main (1160446), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Тогда, если будет верна оценка⃦ +1 ⃦(︀)︀⃦⃦6 2 + ℎ2 ,2 ( )ℎ§28. Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость,устойчивость в норме 2 ( )93где константa не зависит от и ℎ, то это будет означать сходимость рассматриваемойразностной схемы к решению исходной задачи в норме 2 (ℎ ) со вторым порядком точностипо и ℎ.Наряду с вещественным пространством −1 будем рассматривать гильбертово пространство 2 — линейное пространство функций, интегрируемых с квадратом на интервале(0, 1):∫︁1 2 () < ∞.0Введем скалярное произведение и норму в пространстве 2 :∫︁1 ()(), ‖ ‖2(, ) =⎛ 1⎞ 21∫︁= ⎝ 2 ()⎠ ,0 (), () ∈ 2 .0Задача на собственные значенияРассмотрим задачу на собственные значения (задачу Штурма-Лиувилля) для функции() ∈ 2 , обладающей достаточной гладкостью:⎧ 2⎨ + () = 0, ∈ (0, 1),(13)2⎩(0) = (1) = 0,причем () ̸≡ 0.Решениями данной задачи являются собственные значения и собственные функции (): = 2 2 , ∈ N,0 < 1 < 2 < .
. . < < . . . , () = sin(), = ̸= 0.Одним из свойств собственных функций задачи Штурма-Лиувилля является тот факт, чтоэти функции образуютортогональный базис пространства 2 .√Положим = 2 и получим:√ () = 2 sin().Тогда функции { ()}∞=1 образуют ортонормированный базис в пространстве 2 :( , ) = .Значит, произвольную функцию () ∈ 2 можно разложить по базису { ()}∞=1 : () =∞∑︁ (),=1где коэффициенты = (, ) называются коэффициентами Фурье.
Тогда справедливоравенство Парсеваля:∞∑︁‖ ‖22 =2 .=194Рассмотрим теперь разностный аналог задачи Штурма-Лиувилля для сеточной функции ∈ −1 :{︃, + ( ) = 0, ∈ ℎ , = 1, ( − 1),(14)0 = = 0,причем () ̸≡ 0. Будем искать собственные функции в виде( ) = sin( ), ∈ R, = 1, ( − 1).Распишем уравнение (14) подробнее:+1 − 2 + −1+ = 0ℎ2и перенесем слагаемые, содержащие , в правую часть:(︀)︀+1 + −1 = 2 − ℎ2 , = 1, ( − 1).Очевидно, что+1 + −1 = ( + ℎ) + ( − ℎ) = sin ( + ℎ) + sin ( − ℎ) = 2 sin( ) cos(ℎ).Следовательно,2 sin( ) cos(ℎ) = (2 − ℎ2 ) sin .sin( ) ̸= 0, так как собственные функции не могут быть нулевыми, значит(︂ )︂ℎ22 ℎ= 1 − cos ℎ = 2 sin.22Отсюда следует, что(︂ )︂42 ℎ.
= 2 sinℎ2Для того, чтобы найти , воспользуемся краевым условием для : = sin = 0,откуда следует, что = , ∈ N. Тогда собственные значения равны(︂)︂42 ℎ = 2 sin, = 1, ( − 1),ℎ2а соответствующие им собственные функции имеют вид ∈ 1, ( − 1). = sin( ),√Система функций ( ), = 1, ( − 1)√ортогональна, а если положить = 2, тосовокупность сеточных функций ( ) = 2 sin( ) образует ортонормированный (всмысле скалярного произведения (12)) базис пространства −1 . Следовательно, любая−1сеточная функция ( ), = 1, ( − 1), однозначно разложима по базису { }, то есть1 ( ) =−1∑︁ ( ),=1где = (, ), = 1, ( − 1) — коэффициенты Фурье.
Имеет место равенство Парсеваля:‖ ‖22 (ℎ )=−1∑︁2 .(15)=1Воспользуемся рассмотренной задачей Штурма-Лиувилля для доказательства следующей теоремы.§28. Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость,устойчивость в норме 2 ( )95Пусть функция (, ), являющаяся решением задачи для уравнения теплопроводности (1) – (3), имеет достаточную гладкость. Тогда симметричная разностнаясхема (4) – (6) сходится к решению исходной задачи со вторым порядком по и вторымпорядком по ℎ в 2 (ℎ )-норме пространства сеточных функций.Теорема.Обратимся к рассмотрению задачи (7) – (9) для погрешности решенияразностной схемы :Доказательство.+1,+ ,+1 − =+ ,2{︃0+1 = 0+1= 0,0 = 0,( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,(16)(17)+1 ∈ ,(18) ∈ ℎ ,(︀)︀где — погрешность аппроксимации на решении задачи (1) – (3), = O 2 + ℎ2 :+1+1− , + ,++ ( , + 1 ),= ( , ) = −22( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .(19)Будем искать погрешность в виде=−1∑︁ ( ) ( ), ∈ ℎ ,(20)=1где ( ), = 1, ( − 1) — дискретные функции только аргумента , а , = 1, ( − 1) —собственные функции задачи, зависящие только от ∈ ℎ :, + ( ) = 0, = 1, ( − 1),(21)0 = = 0.Задача (21) была рассмотрена выше.Функции имеют вид ( ) =√2 sin( ),, = 1, ( − 1)и образуют ортонормированный базис в −1 .
Этим функциям соответствуют собственныезначения , равные(︂)︂4ℎ = 2 sin2, = 1, ( − 1),ℎ2 −1Так как функции { }=1образуют ортонормированный базис пространства −1 , толюбой элемент пространства −1 можно разложить по этим функциям, следовательно,представление (20) корректно.Разложим по базисным функциям погрешность аппроксимации на решении: =−1∑︁=1 () ( ) ( ),(22)96где () ( ) — дискретные функции только аргумента .Подставим выражения (20) и (22) в уравнение (7):∑︀ −1=1 −1−1∑︁( (+1 ) − ( ))1 ∑︁ ( ) =( (+1 ) + ( )) ( ), + () ( ) ( ).2=1=1Принимая во внимание уравнение (21), получаем−1 (︂∑︁)︂−1∑︁ (+1 ) − ( ) + ( (+1 ) + ( )) ( ) = () ( ) ( ).2=1=1−1Так как { }=1 — система линейно независимых функций, то полученное равенство выполняется тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих функциях ( ), = 1, ( − 1) равны: (+1 ) − ( ) + ( (+1 ) + ( )) = () ( ),2 = 1, ( − 1).Разрешим это уравнение относительно ( + 1)-го слоя, домножив обе части на ̸= 0 исгруппировав слагаемые с (+1 ) и ( ):(1 + 0.5 ) (+1 ) = (1 − 0.5 ) ( ) + () ( ).Учитывая, что (1 + 0.5 ) ̸= 0, получаем (+1 ) =Обозначим =Задача.1 − 0.5 ( ) + () ( ).1 + 0.5 1 + 0.5 1 − 0.5 .1 + 0.5 Показать, что⃒⃒⃒ 1 − 0.5 ⃒⃒ 6 1.⃒| | = ⃒1 + 0.5 ⃒Решение.Нужно показать, что −1 6 6 1 или−1 61 − 0.5 6 1.1 + 0.5 Неравенство1 − 0.5 611 + 0.5 очевидно в силу того, что > 0, > 0.
Рассмотрим теперь неравенство1 − 0.5 > −11 + 0.5 или−1 − 0.5 6 1 − 0.5 ,которое, как легко заметить, выполнено всегда.(23)§28. Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость,устойчивость в норме 2 ( )97Подставим выражение (23) в разложение (20):+1 =−1∑︁ (+1 ) ( ) =−1∑︁=1 ( ) ( ) +=1−1∑︁=1 () ( ) ( ).1 + 0.5 Обозначим первую сумму через , а вторую через . Применим неравенство треугольникадля оценки нормы погрешности +1 через нормы этих величин:⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦6 ⃦ ⃦2 ( ) + ⃦ ⃦2 ( ) .(24)2 ( )ℎℎℎОценим квадрат нормы , воспользовавшись результатом рассмотренной выше задачи|| 6 1 и равенством Парсеваля:⃦ ⃦2⃦ ⃦2 (ℎ)=−1∑︁2 2 ( ) 6=1−1∑︁⃦ ⃦22 ( ) = ⃦ ⃦2 ( ) .ℎ=1Аналогичным образом поступим с с учетом того, что 1 + 0.5 > 1:)︂2 (︁−1 (︁−1 (︂)︁2)︁2∑︁∑︁⃦ ⃦2⃦ ⃦2()2()⃦ ⃦()6=()= 2 ⃦ ⃦2 ( ) .2 (ℎ )ℎ1 + 0.5 =1=1Тогда неравенство (24) примет вид⃦ +1 ⃦⃦⃦2 (ℎ )⃦ ⃦6 ⃦ ⃦2 (ℎ)⃦ ⃦+ ⃦ ⃦2 ( ) .ℎРассматривая полученную оценку как рекуррентную, легко получим:⃦ +1 ⃦⃦⃦2 (ℎ)⃦ ⃦6 ⃦ 0 ⃦2 (ℎ∑︁⃦⃦⃦( )⃦+.)2 ( )ℎ(25)=1Учитывая, что ‖ 0 ‖2 (ℎ ) = 0, а также используя оценку нормы погрешности аппроксимации, которая следует из оценки (11),⃦⃦(︀)︀⃦( )⃦6 2 + ℎ2 ,2 ( )ℎи равенство∑︁ = +1 6 ,=0получаем окончательную оценку:⃦ +1 ⃦⃦⃦2 (ℎ)(︀)︀6 1 2 + ℎ2 ,где 1 = не зависит от и ℎ.Замечание.Если в разностной задаче (4) – (6) взять нулевые краевые условия+10+1 = = 0,то для можно вывести априорную оценку, аналогичную полученной выше оценке (25):‖ +1 ‖2 (ℎ ) 6 ‖0 ‖2 (ℎ ) + ∑︁‖ ( )‖2 (ℎ ) .=0Эта оценка означает, что решение разностной схемы устойчиво в норме 2 (ℎ ) поначальному условию 0 и правой части уравнения.98§29Разностные схемы с весами.
Погрешность аппроксимациина решенииРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода: 2 (, )(, )+ (, ),=2(, ) ∈ = {(, ) | ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},(1){︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе данной главы,на множествах и соответственно.Поставим в соответствие задаче (1) – (3) семейство разностных схем (зависящих от параметра ):+1 − +1+ (1 − ) ,= ,+ , ( , ) ∈ ℎ ,(4)где - некоторая аппроксимация правой части, необязательно точное значение функции (, ) в соответствующем узле, ∈ R — весовой множитель.Замечание 1.
На практике обычно рассматривают параметр ∈ [0, 1], но данное условиене является обязательным.Добавим краевые и начальное условия:{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ),+1 ∈ , ∈ ℎ .(5)(6)В рассматриваемой разностной схеме использован шеститочечный шаблон вида−1+1−1+1+1 .При определенных значениях параметра получим разностные схемы, которые рассматривались в предыдущих параграфах:1. При = 0, = получаем явную разностную схему.2. При = 1, = ( , +1 ) получаем чисто неявную разностную схему.3. При = 0.5, = ( , + 1 ) получаем симметричную разностную схему.2Среди всех разностных схем семейства (4) явной является только схема с = 0, все остальные — неявные.Замечание.§29.
Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимации на решении99Введем погрешность решения разностной схемы: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из этого выражения и подставив его в уравнение (4), получим задачу относительно :+1 − +1= ,+ ,+ (1 − ),{︃0+1 = 0+1= 0,0 = 0,( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,+1 ∈ , ∈ ℎ ,(7)(8)(9)где — погрешность аппроксимации на решении задачи (1) – (3): = +1, + (1 − ), −+1− + .(10)Далее считаем, что = 1, − 1, = 1, − 1.Пусть решение (, ) задачи (1) – (3) имеет достаточную гладкость (функция (, )шесть раз дифференцируема по и три раза дифференцируема по ). Обозначим ′ = ˙ =′′ , = = .
Разложим значения +1 = (+1 , ) и −1 = (−1 , ) в ряд Тейлора вточке ( , ):ℎ3ℎ4 (4)ℎ2+1 = + ℎ′ + ′′ + ′′′+ + ...,26 24 ℎ3ℎ4 (4)ℎ2+ + ...−1 = − ℎ′ + ′′ − ′′′26 24 Разложим в ряд Тейлора в точке ( , + 1 ) значения функции ( , ) на ( + 1)-м и -м2слоях:2 3 ... (+ 1 ) + . . . ,¨ (+ 1 ) ++1= (+ 1 ) + ˙ (+ 1 ) + 2222284823 ... (+ 1 ) + . . . , = (+ 1 ) − ˙ (+ 1 ) + ¨ (+ 1 ) −22222848Воспользовавшись записанными выше разложениями, получим следующее выражение длявторой дискретной производной:, =(︀ 4 )︀+1 + −1 − 2ℎ2 (4)′′=++Oℎ .ℎ212(11)Вычтем выражение для из выражения для +1, разделим результат на ̸= 0 и получим:(︀ )︀+1− = ˙ (+ 1 ) + O 2 .2Подставим выражения (11) и (12) в уравнение (10):)︂(︂(︀ 2 )︀ ′′ ℎ2 (4)′′+ = + ˙ + + O ℎ212(︂)︂(︀)︀(︀)︀ℎ2 (4)+(1 − ) ′′ − ˙ ′′ + + O ℎ2 − ˙ + + O 2 + ℎ4 .212(12)(13)100Воспользуемся неравенством, связывающим среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 2 и ℎ4 : 2 + ℎ4 ℎ2 6.2(︀)︀(︀)︀Следовательно, O ℎ2 = O 2 + ℎ4 .Сгруппируем слагаемые в уравнении (13) следующим образом:(︀)︀ℎ2 (4) + O 2 + ℎ4 =12(︀)︀ℎ2 (4)= ′′ − ˙ + (+ 1 ) + − (+ 1 ) + ( − 0.5)˙ ′′ + + O 2 + ℎ4 .2212⏟⏞ = ′′ − ˙ + + ( − 0.5)˙ ′′ +(14)0Для получения четвертого порядка по ℎ для погрешности аппроксимации на решенииℎ2 (4)необходимо исключить из уравнения (14) члены порядка ℎ2 , то есть слагаемое .12 Рассмотрим уравнение (1):′′ = ˙ − .(4)Продифференцируем это равенство два раза по и получим выражение для :(4)= ˙ ′′ − ′′ .Подставим это выражение в равенство (14):(︂)︂(︀)︀ℎ2ℎ2 = − (+ 1 ) + ( − 0.5) +˙ ′′ − ′′ (+ 1 ) + O 2 + ℎ4 .221212(︂)︂ℎ2Выберем так, чтобы коэффициент ( − 0.5) +обратился в нуль:12* =1ℎ2−.2 12Теперь если положить = * , = (+ 1 ) +2ℎ2 ′′ ( 1 ),12 + 2(︀)︀то погрешность аппроксимации на решении задачи (1) – (3) будет иметь порядок O 2 +ℎ4 .Определение.Разностная схема (4) – (6) при=ℎ21−,2 12 = (+ 1 ) +2ℎ2 ′′ ( 1 )12 + 2называется разностной схемой повышенного порядка точности.Замечание.Если(︀ )︀(︀)︀ = 0, = (+ 1 ) + O ℎ2 , то = O + ℎ2 ,2(︀ )︀(︀)︀ = 1, = (+ 1 ) + O ℎ2 , то = O + ℎ2 ,2(︀)︀(︀)︀ = 0.5, = (+ 1 ) + O 2 + ℎ2 , то = O 2 + ℎ2 .2(︀)︀При всех остальных погрешность аппроксимации имеет порядок O + ℎ2 .§30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
