main (1160446), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

. . ,ℎ21 ℎ22ℎ21 −1,ℎ22 ,+1§33. Основные понятия теории разностных схем107Несмотря на то, что метод Зейделя формально является неявным, нетрудно предложить алгоритм вычисления решения на + 1-й итерации по явным формулам. Порядок(+1)()счета здесь следующий. Сначала находятся значения 1, , = 1, 2 − 1, используя (+1)и граничные значения . Затем, используя 1,(+1), находят 2,, = 1, 2 − 1 и т.д. Это(+1)значений ,на новой итерации осуществляется последоваугла (точки 1,1 ) до правого верхнего угла (точки 1 −1,2 −1 ).означает, что вычислениетельно от левого нижнегоЭффективным методом решения системы разностных уравнений (1) является попеременнотреугольный итерационный метод.

Запишем систему (1) в матричной форме = с симметричной положительно определенной матрицей и представим матрицу в видесуммы = 1 + 2 ,где 1 — нижняя треугольная, а 2 — верхняя треугольная матрица. На главных диагоналях 1 и 2 стоят элементы 0.5 , где — элементы , стоящие на главной диагонали.Попеременно-треугольный итерационный метод имеет вид( + 1 )( + 2 ) (+1) − ()+ () = ,где — единичная матрица, и — числовые параметры. Метод сходится при >В случае системы (1) матрицы 1 и 2 определяются соотношениями(1 ) = − −1, − ,−1+,ℎ21ℎ22(2 ) = − ,+1 − +1,+.2ℎ1ℎ224> 0.Алгоритм нахождения (+1) сводится к последовательному решению двух уравнений( + 1 ) () = − () , (+1) − ()= () ,каждое из которых решается путем обращения треугольных матриц.( + 2 )В параграфе 8 главы 1 было показано, что попеременно-треугольный итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений требует для достижения заданной точности > 0, числа итераций 0 () на порядок меньше, чем методыЯкоби, Зейделя, простой итерации.

В силу этого он широко применяется для решенияпрактических задач.Замечание.§33Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимостьПусть дана исходная дифференциальная задача. Не конкретизируя вид этой задачи, запишем ее в форме операторного уравнения.(()) = (), ∈ ,(1)108где – область изменения независимых переменных (аргумент может быть многомерным), () — заданная функция, – линейный дифференциальный оператор. Предполагается, что начальные и граничные условия учитываются видом оператора и правойчастью ().

Будем считать, что исходная задача корректно поставлена. Это означает, чтоее решение существует, оно единственно и непрерывно зависит от правой части ().Для построения разностной схемы, прежде всего в области вводится разностная сеткаℎ — конечное множество точек, принадлежащих . Точки ∈ ℎ называются узлами сетки. Параметр ℎ (шаг сетки) характеризует плотность заполнения области точками ℎ .Будем считать ℎ вектором, для которого определена норма |ℎ|.

Фактически имеют дело споследовательностью сеток, число узлов которых = (ℎ) увеличивается с уменьшением |ℎ|. Обычно число узлов = (ℎ) сетки ℎ неограниченно возрастает при |ℎ| → 0.Конкретные примеры разностных сеток были приведены в предыдущих параграфах.После того, как введена сетка ℎ , функции непрерывного аргумента , определенныедля ∈ , заменяют сеточными функциями, т.е.

функциями, определенными только вточках сетки ℎ . Правую часть () уравнения (1) заменяют приближенно некоторой сеточной функцией ℎ (), ∈ ℎ , а дифференциальный оператор — линейным разностнымоператором ℎ . В результате вместо дифференциального уравнения (1) получают системуразностных уравненийℎ ℎ () = ℎ (), ∈ ℎ ,(2)которая называется разностной схемой.Для изучения устойчивости и сходимости разностной задачи (2) нужно ввести пространство сеточных функций. Будем считать, что решение () задачи (1) принадлежнитлинейному нормированному пространству 0 , а решение ℎ () разностной схемы (2) принадлежит конечномерному линейному нормированному пространству ℎ .

Нормы в пространствах 0 и ℎ будем обозначать, соответственно, через ‖·‖0 и ‖·‖ℎ .Существенным при введении конкретных норм является вопрос о связи этих норм впространствах 0 и ℎ .Введем оператор проектирования ℎ : 0 → ℎ , т.е. линейный оператор, сопоставляющий каждому элементу ∈ 0 некоторый элемент ℎ ∈ ℎ . Будем обозначать через ℎпроекцию элемента ℎ = ℎ , ∈ 0 , ℎ ∈ ℎ .(3)Будем предполагать в дальнейшем, что нормы ‖·‖0 и ‖·‖ℎ согласованы в том смысле, чтодля любого элемента ∈ 0 существуетlim ‖ℎ ‖ℎ = ‖‖0 .|ℎ|→0Пример.(4)Пусть — отрезок 0 6 6 1 иℎ = { = ℎ, = 0, , ℎ = 1}.В качестве 0 возьмем пространство непрерывных функций () с нормой‖‖0 = max |()|.∈Оператор проектирования ℎ можно определить правилом(ℎ )( ) = ( ), ∈ ℎ ,т.е.

ℎ ( ) = ( ), ∈ ℎ — в качестве проекции функции () берется ее значение вданной точке сетки. Пространство ℎ представляет собой линейное пространство векторов = (1 , 2 , . . . , ) с нормой‖‖ℎ = max | |.066§33. Основные понятия теории разностных схем109Эти две нормы согласованы.Приведем пример других согласованных норм.Пример.В пространстве ℎ введем норму по правилу(︃ )︃ 12∑︁‖‖ℎ =.| |2 ℎ=0Эта норма согласована с нормой⎛∫︁1‖‖0 = ⎝⎞ 21||2 ()⎠ ,0заданной в пространстве 0 .Приведем пример несогласованных норм.Пример.Так норма(︃‖‖ℎ =∑︁)︃ 12| |2,=0не является согласованной ни с какой нормой в пространстве 0 , так как, например, при() ≡ 1, ∈ имеем(︃ )︃ 21∑︁√‖ℎ ‖ℎ =1= 2 + 1 → ∞,=0при ℎ → 0 ( ℎ = 1).ноВ качестве оператора проектирования можно взять оператор среднего значения, а имен-1(ℎ )( ) =ℎ∫︁+0.5ℎ(), = 1, − 1, −0.5ℎ1(ℎ )(0 ) =0.5ℎ0.5ℎ∫︁(), (ℎ ())( ) =10.5ℎ0∫︁1().1−0.5ℎВведем основные понятия теории разностных схем.Пусть () — решение исходной задачи (1), ℎ () = ℎ () — проекция этого решенияна пространство сеточных функций ℎ , ℎ — решение разностной задачи (2).Определение.Сеточная функцияℎ () = ℎ () − ℎ (), ∈ ℎ ,называется погрешностью разностной схемы (2).Подставим выражение ℎ () = ℎ () + ℎ () в уравнение (2) и, используя линейностьоператора ℎ , получимℎ ℎ () + ℎ ℎ () = ℎ ().Отсюда следуетℎ ℎ () = ℎ (), ∈ ℎ ,(5)ℎ () = ℎ () − ℎ ℎ ().(6)где110Сеточная функция ℎ (), определенная по формуле (6), называется погрешностью аппроксимации (или невязкой) разностной задачи (2) на решении исходнойдифференциальной задачи (1).Определение.Таким образом, для погрешности разностной схемы ℎ () получаем задачу (5) той жеструктуры, что и разностная задача (2), но с правой частью, представляющей собой погрешность аппроксимации на решении.Спроектируем исходное уравнение (1) на пространство ℎ , т.е.

запишем сеточное уравнениеℎ () = ℎ .Представим погрешность аппроксимации ℎ () в виде суммы(1)(2)ℎ () = ℎ () + ℎ (),(1)(2)(1)где ℎ () = ℎ ()() − ℎ ℎ (), ℎ () = ℎ () − ℎ (), ℎ () = ℎ . Функция ℎ ()называется погрешностью аппроксимации дифференциального оператора разностным(2)оператором ℎ .

Функция ℎ () называется погрешностью аппроксимации правой части.Говорят, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу (1),если ‖ℎ ‖ℎ → 0 при |ℎ| → 0.Определение.Разностная схема (2) имеет -й порядок аппроксимации, если существуют положительные константы 1 и не зависящие от ℎ и такие, что при всех достаточно малых ℎ выполняется оценкаОпределение.‖ℎ ‖ℎ 6 1 |ℎ| .Введем понятие корректности разностной схемы.Определение.малых ℎ:Разностная схема (2) называется корректной, если при всех достаточно1. ее решение ℎ () ∈ ℎ существует и единственно при любых правых частях ℎ ∈ℎ ,2.

существует постоянная 2 > 0, не зависящая от ℎ и такая, что при любых правыхчастях ℎ для решения задачи (2) справедлива оценка:‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ .(7)Существенным отличием от определения корректности дифференциальной задачи является условие независимости константы 2 от шагов сетки. Требование 1) в определениикорректности означает существование оператора −1ℎ , обратного к оператору ℎ , а требование 2) — равномерную по ℎ ограниченность оператора −1ℎ .Свойство разностной схемы, выраженное неравенством (7), означает непрерывную иравномерную по ℎ зависимость ее решения от правой части.

Это свойство назывют устойчивостью разностной схемы.Определение. Решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1),(или, более коротко, разностная схема сходится), еслиlim ‖ℎ ‖ℎ = lim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = 0.ℎ→0ℎ→0§33. Основные понятия теории разностных схем111Говорят, что разностная схема имеет -й порядок точности, если существует постоянная 3 > 0, не зависящая от ℎ и постоянная > 0 такие, чтоОпределение.‖ℎ ‖ℎ 6 3 |ℎ| .Покажем, что из аппроксимации и устойчивости разностной схемы следует ее сходимость.Теорема 1. (Филиппова).

Предположим, что исходная задача (1) поставлена корректно. Пусть разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу (1) и явлентся корректной. Тогда решение разностной задачи (2) сходится к решению исходной задачи (1),причем порядок точности разностной схемы совпадает с порядком аппроксимации.Рассмотрим задачу для погрешности (5). Так как уравнение (5) отличается от уравнения (2) только правой частью, из требования устойчивости следует, чтодля ℎ () справедлива оценка‖ℎ ‖ℎ 6 2 ‖ℎ ‖ℎ .Доказательство.Правая часть этого неравенства стремится к нулю при |ℎ| → 0, а так как 2 не зависит от ℎи, по условию теоремы, разностная схема аппроксимирует исходную задачу.

Следовательно‖ℎ ‖ℎ → 0 при |ℎ| → 0, т.е. схема сходится.Так как схема имеет -й порядок аппроксимации, то‖ℎ ‖ℎ 6 1 |ℎ|и ‖ℎ ‖ℎ 6 3 |ℎ| , 3 = 1 2 , что означает, что схема (2) имеет -й порядок точности.Доказанная теорема позволяет разделить исследование сходимости разностной схемына два этапа: исследование погрешности аппроксимации на решении и получение оценоквида (7), т.е. исследование устойчивости. Как правило, второй этап более трудный, чемпервый.При доказательстве теоремы Филиппова условие согласованности норм (4)не использовалось. Это условие нужно для того, чтобы гарантировать единственностьпредельной функции. Теорема утверждает, что последовательность ℎ сходится к точному решению ∈ 0 в том смысле, что ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, при |ℎ| → 0. Но из теоремы неследует, что не может существовать такая функция ∈ 0 (не являющаяся решениезадачи (1)), для которой также выполнено условие ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, при |ℎ| → 0.Замечание.Требование согласованности норм (4) устраняет эту неоднозначность. В самом деле,‖ℎ − ℎ ‖ℎ = ‖(ℎ − ℎ ) + (ℎ − ℎ )‖ℎ 6 ‖ℎ − ℎ ‖ℎ + ‖ℎ − ℎ ‖ℎ .(8)Так как ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, то из (8) следует, что ‖ℎ − ℎ ‖ℎ → 0, при |ℎ| → 0.Но тогда из (4) получимlim ‖ℎ − ℎ ‖ℎ = ‖ − ‖0 = 0,ℎ→0и, следовательно, ≡ .Глава VМетоды решения обыкновенныхдифференциальных уравнений исистем ОДУ§34Постановка задачи Коши и примеры численных методоврешения задачи КошиВ этой главе рассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений⎧⎨ = (, ()), > 0,(1)⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), .

Характеристики

Список файлов лекций