main (1160446), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Учитывая, что⃦ 0⃦⃦ ⃦ = 0,∑︁ = +1 6 ,=0получим окончательную оценку:⃦ +1 ⃦(︀)︀⃦⃦ 6 1 + ℎ2 , 1 = .(12)§26. Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость87Здесь константа 1 не зависит от и ℎ.Из данной оценки следует, что при → 0, ℎ → 0⃦ +1 ⃦⃦⃦⃦⃦ = ⃦ +1 − +1 ⃦ → 0.Следовательно, решение разностной схемы сходится к решению исходной задачи. Наличиеоценки (12) означает, что разностная схема (4) – (6) имеет первый порядок точности по ивторой — по ℎ.Перед тем, как доказать необходимость, введем понятие устойчивости разностной схемы. Для разностной схемы (4) – (6) c нулевыми краевыми условиями, получим задачу, совпадающую с (8) – (10).
После проведения оценок, аналогичных показанным выше, получим∑︁⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ ⃦ .⃦ 6 ⃦0 ⃦ +⃦=0Полученное равенство можно записать в виде:⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ 6 ⃦0 ⃦ + 1 ⃦ ⃦ ,⃦где константа 1 = не зависит от и ℎ.Эта априорная оценка означает устойчивость решения разностной схемы по начальнымусловиям и правой части уравнения.Перейдем к доказательству необходимости. Рассмотрим однородное уравнение относительно : − 2 + +1+1 − = −1,ℎ2где = 0, ( − 1), = 1, ( − 1).Покажем, что при нарушении условия теоремы появятся неограниченные возрастающиегармоники — функции вида = ℎ , где 2 = −1, , ℎ ∈ R, ∈ C.(13)Подставим выражение (13) в рассматриваемое относительно однородное уравнениеи выразим :)︁(︁ℎ = 1 + ℎ − 2 + −ℎ = 1 + 2 (cos ℎ − 1) = 1 − 4 sin2.2Предположим, что > 0.5.
Тогда найдутся (например = ℎ ) такие, что1 − 4 sin2ℎ< −1,2и || > 1. Тем самым, неограниченно возрастает при → ∞, и о сходимости говоритьне приходится.Следовательно, если условие теоремы нарушено, то решение разностной схемы не будетсходиться к решению исходной задачи.Разностные схемы могут сходиться условно (и быть условно устойчивыми) и абсолютно. Условная сходимость определяется наличием ограничений на шаги сетки любого характера, для абсолютной сходимости требуется, чтобы такие ограниченияотсутствовали.
В примеденной выше теореме условие сходимости имеет вид ℎ2 6 0.5.Следовательно, явная разностная схема является условно сходящейся.Замечание 4.88Важно помнить, что сходимость и устойчивость разностной схемы доказывается в конкретной норме. В данном параграфе доказана сходимость и устойчивость решений разностной схемы (4)– (6) в норме ‖·‖ , которая является достаточносильной нормой, а значит, обеспечивает более точную оценку, по сравнению, например,со среднеквадратичной нормой.Замечание 5.§27Чисто неявная разностная схема (схема с опережением).Погрешность, устойчивость, сходимостьРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )+ (, ),=2(, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},(1){︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе данной главы,на множествах и соответственно.Поставим в соответствие задаче (1) – (3) следующую разностную схему:+1+1−1− 2+1 + +1+1 − =+ ( , +1 ),ℎ2{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ),( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,+1 ∈ , ∈ ℎ ,(4)(5)(6)где = ( , ) — искомое численное решение в точке ( , ) ∈ ℎ .В рассматриваемой разностной схеме использован четырехточечный шаблон вида−1+1+1Как видим, разностная схема является неявной, а именно, для получения решения на(+1)-м слое необходимо решить трехточечное уравнение.
В связи с этим возникает вопросо разрешимости разностной задачи. Покажем, что эта задача имеет единственное решение,и укажем алгоритм его нахождения. Выразим +1 из уравнения (4):(︀ +1)︀+1+1 = + −1− 2+1 + +1+ +1 ,где = ℎ2 , ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .Перенесем слагаемые, относящиеся к ( + 1)-у слою, в левую часть уравнения и получим−1следующую систему уравнений относительно неизвестных {+1 }=1 :{︃+1+1−−1+ (1 + 2) +1 − +1= + +1 , = 1, ( − 1),+10+1 = +1, = +1.12§27. Чисто неявная разностная схема89Эта система имеет трехдиагональную матрицу⎛1 + 2−0⎜ −1+2−⎜⎜....
= ⎜ .....⎜⎝ 000000порядка ( − 1):.........00...00...⎞⎟⎟⎟⎟,⎟. . . 1 + 2− ⎠...−1 + 2обладающую строгим диагональным преобладанием: >∑︁| | , = 1, ( − 1).=1̸=Матрицы со строгим диагональным преобладанием обладают свойством невырожденности, поэтому || ̸= 0, и решение задачи (4) – (6) при каждом фиксированном существует и единственно. Так как матрица — трехдиагональная, разумно использовать методпрогонки для нахождения решения системы. Этот метод является разновидностью метода Гаусса, адаптированной для матриц специального вида, и, в отличие от классическогометода Гаусса, требует числа действий O( ).
Кроме того, так как рассматриваемая матрица обладает строгим диагональным преобладанием, метод прогонки будет устойчивым,а значит, ошибки округления нарастать не будут.Введем сеточную функцию погрешности решения разностной схемы, равную разностиприближенного и точного решений: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из последнего соотношения и подставив это выражение в разностную схему,с учетом линейности уравнения (4) получим уравнение для с нулевыми краевыми иначальным условиями:+1+1−1− 2+1 + +1+1 − =+ , ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,ℎ2{︃0+1 = 0+1 ∈ ,+1= 0,0 = 0, ∈ ℎ ,(7)(8)(9)где — погрешность аппроксимации на решении:Задача.+1+1+ +1+1− −1 − 2+1++ ( , +1 ).= ( , ) = −ℎ2Доказать, что(︀)︀ = O + ℎ2 .(10)(11)Для оценки погрешности воспользуемся нормой ‖·‖ в пространстве сеточных функций на слое, которую мы ввели в предыдущем параграфе.Пусть функция (, ) имеет достаточную гладкость (четыре раза дифференцируема по и два раза по ).
Тогда чисто неявная разностная схема сходится к решениюисходной задачи в норме ‖·‖ с первым порядком точности по и вторым порядком точности по ℎ.Теорема.90Доказательство.на ( + 1)-м слое:Пусть 0 ∈ ℎ — узел, на котором достигается максимум погрешности⃦⃒⃒ ⃦⃒ +1 ⃒⃒⃒ = max ⃒ +1 ⃒ = ⃦ +1 ⃦ .0066Для доказательства теоремы воспользуемся, фактически, принципом максимума. Запишем уравнение (7) относительно узла 0 :(︀)︀(1 + 2) +1= 0 + +1+ +1+ 0 ,00 −10 +1=> 0.ℎ2Оценим левую и правую части равенства по модулю с учетом того, что (1 + 2) > 0:⃒ ⃒⃒)︀⃒ ⃒⃒⃒ ⃒ ⃒(︀⃒⃒ 6 ⃒ ⃒ + ⃒ +1 ⃒ + ⃒ +1 ⃒ + ⃒ ⃒ .(1 + 2) ⃒+10 +10 −1000Перейдем в правой части неравенства от модулей слагаемых к нормам соответствующихфункций. При таком переходе правая часть неравенства может только увеличиться:⃒⃒ ⃦ ⃦⃦⃦⃦ ⃦(1 + 2) ⃒ +1 ⃒ 6 ⃦ ⃦ + 2 ⃦ +1 ⃦ + ⃦ ⃦ .0⃒⃒ ⃦ +1 ⃦⃒ = ⃦⃦ , то полученное неравенство имеет видТак как по предположению ⃒+10⃦⃦⃦ ⃦⃦⃦⃦ ⃦(1 + 2) ⃦ +1 ⃦ 6 ⃦ ⃦ + 2 ⃦ +1 ⃦ + ⃦ ⃦ .Отсюда следует, что⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ 6 ⃦ ⃦ + ⃦ ⃦ .⃦Из этого неравенства вытекает:∑︁⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ ⃦ .⃦ 6 ⃦ 0 ⃦ +⃦=0Учитывая, что начальная погрешность равна нулю, получаем оценку∑︁⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦ ⃦ .=0Из (11) следует, что⃦ ⃦(︀)︀⃦ ⃦ 6 + ℎ2 ,где > 0 — константа, не зависящая от и ℎ, и∑︁ = +1 6 .=0Таким образом получим окончательную оценку:(︀)︀‖ +1 ‖ 6 1 + ℎ2 ,(12)где 1 = > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.
Устремив и ℎ к нулю, получим:⃦⃦lim ⃦ +1 − +1 ⃦ = 0. →0ℎ→0Равенство предела разности нулю означает, что решение разностной схемы сходится к решению исходной задачи.§28. Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость,устойчивость в норме 2 ( )91Наличие оценки (12) означает, что схема имеет первый порядок точности по и второй — по ℎ. Чисто неявная схема является абсолютно сходящейся разностной схемой, таккак оценка (12) была получена без всяких ограничений на и ℎ.Замечание.Если в разностной задаче (4) – (6) взять нулевые краевые условия+10+1 = = 0,то для можно вывести оценку, аналогичную полученной выше:∑︁⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ +1 ⃦⃦ ⃦ .⃦ 6 ⃦0 ⃦ + ⃦=0Эта оценка означает, что решение разностной схемы устойчиво по начальному условию и по правой части уравнения.§28Симметричная разностная схема.
Задача на собственныезначения. Сходимость, устойчивость в норме 2 (ℎ )Рассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )=+ (, ),2(, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},(1){︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(3)Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе данной главы на множествах и соответственно.Введем вторую разностную производную для дискретной функции = ( , ), определенной на множестве ℎ : − 2 + +1,= −1.ℎ2Эта производная является дискретным аналогом второй производной по функции (, ).Поставим в соответствие уравнению (1) его дискретный аналог в виде+1,+ ,+1 − =+ ( , + 1 ),22(︀)︀где ( , + 1 ) = , + 2 ∈ ℎ .(4)2Определение.Слой + 1 = +22называется полуцелым слоем.Добавим краевые и начальное условия:{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ),+1 ∈ , ∈ ℎ .(5)(6)92В рассматриваемой разностной схеме использован шеститочечный шаблон вида−1+1−1+1+1Заметим, что данная схема, с точки зрения нахождения численного решения, похожа нату, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе, в частности, матрица системы,соответствующей этой схеме, является трехдиагональной со строгим диагональным преобладанием.
Это значит, что решение разностной схемы (4) – (6) такой задачи существует,единственно и находится с помощью метода прогонки.Введем погрешность решения разностной схемы: = ( , ) = − ,где = ( , ), ( , ) ∈ ℎ .Выразив из этого выражения и подставив его в уравнение (4), получим задачу относительно :+1+ ,,+1 − =+ , ( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,(7)2{︃0+1 = 0+1 ∈ ,(8)+1= 0,0 = 0,(9) ∈ ℎ ,где — погрешность аппроксимации на решении исходной задачи (1)–(3): = ( , ) = −Задача.+1+1− , + ,++ ( , + 1 ),22Доказать, что( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ .(10)(11)(︀)︀ = O 2 + ℎ2 .Переходим к изучению вопросов сходимости и устойчивости разностной задачи (4)–(6).Рассмотрим вещественное пространство −1 сеточных функций , заданных на одномерной сетке ℎ , содержащей ( − 1) узел и обращающихся в нуль на границе (0 = =0).Значение функции ∈ −1 в -м узле сетки, = 1, ( − 1), обозначим через .Заметим, чтоdim −1 = − 1.Введем скалярное произведение и норму в пространстве −1 :(, ) =−1∑︁ ℎ, ‖‖2 (ℎ ) ==1(︃ −1∑︁)︃ 212 ℎ,, ∈ −1 ..(12)=1Заметим, что если взять значения сеточной функции , рассматриваемой на сетке ℎ ,принадлежащие одному слою, пусть -у, то эти значения образуют функцию , принадлежащую пространству −1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
