main (1160446), страница 14
Текст из файла (страница 14)
также [11]) известно, что в такойпостановке существует единственное решение (, ), которое непрерывно зависит от правойчасти уравнения (, ), начального условия 0 () и краевых условий (2).Чтобы решить эту задачу численно, поставим ей в соответствие разностную схему, тоесть дискретный аналог рассматриваемого уравнения и дополнительных условий.
Такимобразом мы сведем непрерывную задачу к конечной системе линейных уравнений, которыеуже можно решать с использованием вычислительных машин.Сначала введем в рассматриваемой области равномерную по переменным и сетку.Сеткой в заданной области называется совокупность конечного числаточек, принадлежащих данной области. Эти точки называются узлами сетки.Определение.В частности, равномерная сетка размера ( − 1) × , , ∈ N в рассматриваемойобласти вводится так:{︁}︁{︀}︀ℎ = = ℎ, = 1, ( − 1) , = = , = 1, ,1> 0, => 0.Величину ℎ назовем шагом по переменной , величину — шагом по времени.Тогда множество точек ℎ = × ℎ ⊂ ℎ=задает равномерную сетку с шагом ℎ по переменной и шагом по времени в области .Эта сетка изображена на рисунке.Tℎ1Аналогичным образом введем равномерную сетку размера ( + 1) × ( + 1) на замыкании области с теми же размерами шагов ℎ и по переменной и по переменной соответственно.
Эту сетку задает множество точек ℎ = × ℎ ⊂ = {(, ) : ∈ [0, 1], ∈ [0, ]},где{︀}︀{︀}︀ ℎ = = ℎ, = 0, , = = , = 0, .В дальнейшем везде, где мы рассматриваем уравнение теплопроводности, будем использовать введенные сетки, если не указано иное.82В общем случае сетки могут иметь более сложную структуру, например,использовать переменный шаг, который зависит от расположения конкретной пары узлов, или для многомерной области иметь более сложную структуру расположения узлов относительно друг друга (в рассматриваемом примере равномерная сетка являетсяпрямоугольной). В последнее время часто используются сетки, автоматически подстраивающиеся под решение конкретной задачи.Замечание.Совокупность всех узлов в фиксированный момент времени называется слоем.
Слой, для которого = 0, в котором задано начальное приближение, будемназывать нулевым слоем.Определение.§26Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивостьРассмотрим уравнение теплопроводности с краевыми условиями первого рода:(, ) 2 (, )=+ (, ),2(, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},(1){︃(0, ) = 1 ()(1, ) = 2 (), ∈ [0, ],(2)(, 0) = 0 (), ∈ [0, 1](3)и построим для него разностную схему.Воспользуемся сетками ℎ и ℎ , введенными в первом параграфе данной главы на множествах и соответственно.Сеточной функцией называется функция дискретного аргумента на заданной сетке, то есть такая функция определена только в узлах данной сетки.Определение.Поставим в соответствие непрерывным функциям (, ) и (, ) их дискретные аналоги.
Введем обозначения для ( , ) ∈ ℎ : = ( , ), = ( , ).Обозначим численное решение задачи через( , ) = ,( , ) ∈ ℎ .Здесь ( , ) является сеточной функцией, заданной на сетке ℎ .Поставим в соответствие производным функции (, ) их дискретные аналоги дляфункции ( , ): +1 − ( , )≈ , − 2 + −1 2 ( , )+1≈.2ℎ2В результате получаем дискретный аналог уравнения (1): − 2 + +1+1 − = −1+ ( , ),ℎ2( , ) ∈ ℎ .(4)§26.
Явная разностная схема. Погрешность, сходимость, устойчивость83Запишем дискретные аналоги краевых условий первого рода (2) и начального условия (3):{︃0+1 = 1 (+1 )(5)+1 ∈ ,+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ), ∈ ℎ .(6)Дискретным аналогом задачи (1) – (3), или ее разностной схемой, называется система линейных уравнений (4) – (6).Определение.+1В первой краевой задаче численные значения решения 0+1 и равнызначениям функций 1 () и 2 () соответственно при = +1 (хотя это и не обязательно).
В случае краевых условий иного типа, аппроксимация краевых условий должна бытьсогласована по порядку погрешности с порядком аппроксимации уравнения. Определениеаппроксимации и порядка погрешности аппроксимации будет дано ниже.Замечание 1.Заметим, что в уравнении (4) значения функции (, ) не обязательно брать именно в узлах рассматриваемой сетки, можно использовать значения этойфункции с некоторой «поправкой». Что именно имеется в виду под «поправкой», будетрассмотрено далее, а также будет показано, что выбор значений функции (, ) дляразностной схемы, использующих такую «поправку», позволит получить более высокийпорядок погрешности аппроксимации, а стало быть и более точное решение исходногоуравнения.Замечание 2.Замечание 3. Качество и скорость решения численной задачи (4) – (6) во многом зависит от выбора числа узлов сетки ℎ : чем меньше узлов в сетке, тем меньше уравненийсодержится в системе, тем проще и быстрее ее решать, но и приближение решенияисходной задачи в этом случае будет более грубым.При изучении разностных схем возникают следующие вопросы:1.
Погрешность аппроксимации на решении (невязка).Каждой задаче может быть сопоставлено бесконечное число разностных схем, оценка погрешности аппроксимации позволяет их сравнивать. Разностная схема должнааппроксимировать исходную дифференциальную задачу. Если же аппроксимация отсутствует, то не будет сходимости решения численной задачи к решению исходнойзадачи, и рассмотрение такой разностной схемы не имеет смысла.2. Существование и единственность решения разностной задачи.Построенная разностная задача должна быть корректной, то есть должно существовать единственное решение. В ряде случаев доказательство существования и единственности решения является нетривиальной задачей.3.
Алгоритм нахождения разностного решения.В разностных схемах матрица системы линейных уравнений как правило содержитбольшое число нулей. Для таких систем существуют более эффективные алгоритмырешения, чем универсальный метод Гаусса, например, для систем с трехдиагональнойматрицей разумно использовать метод прогонки.4. Сходимость разностной схемы.Необходимо изучить условия, при которых решение данной разностной схемы сходится к точному решению исходной задачи с наперед заданной точностью.845.
Устойчивость разностной схемы.Устойчивость в данном контексте является чисто внутренним свойством разностныхсхем: разностная схема называется устойчивой в норме ‖·‖, если выполнена априорнаяоценка‖‖ 6 ‖ ‖,где > 0 — константа, не зависящая от шагов сетки.Для построения разностной схемы, обладающей хорошими свойствами, необходимо изучитьвесь круг перечисленных проблем.Вопросы сходимости и устойчивости разностной схемы являются ключевыми, однако обычно достаточно рассмотреть только один из этих двух вопросов: в концекурса будет доказано, что из устойчивости разностной схемы следует ее сходимость крешению исходной задачи при условии, что разностная схема аппроксимирует исходнуюзадачу.Замечание.Совокупность узлов, которые участвуют в записи разностной схемы,называют шаблоном.Определение.Вернемся к изучению явной разностной схемы (4) – (6).В рассматриваемой разностной схеме использован четырехточечный шаблон, схематично изображенный на рисунке.+1−1+1Для построенной разностной схемы решение на ( + 1)-м слое находится явно, поэтомуи рассматриваемая разностная схема называется явной:+1 = + (− 2 + +1) + , = 1, ( − 1),ℎ2 −1{︃0+1 = 1 (+1 )+1 ∈ ,+1= 2 (+1 ),0 = 0 ( ), = 0, .Представленные явные формулы позволяют утверждать, что решение разностной схемы(4) –(6) существует и единственно, значит, мы получили положительный ответ на вопрос 2.Перейдем к исследованию оставшихся вопросов.
Как мы уже упоминали в главе «Интерполирование и приближение функций», существует два подхода к измерению близоститочного решения задачи (1) – (3) (непрерывной функции) и численного решения задачи (4) –(6) (сеточной функции):1. Спроектировать непрерывную функцию (, ) на дискретное пространство и измерять близость функций (, ) и в норме дискретного пространства.2. С помощью интерполирования восполнить функцию до непрерывной и сравниватьрассматриваемые функции в пространстве непрерывных функций.§26. Явная разностная схема.
Погрешность, сходимость, устойчивость85В этом курсе будем пользоваться первым подходом. Под проекцией функции (, ) непрерывных аргумнтов (, ) будем понимать сеточную функцию = ( , ), определенную вузлах сетки ℎ . Обзоначим через точное значение решения (, ) дифференциальнойзадачи (1) – (3) в узле ( , ).Определение.Сеточная функция вида(7) = ( , ) = − , ( , ) ∈ ℎназывается погрешностью решения разностной схемы (4) – (6).Выразим = + и подставим это выражение в разностную схему.
Получим системууравнений для , аналогичную разностной схеме, но с нулевыми краевыми условиями инулевой начальной функцией: − 2 + −1+1 − +1=+ ,ℎ2+10+1 = = 0,0 = 0,Здесь =(8)( , ) ∈ ℎ ,(9)+1 ∈ , ∈ ℎ .−1 − 2 + +1 +1− −+ ,ℎ2(10)(11)Определение. Сеточная функция, задаваемая равенством (11) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4) – (6) на решении исходной задачи.(︀)︀2Задача. Доказать, что = O + ℎ .Здесь и далее ( , ) ∈ ℎ , = 0, , = 0, .
Далее всюду при использованииформулы Тейлора будем предполагать, что разлагаемая функция обладает нужной гладкостью, то есть имеет непрерывные производные до соответствующего по ходу разложенияпорядка.Разложим ( , +1 ) в узле ( , ) по формуле Тейлора:Решение.( , +1 ) = +1= ( , ) + ′ ( , ) + ( 2 ).Разложим (+1 , ) в узле ( , ) по формуле Тейлора:11(+1 , ) = +1 = ( , ) + ′ ( , )ℎ + ′′ ( , )ℎ2 + ′′′( , )ℎ3 + (ℎ4 ).26 Разложим (−1 , ) в узле ( , ) по формуле Тейлора :11(−1 , ) = −1 = ( , ) − ′ ( , )ℎ + ′′ ( , )ℎ2 − ′′′( , )ℎ3 + (ℎ4 ).26 Полученные разложения подставим(︀)︀в формулу (11) и после приведения подобных слагаемых получим оценку = O + ℎ2 .Введем норму в пространстве сеточных функций на -м слое, = 0, :‖ ‖ = max | |.066Мы рассматриваем решение разностной задачи по слоям, поэтому нет необходимости вводить норму как максимум модуля для всех слоев.86Пусть решение (, ) задачи (1) – (3) обладает достаточной гладкостью (четыре раза дифференцируема по и два раза по ).
Тогда для сходимости решения разностной схемы (4) – (6) к решению исходной задачи (1) – (3) в норме ‖·‖ необходимо идостаточно, чтобы выполнялось условие:Теорема.=6 0.5.ℎ2При этом условии, выполняется оценка:⃦⃦ +1(︀)︀⃦− +1 ⃦ 6 1 + ℎ2 , = 0, 1, . . .где 1 > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.Докажем, что выполнения условий теоремы достаточно для сходимостиразностной схемы к решению исходной задачи.Запишем выражение для +1 в видеДоказательство.(︀ )︀+1 = (1 − 2) + −1+ +1+ и оценим левую часть равенства по модулю с учетом условия 1 − 2 > 0.
Тогда получим⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ +1 ⃒(︀⃒ ⃒ ⃒ ⃒)︀⃒ + ⃒+1 ⃒ + ⃒ ⃒.⃒⃒ 6 (1 − 2) ⃒ ⃒ + ⃒−1Перейдем в правой части неравенства от модулей слагаемых к нормам соответствующихвекторов. При таком переходе правая часть неравенства может только увеличиться:⃒ +1 ⃒⃒⃒ 6 (1 − 2) ‖ ‖ + 2‖ ‖ + ‖ ‖ .Полученное неравенствоверно для всех = 0, , а значит, оно выполнено и для макси⃒ +1 ⃒⃒⃒. Следовательно, можно заменить левую часть неравенства на нормумальногоиз⃦ +1 ⃦⃦ , и, с учетом приведения подобных слагаемых, получить⃦‖ +1 ‖ 6 ‖ ‖ + ‖ ‖ .⃦⃦Получили рекуррентную оценку для нормы ⃦ +1 ⃦ . Из этой оценки вытекает неравенство:∑︁⃦ +1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 6 ⃦ 0 ⃦ + ⃦ ⃦ .=0Как показано выше из предположений о гладкости (, ) следует оценка⃦ ⃦(︀)︀⃦ ⃦ 6 + ℎ2 ,где > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
