main (1160446), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

[2], гл.IV, §2):∫︁ 2 () < ∞.Введем скалярное произведение в пространстве 2 :∫︁∀, ∈ 2(, ) = ()().Теперь введем норму в пространстве 2 :‖ ‖2⎛ ⎞1/2∫︁√︀= ‖ ‖ = (, ) = ⎝ 2 ()⎠ .Пусть дана система ( + 1) линейно независимых функций { ()}=0 впространстве 2 .

Функция () видаОпределение.() = 0 0 () + 1 1 () + . . . + () =∑︁ (), где ∈ R, = 0, ,=0называется обобщенным многочленом по системе { ()}=0 .64Так как коэффициенты обобщенного многочлена задаются произвольным образом, то,варьируя их значения, можно получить бесконечно много различных обобщенных многочленов.Определение.Пусть () ∈ 2 и дана система из ( + 1) линейно независимых функций () ∈ 2 , = 0, .Обобщенный многочлен (), имеющий минимальное отклонение по норме от функции ():⎞1/2⎛ ∫︁‖ () − ()‖ = min ‖ () − ()‖ = min ⎝ ( () − ())2 ⎠ ,()()называется наилучшим среднеквадратичным приближением функции () по системефункций { ()}=0 .Утверждение. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции () по системефункций { ()}=0 существует и единственно.Вначале рассмотрим доказательство для частного случая: выберем систему функций, состоящую из одной функции 0 () ∈ 2 .

Тогда обобщенный многочленимеет вид() = 0 0 ().Доказательство.Рассмотрим задачу для функции (): среди всех обобщенных многочленов найдем тот,который минимизирует функционал∫︁ (0 ) =( () − 0 0 ())2 .Преобразуем это выражение:∫︁2∫︁ () − 20 (0 ) = ()0 () +20∫︁20 () = (, ) − 20 (, 0 ) + 20 (0 , 0 ).Мы получили квадратичную функцию относительно 0 . Найдем ее экстремум: ′ (0 ) = 0,0 (0 , 0 ) = (, 0 ).Тогда коэффициент 0 , доставляющий минимум функционалу (0 ), равен:(, 0 )0 ==(0 , 0 )∫︀ ()0 ().∫︀ 2 0 ()(1)Получим наилучшее среднеквадратичное приближение () для функции ():() = 0 0 () =(, 0 )0 .(0 , 0 )(2)§19. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции65Заметим, что при 0 () = 1, из выражений (1) и (2) можно получить выражение длясреднего значения интеграла:∫︀ ()() = ,( − )которое и является наилучшим среднеквадратичным приближением в этом случае.Разумеется, увеличивая число базисных функций (), мы вправе ожидать увеличения точности приближения.

Покажем, как строится наилучшее среднеквадратичноеприближение в случае произвольного . Пусть { ()}=0 — система линейно независимыхфункций, () ∈ 2 [, ]. Обозначим обобщенный многочлен через() =∑︁ (), где ∈ R=0и рассмотрим функционал∫︁∫︁2( () − ()) = (0 , 1 , . . . , ) =( () −∑︁ ())2 .=0Преобразуем это равенство:∫︁2 () − 2 (0 , 1 , .

. . , ) =∑︁=0= (, ) − 2∑︁=0∫︁ () () +=0 (, ) +∑︁∑︁=0∑︁∑︁∫︁ () () ==0 ( , ).=0Минимум функционала (0 , 1 , . . . , ) достигается в точке, в которой все частные производные первого порядка обращаются в ноль: (0 , . . . , )= 0, = 0, .Получаем систему уравнений относительно коэффициентов , = 0, :∑︁ ( , ) = (, ), = 0, .=0Запишем эту систему более подробно:⎧⎪0 (0 , 0 ) + 1 (0 , 1 ) + . . . + (0 , ) = (, 0 )⎪⎪⎪⎨ ( , ) + ( , ) + . .

. + ( , ) = (, )0 101 11 11⎪...⎪⎪⎪⎩ ( , ) + ( , ) + . . . + ( , ) = (, ).0 01 1 Выпишем матрицу коэффициентов системы:⎛⎞(0 , 0 ) (0 , 1 ) . . . (0 , )⎜ (1 , 0 ) (1 , 1 ) . . . (1 , ) ⎟⎜⎟⎟ = (0 , . . . , ).⎜........⎠⎝....( , 0 ) ( , 1 ) . . . ( , )(3)66Полученная матрица является матрицей Грама системы функций { ()}=0 . Так как { ()}=0 —система линейно независимых функций, то определитель матрицы Грама положителен:|(0 , . .

. , )| > 0.Следовательно система линейных уравнений (3) имеет единственное решение (0 , 1 , . . . , ) .Тогда наилучшее среднеквадратичное приближение для функции () существует и определено единственным образом:∑︁() = ().=0Можно заметить, что чем больше базисных функций мы вводим, темточнее среднеквадратичное приближение заданной функции.

В пределе мы переходим вбазис всего пространства и получаем точное разложение заданной функции по базису.Однако следует помнить, что при увеличении числа базисных функций увеличивается иразмер соответствующей матрицы Грама, а определитель этой матрицы приближается к нулю. Это создает определенные проблемы при решении задач на практике, связанныес увеличением влияния ошибок округления.Замечание 1.Заметим, что если исходная система функций { ()}=0 — ортогональная, то матрица Грама этой системы — диагональная, что значительно упрощает нахождение среднеквадратичного приближения заданной функции.Замечание 2.Если { ()}=0 — ортонормированная система функций в пространстве2 , то соответствующая этой системе матрица Грама является единичной, и решениесистемы (3) имеет вид = (, ), = 0, ,(4)Замечание 3.где — коэффициенты обобщенного многочлена, реализующего наилучшее среднеквадратичное приближение функции ().

Коэффициенты такого вида называются коэффициентами Фурье функции ().Замечание 4.Рассмотрим систему линейно независимых функций () = , = 0, .Введем в пространстве скалярное произведение следующим образом:∫︁() () () = ( , ),где () > 0 — весовая функция. Если определенным образом выбирать границы и ивесовую функцию, то можно построить систему ортогональных полиномов (например,полиномы Якоби, Лежандра, Чебышева).Если { ()}=0 — ортонормированная система функций, то для этой системы функций выполняется неравенство Бесселя:Утверждение.∑︁2 6 ‖ ‖2 ,=0где — коэффициенты обобщенного многочлена, реализующего наилучшее среднеквадратичное приближение функции ().§20.

Наилучшее среднеквадратичное приближение функций, заданных таблично67Действительно, если система функций { ()}=0 ортонормирована, товыполнено замечание 3. Обозначим = и вычислим отклонение от наилучшего среднеквадратичного приближения:Доказательство.∫︁( () −∑︁ ())2 = (, ) − 2=0∑︁ (, ) +=0∑︁2 = (, ) −=0∑︁2 > 0.=0Следовательно неравенство Бесселя выполнено.Замечание 5.Парсеваля:Если { ()}∞=0 — ортонормированный базис, то выполняется равенство∞∑︁2 = ‖ ‖2 .=0В процессе построения наилучшего среднеквадратичного приближениявозникает следующий ряд вопросов:Замечание 6.1.

Как решать системы линейных уравнений высокого порядка?2. Как вычислять интегралы для поиска скалярных произведений функций для построения системы (3)?3. Как производить суммирование с коэффициентами Фурье?На первый из этих вопросов мы ответили в главе I, второго коснулись в §6, рассмотрениеостальных вопросов выходит за рамки нашего курса.§20Наилучшее среднеквадратичное приближение функций, заданных табличноПусть — линейное пространство функций, заданных таблично, то есть элементы ∈ —функции, заданные в узлах 6 0 < 1 < .

. . < 6 , ∈ N: ( ) = , = 0, .Введем скалярное произведение в пространстве H:∀, ∈ (, ) =∑︁ .=0Введем соответствующую норму — эта норма является аналогом среднеквадратичной нормы в пространстве функций, определенных на всем отрезке [, ]:(︃∀ ∈ √︀‖ ‖ = (, ) =∑︁)︃1/22.=0В предыдущем параграфе предполагалось, что функция () задана аналитически.Здесь функция задана таблично, то есть известны только ее значения = ( ) в конечном числе точек , = 0, .Мы хотим приблизить функцию () некоторой функцией, заданной аналитически.Один из способов приближения мы уже знаем — это интерполяция по данным значениям680 , 1 , . . .

, . Однако при больших такой способ приближения трудоемок и может дажедать неверное представление о поведении функции. Одним из распространенных способовприближения функций, заданных таблично, является способ, основанный на минимизациисреднеквадратичной погрешности.Как и в предыдущем параграфе, предположим, что задана система базисных функций{ ()}=0 (например, () = , = 0, ). Можем считать, что функции () заданытолько в точках , = 0, .

Задача состоит в подборе коэффициентов , для которыхвеличина отклонения⃒⃒⃒⃒ ⎛(︃)︃2 ⎞1/2⃒⃒⃒⃒∑︁∑︁∑︁⃒⃒⃒⃒ ⃒⃒ = ⎝ − ( ) ⎠⃒⃒ −⃒⃒⃒⃒=0=0=0являлась бы минимальной. Эта задача является дискретным аналогом задачи о минимизации функционала (0 , 1 , . . . , ), рассмотренной в предыдущем параграфе, и решаетсяаналогичным образом.Введем функционал⃒⃒⃒⃒2⃒⃒⃒⃒∑︁⃒⃒⃒⃒ (0 , 1 , .

. . , ) = ⃒⃒ − ⃒⃒ .⃒⃒⃒⃒=0Этот функционал имеет тот же вид, что и аналогичный функционал для функций гильбертового пространства, рассмотренный в предыдущем параграфе.Запишем систему линейных уравнений для поиска коэффициентов { }=0 , на которыхфункционал (0 , 1 , . . . , ) достигает своего минимума:= 0,∑︁ = 0, , ( , ) = (, ), = 0, .=0Вид полученной системы аналогичен виду системы, которую мы рассматривали в предыдущем параграфе, следовательно, для рассматриваемой системы сохраняется свойство существования и единственности решения — { }=0 .Значит, для построения наилучшего среднеквадратичного приближения функции с помощью некоторой системы функций достаточно знать значения этой функции лишь в некоторых точках интересующего отрезка.Глава IIIЧисленное решение нелинейныхуравнений и систем нелинейныхуравнений§21Способы локалзации корней нелинейного уравненияРассмотрим задачу поиска корней нелинейного уравнения: нелинейные уравнения, вообще говоря, не имеют аналитического решения, поэтому для поиска решения используютвычислительные методы, хотя такое решение является лишь приближенным.Заметим, что принципиальное отличие численных методов решения нелинейных уравнений от численных методов решения систем линейных уравнений состоит в необходимостиспециально выбирать для конкретного итерационного метода начальное приближение, таккак от этого выбора зависит сходимость рассматриваемых итерационных методов решениянелинейных уравнений.Постановка задачи.Рассмотрим функцию (), ∈ R, и уравнение () = 0.(1)Пусть * — вещественный корень уравнения, и определена его окрестность радиуса , несодержащая других корней уравнения: (* ) = { : | − * | < },причем заданная функция () определена на этой окрестности.

Будем считать, чтоначальное приближение 0 ∈ (* ) задано. Тогда для нахождения численного решенияуравнения в рассматриваемой окрестности необходимо построить последовательность{ }, сходящуюся к корню * уравнения (1):lim ( ) = (* ) = 0.→∞Численное решение нелинейных уравнений можно разбить на два этапа:1. Локализация корня, т.е. определение окрестности (* ).2. Задание итерационного процесса — построение последовательности { }, сходящейсяк корню уравнения.Пусть () — непрерывная функция, заданная на отрезке [, ].

Характеристики

Список файлов лекций