2.⎪. . .⎪⎪⎪⎩ ( , , . . . , ) = 0 1 2Введем векторы = (1 , 2 , . . . , ) , = (1 , 2 , . . . , )и матрицу Якоби системы (9): = ( ), =,, = 1, .Запишем схему итерационного метода Ньютона, используя матрицу Якоби:+1 = − −1 ( ) ( ), ∈ Z+ .Заметим, что вычислять матрицу на каждом шаге достаточно трудоемко.(9)§23. Метод Ньютона и метод секущих77Аналогично одномерному случаю можно рассматривать модифицированныйметод Ньютона для решения нелинейных систем:Замечание.+1 = − −1 (0 ) ( ), ∈ Z+ .Реализация модифицированного метода Ньютона проще классического варианта, но скорость сходимости при данном подходе меньше.Метод секущихИтерационный метод решения уравнения (1) называется одношаговым,если для нахождения + 1-й итерации корня +1 используется только -я итерация .

Если для нахождения +1 используется не только , но и предыдущие ей другиеитерации, то метод называется многошаговым.Определение.Ранее мы рассматривали одношаговые методы решения нелинейных уравнений — методпростых итераций и итерационный метод Ньютона. Рассмотрим многошаговый итерационный метод — метод секущих.Запишем итерационный метод Ньютона для решения уравнения (1):+1 = − ( ), ∈ Z+ , 0 ∈ (* ). ′ ( )Заменим производную ′ ( ) на соответствующий дискретный аналогставим это отношение в уравнение (10).Получим итерационный метод+1 = −( − −1 ) ( ), ( ) − (−1 )(10) ( )− (−1 ) −−1 ∈ N, 0 , 1 заданы.и под-(11)Итерационный процесс (11) задает двухшаговый метод решения нелинейных уравнений, называемый методом секущих.Определение.Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода секущих.+1 −1Через точки (−1 , (−1 )), ( , ( )) проводится секущая. За новое значение +1принимается абсцисса точки пересечения секущей и оси .

Иначе говоря, на отрезке[−1 , ] функция () интерполируется полиномом первой степени, и за очередное приближение +1 принимается корень этого полинома.78§24Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимостиРассмотрим функцию (), ∈ R и уравнение () = 0.(1)Пусть * — вещественный корень этого уравнения, и определена его окрестность радиуса, не содержащая других корней уравнения: (* ) = { : | − * | < },причем заданная функция () определена на этой окрестности.Будем считать, что начальное приближение 0 ∈ (* ) задано. Запишем формулуитерационного метода Ньютона решения уравнения (1):+1 = − ( ), ∈ Z+ , 0 ∈ (* ).

′ ( )Будем рассматривать итерационный метод Ньютона как метод простой итерации с функцией ()() = − ′. ()При изучении сходимости метода простой итерации было замечено, что, если | ′ ()| < 1при ∈ (* ), то он сходится. Предполагая, что функция () дифференцируема достаточное число раз, продифференцируем функцию (): ′ () = 1 −( ′ ())2 − () ′′ () () ′′ ()=.( ′ ())2( ′ ())2Так как * — корень уравнения (1), то (* ) = 0, и, следовательно, ′ (* ) = 0, и по непрерывности функции ′ () имеем | ′ ()| < 1, следовательно метод сходится.Введем погрешность приближенного решения: = − * .Покажем, что связь между и +1 квадратичная. Рассмотрим выражение для +1 : +1 = +1 − * = ( + * ) − (* ).(2)Разложим ( + * ) по формуле Тейлора и учтем, что ′ (* ) = 0:11 +1 = (* ) + ′ (* ) + ′′ (˜ ) ( )2 − (* ) = ′′ (˜ )( )2 ,22(3)˜ = + , ∈ R, || < 1.Пусть функция () трижды непрерывно дифференцируема в окрестности (* ).

Тогда(︂)︂ () ′′ () ′′′ () =.( ′ ())2Пусть существует постоянная > 0 такая, что для любого ∈ (* ) выполняетсянеравенство⃒1⃒ > ⃒ ′′ ()⃒ .(4)2§24. Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости79Из этого неравенства и уравнения (3) следует оценка| +1 | 6 |( )2 |.(5)Домножим это неравенство на и обозначим = | |.

Тогда получим, что +1 6 ( )2 .Отсюда следует, что 6 ( 0 )2 , значит,(︀ ⃒ ⃒)︀2 | | 6 ⃒ 0 ⃒,1 (︀ ⃒⃒ 0 ⃒⃒)︀2 .Введем обозначение = |0 |. Если 0 < < 1, то последовательность { }∞=0 стремитсяк нулю: −→ 0,| | 6→∞и итерационный метод Ньютона сходится. Условие на (0 < < 1) будет выполнено, если110 < | 0 | < , то есть |0 − * | < .Таким образом, мы доказали следующую теорему.Теорема 1.Пусть существует такая константа > 0, для которой выполнена оценка1 ⃒⃒ ′′ ⃒⃒ () 6 ,2 ∈ (* ).Тогда если начальное приближение 0 выбрать в соответствии с условием|0 − * | <1,то итерационный метод Ньютона сходится, и имеет место оценка:| − * | 6)︀21 (︀ |0 − * |.Замечание 1.

Если итерационный метод Ньютона сходится, то достаточно быстро.При наличии оценки вида (5) говорят о квадратичной сходимости метода.Замечание 2. Из условий теоремы следует, что начальное приближение нужно выбирать достаточно близко к точному решению рассматриваемого уравнения.Другие рассмотренные нами методы (модифицированный метод Ньютонаи метод секущих) обладают, по крайней мере, линейной сходимостью. Это следует изтого, что если их записать в виде +1 = ( ), то (* ) = * и ′ (* ) ̸= 0.

Например,′ *)для модифицированного метода Ньютона ′ (* ) = 1 − ′ (, и чем ближе взять 0 к * ,(0 )тем быстрее будет сходимость.Замечание 3.Глава IVРазностные методы решения задачматематической физики§25Первая краевая задача для уравнения теплопроводностиЭта глава посвящена решению задач математической физики с помощью численных методов. Численные методы позволяют находить приближенное решение широкого классадифференциальных задач, в то время как аналитические подходы разработаны лишь длянекоторых классов задач и, как правило, используют целый ряд допущений. К примеру, мы будем рассматривать уравнение теплопроводности, которое является аналитическинеразрешимым, если область задания уравнения определена произвольным образом, илиуравнение содержит переменные коэффициенты.

Разностные схемы позволят нам находитьрешение уравнения теплопроводности и в таких сложных случаях.Рассмотрим классическую формулировку первой краевой задачи дляуравнения теплопроводности в области = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]} для некоторого > 0. Для простоты возьмем коэффициент при второй производной искомой функции вправой части уравнения равным единице.Постановка задачи.(, ) 2 (, )=+ (, ),2Выпишем краевые условия первого рода:{︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (),(, ) ∈ . ∈ [0, ],(2) ∈ [0, 1].(3)и начальное условие:(, 0) = 0 (),(1)Заметим, что мы рассматриваем только те задачи, для которых существует классическое решение.

Это означает:1. Решение обладает достаточной гладкостью, то есть функция (, ) непрерывна взамкнутой области = {(, ) : ∈ [0, 1], ∈ [0, ]}, непрерывно дифференцируемаодин раз по и два раза по внутри области .2. (, ) удовлетворяет внутри области уравнению (1), на границе — условию (2)и условию (3) в начальный момент времени.§25. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности81Кроме того, условия на границе (2) и в начальный момент времени должны быть согласованы: 1 (0) = 0 (0) и 2 (0) = 0 (1).Из курса «Уравнения математической физики» (см.

Характеристики

Список файлов лекций